نفوذپذیری مغناطیسی — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس درباره گذردهی الکتریکی صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم «نفوذپذیری مغناطیسی» (Permeability) را بررسی کنیم. مواد مغناطیسی موادی هستند که وقتی در معرض یک میدان مغناطیسی قرار می‌گیرند، از خود «قطبیت مغناطیسی» (Magnetic Polarization) نشان می‌دهند.

ممان مغناطیسی

همانطور که گفتیم اعمال میدان مغناطیسی به مواد مغناطیسی، باعث ایجاد «قطبیت مغناطیسی» (Magnetic Polarization) در این مواد می‌شود. قطبیت مغناطیسی منجر به هم‌جهت شدن دوقطبی‌های مغناطیسی ماده با میدان مغناطیسی اعمالی می‌شود. به این پدیده، «مغناطش» (Magnetization) گویند. این پدیده همانند آرایش دوقطبی‌های الکتریکی در میدان الکتریکی خارجی است.

فیلم آموزش فیزیک 2 دانشگاه – جامع و با نکات کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

پیش‌بینی رفتار مواد مغناطیسی هنگامی که در معرض میدان مغناطیسی خارجی قرار می‌گیرند، تنها توسط «نظریه کوانتم» (Quantum Theory) قابل توضیح است. این نظریه برای کاربردهای مهندسی، معمولا بسیار پیچیده و غیرعملی است. هرچند با استفاده از مدل‌های ساده اتمی که ساختار شبکه اتمی ماده را نشان می‌دهند، نتایج کمّی مناسبی حاصل می‌شود. مطابق این مدل‌های اتمی، الکترون‌ها که حامل بار منفی هستند به دور هسته حامل بار مثبت می‌چرخند. در مبحث حل مسائل مغناطیس ساکن، درباره جریان ساکن و دو قطبی مغناطیسی صحبت کردیم. حرکت دایره‌ای الکترون به دور هسته یک جریان الکتریکی ساکن ایجاد می‌کند. بنابراین می‌توان این جریان را با یک دوقطبی مغناطیسی مدل کرد شکل زیر مدل اتمی یک ماده و معادل‌های آن را که نمایانگر ساختار شبکه اتمی ماده مغناطیسی است، نشان می‌دهد:

هر الکترون در حال چرخش را می‌توان به صورت یک حلقه کوچک جریان الکتریکی با مساحت $$ds$$ مدل کرد. جریان در این حالتِ معادل، خلاف جهت چرخش الکترون است. مادامی که حلقه بسیار کوچک است، می‌تواند به شکل دایره، مربع یا هر چیز دیگری باشد. همانطور که در شکل (۱) مشاهده می‌شود، می‌توان حلقه را به صورت مربعی نیز در نظر گرفت. میدان ایجاد شده در فاصله دور به وسیله حلقه کوچک حامل جریان الکتریکی با میدان ایجاد شده توسط یک آهنربای میله‌ای خطی (دوقطبی مغناطیسی) با طول $$d$$‌ برابر است.

مطابق شکل (۱)، «تکانه زاویه‌ای» (Angular Momentum) مربوط به یک الکترون در حال چرخش را می‌توان به وسیله ممان دوقطبی مغناطیسی $$dm_i$$ نشان داد. این ممان به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\large dm_i = I_i ds_i = I_i \hat n_i ds_i = \hat n_i I_i ds_i \, \, \, \, \, (\mathrm{A-m^{2}})$$
معادله (۱)

برای اتم‌هایی که الکترون‌های در حال چرخش بسیاری دارند، ممان دوقطبی مغناطیسی کل $$m_t$$ برابر با جمع برداری همه ممان‌های دوقطبی مغناطیسی است. هر کدام از این ممان‌های دوقطبی به وسیله معادله (۱) داده می‌شود. بنابراین می‌توان نوشت:

$$\large m_t = \sum_{i=1}^{N_m \Delta v}dm_i = \sum_{i=1}^{N_m \Delta v}\hat n_i I_i ds_i$$
معادله (۲)

