تحلیل تیرهای مرکب و جریان برش درون آنها – با مثال های کاربردی

«تیر مرکب» (Built-Up Beams)، سازه‌ای است که از کنار هم قرار دادن دو یا چند ماده مختلف ساخته می‌شود و یک تیر واحد را تشکیل می‌دهد. این سازه انواع و اشکال مختلفی دارد که با توجه به شرایط مورد نیاز، سطح مقطع‌های بزرگ‌تری را نسبت به تیرهای معمولی فراهم می‌کند. در این مقاله قصد داریم به معرفی تیرهای مرکب نحوه تعیین رابطه برش و گشتاور اول در آن‌ها بپردازیم. در انتها نیز به منظور آشنایی بیشتر با روابط معرفی شده، یک مثال کاربردی را تشریح خواهیم کرد.

انواع تیرهای مرکب

در بخش اول از این مقاله، به معرفی برخی از رایج‌ترین انواع تیرهای مرکب و نمایش تصویر آن‌ها خواهیم پرداخت. این تیرها عبارت‌اند از:

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

• الف) «تیر جعبه‌ای» (Box Beam): این نوع تیر از دو الوار به عنوان بال یا «فلنج» (Flange) و دو تخته چندلا به عنوان «جان» (Web) ساخته می‌شود. این بخش‌ها توسط اتصالاتی نظیر میخ، پیچ یا چسب در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند تا در هنگام اعمال بار، رفتار آن‌ها مانند یک تیر واحد باشد. تیرهای جعبه‌ای از مواد دیگری نظیر فولاد، پلاستیک‌ها و کامپوزیت‌ها نیز ساخته می‌شوند.

• ب) «تیر چسبی لمینتی» (Glued Laminated Beam) یا اصطلاحاً «تیر گلولام» (Glulam Beam): این تیر از صفحه‌های به هم چسبیده ساخته می‌شود. این صفحات تیر بزرگ‌تری را تشکیل می‌دهند. تیرهای گلولام کاربرد گسترده‌ای در ساخت و ساز ساختمان‌های کوچک دارند.

• ج) «تیر ورق» (Plate Girder): این تیر، یک نوع تیر فولادی رایج در ساخت تیرها و ساختمان‌های بزرگ به حساب می‌آید. این تیرآهن‌ها از سه صفحه فولادی جوش داده شده به هم تشکیل می‌شوند. ویژگی این نوع تیر این است که می‌توان آن‌ها را در ابعاد بسیار بزرگ‌تری نسبت به تیرهای بال پهن و I شکل ساخت.

طراحی تیرهای مرکب باید به گونه‌ای باشد که تیر در مقابل بارگذاری‌ها به عنوان یک عضو واحد از خود واکنش نشان دهد. به این ترتیب، محاسبات مورد نیاز برای طراحی در دو مرحله صورت می‌گیرد. در مرحله اول، طراحی تیر با فرض یک‌تکه بودن آن و همچنین با در نظر گرفتن تنش‌های برشی و خمشی انجام می‌شود. در مرحله دوم، به منظور اطمینان از رفتار تیر به عنوان یک عضو واحد، اتصالات بین بخش‌ها (میخ‌ها، پیچ‌ها، جوش‌ها و چسب) نیز در طراحی‌ها در نظر گرفته می‌شوند. در واقع اتصالات تیرهای مرکب باید به اندازه‌ای محکم باشند که نیروهای برشی افقی اعمال شده را بین بخش‌های مختلف تیر انتقال دهند. به منظور تعیین این نیروها، باید از مفهوم «جریان برش» (Shear Flow) استفاده کنیم.

جریان برش

به منظور تعیین رابطه مورد نیاز برای محاسبه نیروهای برشی افقی اعمال شده در میان بخش‌های مختلف یک تیر مرکب باید از رابطه برش کمک بگیریم. به این منظور، شکل زیر را در نظر بگیرید. در این شکل، المان mm₁n₁n را از تیر جدا می‌کنیم و تعادل افقی المان mm₁p₁p را مورد ارزیابی قرار می‌دهیم.

