انحنای تیر و مفاهیم مرتبط با آن – به زبان ساده

رابطه انحنا

هنگامی که یک تیر در معرض بارهای خمشی قرار می‌گیرد، محور طولی آن از یک خط راست به یک منحنی تغییر شکل می‌دهد (مانند شکل زیر). در این شرایط، تنش و کرنش‌های به وجود آمده در تیر با انحنای نمودار تغییر شکل رابطه مستقیم دارد.

اگر در محل قرارگیری هر یک از این نقاط، خطی را بر منحنی تغییر شکل مماس کرده و سپس از روی نقاط، خطوط عمود بر این مماس‌ها را رسم کنیم، دو خط عمود بر منحنی تغییر شکل در نقطه 'O با هم برخورد می‌کنند. این نقطه با عنوان «مرکز انحنا» (Center of Curvature) شناخته می‌شود. در اکثر مواقع به دلیل وجود تغییر شکل‌های بسیار کوچک و انحنای بسیار کم در منحنی‌های تغییر شکل، نقطه 'O معمولاً در فاصله بسیار دور از تیر قرار می‌گیرد. در شکل زیر، به منظور نمایش بهتر انحنا و موقعیت قرارگیری مرکز انحنای آن، تغییر شکل تیر با اغراق به تصویر کشیده شده است.

به فاصله بین نقطه m₁ بر روی منحنی تا مرکز انحنا در نقطه 'O، «شعاع انحنا» (Radius of Curvature) می‌گویند و آن را با حرف یونانی ρ (رو) نمایش می‌دهند. «انحنا» (Curvature)، به عنوان عکسِ شعاع انحنا تعریف شده و با حرف یونانی κ (کاپا) نمایش داده می‌شود. به این ترتیب، داریم:

انحنا، معیاری برای نمایش شدت خمیدگی تیر است. اگر میزان بار اعمال شده بر روی یک تیر کوچک باشد، محور تیر تقریباً صاف، شعاع انحنای آن بسیار بزرگ و انحنای آن بسیار کم خواهد بود. با افزایش میزان بار، خمیدگی تیر نیز افزایش خواهد یافت (کاهش شعاع انحنا و افزایش انحنا). بر اساس هندسه مثلث O’m₁m₂، رابطه زیر به دست می‌آید:

dθ: زاویه بسیار کوچک بین خطوط عمود بر منحنی (بر حسب رادیان)؛ ds: طول بسیار کوچک منحنی در فاصله بین نقاط m₁ تا m₂

اگر رابطه بالا را با رابطه انحنا ترکیب کنیم، خواهیم داشت:

فیلم آموزش مقاومت‌ مصالح 1 و 2 در فرادرس

کلیک کنید

معمولاً میزان خمیدگی یک تیر نسبت به طول آن بسیار کوچک است. خمیدگی‌های کوچک به معنای صاف بودن تقریبی منحنی تغییر شکل هستند. از این‌رو، طول ds را می‌توان با طول تصویر آن بر روی محور افقی (dx) برابر در نظر گرفت. به این ترتیب، رابطه انحنا برای خمیدگی‌های کوچک به صورت زیر نوشته خواهد شد:

قاعده علامت‌گذاری

قاعده علامت‌گذاری انحنا به جهت‌گیری محورهای مختصات بستگی دارد. اگر سمت راست محور x و بخش بالایی محور y به عنوان نواحی مثبت در نظر گرفته شوند، خمیدگی رو به پایین و قرارگیری مرکز انحنا در پایین تیر بیانگر مثبت بودن علامت انحنا خواهد بود (بخش الف در شکل زیر). در طرف مقابل، خمیدگی رو به بالا و قرارگیری مرکز انحنا در بالای تیر، منفی بودن علامت انحنا را نمایش خواهد داد (بخش ب در شکل زیر).

^^