در این معادله، $$N_m$$ با تعداد کل الکترون‌های در حال چرخش (حلقه‌های معادل) بر حسب واحد حجم برابر است. بردار قطبیت مغناطیسی یا «مغناطش» (Magnetization) با نماد $$M$$ نشان داده می‌شود و تعریف آن به صورت زیر است:

$$\large M = \lim _{\Delta v \to 0}\left[ \frac{1}{\Delta v}m_t \right] = \lim_{\Delta v \to 0} \left[ \frac{1}{\Delta v} \sum_{i=1}^{N_m \Delta v}d m_i\right] = \lim_{\Delta v \to 0}\left[ \frac{1}{\Delta v}\sum_{i=1}^{N_m \Delta v} \hat n_i I_i ds_i \right](\mathrm {A/m})$$
معادله (۳)

فرض کنید ممان مغناطیسی متوسط برای هر حلقه به صورت زیر است:

$$\large dm_i =d m _{av} =\hat n (Ids)_{av}$$
معادله (۴)

حال اگر فرض کنیم همه حلقه‌ها موازی هم هستند، بردار قطبیت مغناطیسی در معادله (۳) را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\large M =\lim_{\Delta v \to 0}\left [ \frac{1}{\Delta v} m_t \right]  =\lim_{\Delta v \to 0}\left[ \frac{1}{\Delta v}\sum_{i=1}^{N_m \Delta v} dm_i \right]=N_m dm_{av}= \hat n N_m (Ids)_{av}$$
معادله (۵)

یک ماده مغناطیسی به وسیله تعداد دوقطبی‌ها و ممان‌های مغناطیسی آن شناخته می‌شود. در غیاب میدان مغناطیسی خارجی، دوقطبی‌های مغناطیسی و حلقه‌های الکتریکی معادل، جهات تصادفی دارند. بنابراین در مقیاس ماکروسکوپی، جمع برداری ممان‌های مغناطیسی در معادله (۳) و قطبیت مغناطیسی در معادله (۴) برابر صفر هستند. جهت‌گیری تصادفی دوقطبی‌های مغناطیسی و حلقه‌ها در شکل زیر نشان داده شده است:

هنگامی که یک میدان با چگالی شار مغناطیسی $$B_a$$ به ماده مغناطیسی اعمال می‌شود، بیشتر دوقطبی‌های مغناطیسی ماده با میدان مغناطیسی $$B_a$$ هم‌جهت می‌شوند. شکل زیر این مسئله را نشان می‌دهد:

بنابراین «گشتاور مغناطیسی» (Magnetic Torque) به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large |\Delta T|= |dm_i \times B_a | = |dm_i||B_a|\sin(\psi _i)= |(\hat n_i I_i ds_i)\times B_a|= |I_i ds_i B_a \sin(\psi_i)|$$
معادله (6)

این گشتاور بر حسب همه ممان‌های دوقطبی مغناطیسی نوشته شده است. شکل (۳) این گشتاور را نشان می‌دهد. به طور ایده‌آل، اگر هیچ ممان مغناطیسی دیگری وجود نداشته باشد، می‌توان از رابطه (۶) برای محاسبه گشتاور استفاده کرد. این گشتاور تا زمانی وجود دارد که هر یک از الکترون‌های چرخان به گونه‌ای جابجا شود که میدان مغناطیسی ایجاد شده به وسیله حلقه الکتریکی (یا ممان مغناطیسی) معادل آن با میدان اعمالی هم‌جهت شود. بنابراین میدان مغناطیسی منتجه در هر نقطه داخل ماده از حالتی که ماده مغناطیسی وجود ندارد، بزرگتر است.