با در نظر گرفتن تعادل افقی mm₁p₁p، نیروی F₃ اعمال شده بر روی سطح پایینی برابر خواهد بود با:

این رابطه با رابطه معرفی شده در مبحث «تحلیل تنش‌های برشی در تیرهای مستطیلی» یکسان است. اکنون یک کمیت جدید با عنوان جریان برش را تعریف می‌کنیم و آن را با حرف f نمایش می‌دهیم. جریان برش، نیروی برشی افقی بر واحد فاصله در راستای محور طولی تیر است. نیروی F₃ در راستای dx اعمال می‌شود. از این‌رو، نیروی برشی بر واحد فاصله با حاصل تقسیم F₃ بر dx برابر است:

اگر به جای dM/dx، کمیت نیروی برشی V و به جای انتگرال بالا، کمیت گشتاور اول Q را قرار دهیم، به «رابطه جریان برش» (Shear Flow Formula) دست پیدا می‌کنیم:

اگر توزیع تنش‌های برشی موجود بر روی صفحه pp₁ به صورت یکنواخت باشد، جریان برش f برابرِ τb خواهد بود. در این صورت، رابطه جریان برش به رابطه برش تبدیل خواهد شد. اگرچه، در هنگام تعیین رابطه نیروی F₃ هیچ صحبتی از نحوه توزیع تنش‌های برشی درون تیر به میان نیامد؛ بلکه این نیرو تنها با استفاده از در نظر گرفتن تعادل افقی المان mm₁p₁p به دست آمد. بنابراین، المان مذکور و نیروی F₃ در این مقاله به عنوان عبارت‌های کلی در نظر گرفته می‌شوند.

المان mm₁p₁p می‌تواند هر بلوک منشوری دلخواه از جنس هر ماده‌ای باشد که بین مقاطع mn و m₁n₁ قرار گرفته است. ضرورتی ندارد که این المان حتماً توسط یک برش افقی (نظیر pp₁) درون تیر به دست آمده باشد. به علاوه، از آنجایی که نیروی F₃ نیروی برشی کل اعمال شده در میان mm₁p₁p و باقی نقاط تیر محسوب می‌شود، امکان توزیع آن بر روی دیگر سطوح این المان نیز وجود دارد. این نتیجه‌گیری برای جریان برش f نیز صدق می‌کند (چراکه این کمیت از تقسیم نیروی F₃ بر واحد فاصله به دست می‌آید).

اکنون رابطه جریان برش (f=VQ/I) را در نظر بگیرید. عبارت‌های V (نیروی برشی) و I (ممان اینرسی مقطع) کمیت‌های عمومی هستند و نحوه انتخاب المان مورد تحلیل هیچ تأثیری بر روی آن‌ها نمی‌گذارد. با این وجود، گشتاور اول Q، یکی از خواص سطح مقطع عرضی المان محسوب می‌شود و باید با توجه به شرایط این سطح مورد ارزیابی قرار گیرد. به منظور آشنایی نحوه تعیین Q، در بخش بعدی سه نوع تیر مرکب از قبیل تیر ورق، تیر بال پهن و تیر جعبه‌ای را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

نواحی مورد استفاده در هنگام تعیین گشتاور اول

برای اولین مورد، تیر ورق فولادی با اتصالات جوش خورده را مورد بررسی قرار می‌دهیم. این اتصالات باید به گونه‌ای باشند که نیروهای برشی افقی اعمال شده بین بال‌ها و جان تیر را انتقال دهند. در بالای بال، نیروی برشی افقی (در واحد فاصله بر روی محور تیر) با جریان برش بر روی سطح اتصال aa برابر است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

با محاسبه گشتاور اول ناحیه بالای سطح اتصال aa می‌توان جریان برش مذکور را تعیین کرد. به عبارت دیگر، Q مورد محاسبه در این حالت، گشتاور اول سطح بالِ تیر (ناحیه پررنگ) نسبت به محور خنثی است. با تعیین جریان برش، میزان جوش مورد نیاز برای مقاومت تیر در برابر نیروی برشی نیز قابل تحلیل خواهد بود؛ چراکه مقاومت یک جوش معمولاً با توجه به نیرو بر واحد فاصله در راستای آن جوش مشخص می‌شود.

شکل زیر، یک تیر بال پهن را نمایش که با پرچکاری یک ناودانی به هر بال تقویت شده است. نیروی برشی افقی اعمال شده بین هر ناودانی و تیر اصلی باید توسط پرچ‌ها انتقال پیدا کند. این نیرو با استفاده از رابطه برش و گشتاور اول سطح ناودانی (ناحیه پررنگ) محاسبه می‌شود. مقدار به دست آمده توسط رابطه برش در این مثال، نیروی طولی بر واحد سطح را نمایش می‌دهد که در راستای سطح اتصال bb اعمال می‌شود. به این ترتیب، پرچ‌های مورد استفاده باید دارای اندازه و فاصله طولی کافی باشند تا مقاومت مناسبی را در برابر نیروی مذکور فراهم کنند.

آخرین مثال مورد بررسی، یک تیر جعبه‌ای چوبی متشکل از دو بال و دو جان است (شکل زیر). اجزای این تیر توسط میخ و پیچ ب یکدیگر متصل شده‌اند. جریان برش اعمال شده در راستای سطوح اتصال cc و dd برابر نیروی برشی افقی موجود در میان بال بالایی و جان‌های تیر است. از این‌رو، گشتاور اول در این مثال باید برای سطح بال بالایی (ناحیه پررنگ) مورد محاسبه قرار گیرد. به عبارت دیگر، جریان برش محاسبه شده از رابطه f=VQ/I برابر با جریان برش کل بر روی تمام سطوح اتصال دربرگیرنده سطح مذکور (مورد نظر برای محاسبه Q) خواهد بود. در این مورد، جریان برش f به ترکیبی از میخ‌های موجود در دو طرف تیر (cc و dd) اعمال می‌شود.

مثال

شکل زیر، یک تیر جعبه‌ای چوبی را نمایش می‌دهد که از دو تخته با ابعاد 40mm*180mm (به عنوان بال) به همراه دو تخته چندلا با ضخامت 15mm (به عنوان جان) و ارتفاع 280 میلی‌متر تشکیل می‌شود. تخته چندلا توسط پیچ به بال تیر متصل شده است.

اگر بار برشی مجاز در محل قرارگیری هر پیچ برابر F=800N و نیروی برشی اعمال شده بر روی سطح مقطع تیر برابر V=105kN باشد، حداکثر فاصله طولی مجاز برای پیچ‌های مجاور چقدر خواهد بود؟

جریان برش

نیروی برشی افقی منتقل شده بین بال بالایی و جان‌های کناری تیر با استفاده از رابطه جریان برش (f=VQ/I) قابل محاسبه هستند.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

در این رابطه، Q گشتاور اول مساحت سطح مقطع بال را نمایش می‌دهد. به منظور تعیین این گشتاور اول باید مساحت بال (A_f) را در فاصله بین مرکز هندسی آن تا محور خنثی (d_f) ضرب کنیم:

ممان اینرسی تمام سطح مقطع حول محور خنثی با اختلاف ممان اینرسی مستطیل بیرونی و ممان اینرسی مستطیل درونی برابری می‌کند:

با جایگذاری مقادیر Q ،V و I در رابطه جریان برش خواهیم داشت:

این نتیجه، مقدار نیروی برشی افقی بر واحد طولی را نمایش می‌دهد که باید بین بال و جان‌های تیر منتقل شود.

فاصله بین پیچ‌ها

در مثال حاضر، دو دست پیچ (در هر طرف بال تیر) وجود دارد که فاصله بین آن‌ها با s نمایش داده می‌شود. از این‌رو، ظرفیت باربری پیچ‌ها برابر 2F بر فاصله s در راستای تیر خواهد بود. اگر رابطه این ظرفیت باربری (2F/s) را برابر جریان برش f قرار دهیم و معادله به دست آمده را بر حسب s حل کنیم، به نتیجه زیر می‌رسیم:

این مقدار، حداکثر فاصله مجاز بین پیچ‌ها در حین اعمال حداکثر بار مجاز را نمایش می‌دهد. در فواصل بیش از 46.6mm، پیچ‌ها توانایی تحمل بار اعمال شده را نخواهند داشت. معمولاً به منظور تسهیل فرآیند ساخت، از عدد گرد شده‌ای مانند s=45mm استفاده می‌شود.

^^