نفوذپذیری مغناطیسی

حال یک ماده مغناطیسی را در نظر بگیرید. فرض کنید که یک میدان مغناطیسی با چگالی شار $$B_a$$ به این ماده اعمال شود.

فیلم آموزش الکترومغناطیس 1 – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

بردار مغناطش $$M$$ ناشی از جهت‌گیری مجدد دوقطبی‌های مغناطیسی داخل ماده مغناطیسی، در شکل زیر نشان داده شده است:

به طور ایده‌آل، در مقیاس میکروسکوپی برای بیشتر مواد مغناطیسی همه دوقطبی‌های مغناطیسی هم‌جهت می‌شوند و به این ترتیب، ممان مغناطیسی همه دوقطبی‌ها با میدان مغناطیسی اعمالی هم‌جهت می‌شوند. این مسئله در شکل (۴) نشان داده شده است. در حد که تعداد دوقطبی‌های مغناطیسی و حلقه‌های الکتریکی معادل بسیار بزرگ می‌شوند، جریان حلقه‌ها در قسمت‌های داخلی تیغه مغناطیسی به وسیله‌های حلقه‌های مجاور خنثی می‌شود. در مقیاس ماکروسکوپی، جریان مغناطیسی معادل خالص غیر صفر می‌شود. این مسئله منجر به ایجاد چگالی جریان سطحی مغناطیسی معادل با واحد آمپر بر متر می‌شود. این جریان روی سطحی خارجی تیغه یافت می‌شود. چگالی جریان مغناطیسی معادل با نماد $$J_{ms}$$ نشان داده می‌شود و مسئول هم‌جهت شدن بردار مغناطش $$M$$ با جهت میدان مغناطیسی $$B_a$$ است.

چگالی شار مغناطیسی در طول تیغه به دلیل حضور $$M$$ افزایش می‌یابد. بنابراین چگالی شار مغناطیسی در هر نقطه داخل تیغه مغناطیسی با رابطه زیر داده می‌شود:

$$\Large B= \mu_0 (H_a + M)$$
معادله (7)

ذکر این نکته ضروری است که واحد $$M$$ در معادله (۳) آمپر بر متر است و به شدت میدان مغناطیسی وابسته است. در حالت کلی، می‌توان چگالی شار مغناطیسی را به میدان مغناطیسی به وسیله پارامتر طراحی شده $$\mu_s$$ مرتبط دانست. واحد این پارامتر هانری بر متر است. پس می‌توان نوشت:

$$\Large B= \mu_s H_a$$
معادله (۸)

مقایسه معادله‌های (۷) و (۸)، نشان می‌دهد که $$M$$ نیز با $$H_a$$ با رابطه زیر مرتبط است:

$$\Large M= \chi_m H_a$$
معادله (۹)

 $$\chi_m$$ در این معادله، «حساسیت مغناطیسی» (Magnetic Susciptibility) نام دارد و بدون واحد است. با جایگزینی معادله (۹) در معادله (۷) و استفاده از آن در معادله (۸) خواهیم داشت:

$$\Large B= \mu_0 (H_a + \chi_m H_a)=\mu_0 (1+\chi_m)H_a = \mu_s H_a$$
معادله (۱۰)

پس می‌توان معادله زیر را نوشت:

$$\Large \mu_s = \mu_0 (1+ \chi_m)$$
معادله (۱۱)

در معادله (۱۱)، $$\mu_s$$، «نفوذپذیری مغناطیسی استاتیک» (Static Permeability) برای محیط است. مقدار نسبی $$\mu_{sr}$$ نسبت به فضای آزاد ($$\mu_0$$) به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\Large \mu_{sr} =\frac{\mu_s}{\mu_0} = 1+ \chi_m$$
معادله (۱۲)

جریان مغناطیسی معادل

در داخل ماده، چگالی جریان مغناطیسی محدود $$J_m$$ القا می‌شود و با بردار قطبیت مغناطیسی $$M$$ به صورت زیر مرتبط است: