منحنی اینولوت – از صفر تا صد

پیش‌تر در مطلبی جداگانه روابط مربوط به نسبت چرخ دنده را توضیح دادیم. جالب است بدانید منحنی که با استفاده از آن چرخ دنده طراحی می‌شود، منحنی اینولوت نامیده می‌شود. در این مطلب قصد داریم تا به صورت کمی روابط ریاضیاتی حاکم بر چنین منحنی را توضیح دهیم. البته به منظور درک بهتر پیشنهاد می‌شود مطلب تابع برداری را مطالعه فرمایید.

منحنی اینولوت چیست؟

در هندسه دیفرانسیلی، منحنی اینولوت عبارت است از منحنی که از نموداری دیگر بدست می‌آید. نخی فرضی را در نظر بگیرید که دور یک تابع پیچیده شده باشد. در حالی که این نخ به صورت کشیده نگه داشته شده، با گذشت زمان باز می‌شود. مسیر طی شده توسط نخ، نشان دهنده منحنی اینولوت است.

در این حالت دایره‌ تولید کننده این منحنی، گسترده یا Evolute نامیده می‌شود. در انیمیشن زیر نحوه بدست آمدن منحنی اینولوت به این روش نشان داده شده است.

در ادامه نحوه بدست آوردن منحنی اینولوت و روابط ریاضیاتی حاکم بر آن را بیشتر توضیح خواهیم داد.

روابط حاکم بر منحنی اینولوت

در ابتدا تابع برداری $$\large \overrightarrow { r }$$ را به صورت زیر تصور کنید.

$$\large \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r}\left( s \right)$$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق $$s$$ نشان دهنده طول خم است. هم‌چنین دقت کنید که در هر نقطه از خم، میزان خمیدگی منحنی، غیرصفر است. بنابراین اگر میزان خمیدگی با $$K$$ نشان داده شود، می‌توان گفت:

$$\large K \left ( s \right ) \ne 0$$

همچنین اندازه خمیدگی، به صورت عکس شعاع در نظر گرفته می‌شود. از طرفی شعاع خمیدگی در یک نقطه با $$R$$ نشان داده می‌شود. بنابراین می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

$$\large R = R \left ( s \right ) = \frac { 1 } { { K \left ( s \right ) } }$$

همانند شکل زیر در یک نقطه از منحنی مماسی رسم می‌کنیم. اگر برداری عمود همچون $$\large \overrightarrow { n }$$ را بر این خط ترسیم کنیم، طول $$MC$$ نشان دهنده اندازه شعاع خمیدگی خواهد بود.

نقطه $$C$$ را مرکز خمیدگی خم $$\gamma$$ در نقطه $$M$$ می‌نامند. مطابق با منحنی فوق اگر بردار مرکز خم را با $$\large \overrightarrow { \rho }$$ نشان دهند، در این صورت این کمیت را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

$$\large \overrightarrow{\rho} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{r} + R\overrightarrow{n}$$

در این صورت بردار عمود $$\large \overrightarrow { n }$$ به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { \overrightarrow { n } = \frac { 1 } { K } \frac { { d \overrightarrow { \tau} } } { { d s } } } = { \frac { 1 } { K } \frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow { r } } } { { d { s ^ 2 } } } } = { R \frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow { r } } }{ { d { s ^ 2 } } } }$$

در رابطه فوق $$\large \overrightarrow \tau$$، نشان دهنده بردار مماس است. هم‌چنین موقعیت نقطه $$C$$ مرتبط با $$M$$ به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large {\overrightarrow\rho = \overrightarrow { r } + R \overrightarrow { n } } = {\overrightarrow{ r } + { R ^ 2 } \frac { { { d ^ 2 } \overrightarrow { r } } } { { d { s ^ 2 } } } }$$

با استفاده از روابط فوق، به ازای هر نقطه‌ای از منحنی می‌توان مرکز خم را یافت. جالب است بدانید مرکز نقاط خم، منحنی گسترده یا evolute را تشکیل می‌دهد. هم‌چنین منحنی اولیه‌ی $$\gamma$$ نیز همان‌ منحنی اینولوت یا گستران است. ما مرکز نقاط خم را با نماد $$C$$ نشان می‌دهیم. فرض کنید مختصات نقطه مذکور برابر با $$\large \left( { \xi ,\eta } \right )$$ در نظر گرفته شود.

در این صورت شکل پارامتری خم $$\large \gamma$$ را می‌توان به صورت زیر نیز بیان کرد:

$$\large { x = x \left ( t \right ) , } \; \; \; { y = y \left ( t \right ) , } \;\;\;\kern-0.3pt { \alpha \le t \le \beta}$$

در این صورت مختصات مرکز خم در نقاط مختلف به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { \xi = x – y ^ \prime \frac{{{{\left( {x^ {\prime}} \right)}^2} + {{\left( {y ^ {\prime} } \right)}^2}}}{{x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } },}\;\;\;\kern-0.3pt {\eta = y + x ^ { \prime } \frac { { { { \left( { x ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ^ { \prime } } \right ) } ^ 2} } } { { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } }$$

از طرفی اگر خم $$\gamma$$، با استفاده از تابع $$\large y = f \left ( x \right )$$ نشان داده شود، در این صورت مختصات‌های مرکز خم به صورت زیر قابل محاسبه هستند.

$$\large { \xi = x – \frac { { 1 + { { \left ( { y ^ { \prime } } \right ) } ^ 2} } }{{y^{\prime\prime}}}y ^ {\prime} \ \ \ ,}\;\;\;\kern-0.3pt {\eta = y + \frac { { 1 + {{\left ( {y ^ { \prime } } \right ) } ^2 } } } { { y ^ { \prime \prime } } } }$$

در شکل زیر منحنی گسترده و منحنی اینولوت یا گستران نشان داده شده‌اند.

در ادامه مثال‌هایی از نحوه بدست آوردن منحنی اینولوت ارائه شده که مطالعه آن‌ها را توصیه می‌کنیم.

مثال ۱

منحنی گسترده دایره زیر را بدست آورید.

$$\large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = { R ^ 2 }$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + مرور و حل تست کنکور کارشناسی ارشد + گواهینامه در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا بهتر است معادله فوق را به صورت پارامتری یا همان برداری بیان کرد. در مطلب تابع برداری نحوه بدست آوردن شکل پارامتری یک تابع را توضیح دادیم. شکل پارامتری یک دایره نیز به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large x = R \cos t \ \ \ , \; \; \; y = R \sin t$$

در ابتدا باید مشتقات اول و دوم $$x$$ و $$y$$ را به صورت زیر نسبت به $$t$$ بدست آورد.

$$\large {x ^ { \prime } = {\left( {R\cos t} \right ) ^ \prime } = – R \sin t \ \ , } \;\;\;\kern-0.3pt { y ^ { \prime } = { \left ( { R \sin t } \right ) ^ \prime } = R \cos t }$$

$$\large { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { – R \sin t } \right ) ^ \prime } = – R \cos t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y ^ { \prime \prime } = { \left ( { R \cos t } \right ) ^ \prime } = – R\sin t }$$

بنابراین مختصات مرکز خم برابر است با:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – y ^ { \prime } \frac { { { { \left ( { x ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } } }{ { x ^ {\prime} y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ {\prime} } } \\~\\ & \kern-0.3pt {\eta = y + x ^ {\prime} \frac{{{{\left( { x ^ {\prime} } \right)}^2} + {{\left( { y ^ {\prime} } \right ) } ^ 2} } } { { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } } \end {align*}$$

با قرار دادن مشتقات در رابطه فوق، داریم:

$$ \large \begin {align*} \require{cancel}<br /> {\xi = x – y’\frac { { { { \left ( { x ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } + { {\left( { y ^ { \prime } } \right ) } ^2 }} } { { x ^ {\prime} y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } }<br /> = {{R\cos t – R\cos t \cdot}\kern0pt {\frac{\cancel { { { R ^2 } { { \sin } ^ 2 } t + {R^2}{{\cos }^2}t}}}{\cancel { { { R ^ 2} { { \sin } ^ 2 } t + { R^ 2} { {\cos } ^ 2 } t } } } } }<br /> = {\cancel{R\cos t} – \cancel{R\cos t} \equiv 0 } \end {align*} $$

$$\large \begin {align*} {\eta = y + x ^ {\prime} \frac{{{{\left( {x ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } + {{\left( { y ^ {\prime} } \right ) } ^ 2 } } } { { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } } = { { R \sin t – R\sin t} \cdot\kern0pt{\frac{\cancel { { { R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { \cos }^2}t}}}{\cancel { {{ R ^ 2 } { { \sin } ^ 2 } t + { R ^ 2} { { \cos } ^ 2 } t }} } } } = {R\sin t – R\sin t \equiv 0 } \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید مرکز منحنی گسترده یا همان دایره، محلی ثابت در نقطه $$\large \begin {align*} ( 0 , 0 ) \end {align*}$$ بدست آمده که منطقی است.

مثال ۲

منحنی گسترده بیضی زیر را بیابید.

$$\large \begin {align*} \frac { { { x^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + \frac { { { y ^2 } } } { { {b ^ 2 } } } = 1 \end {align*}$$

سوال در حقیقت این است که اینولوت چه تابعی برابر با بیضی فوق می‌شود. همانند مثال ۱ در اولین قدم باید بیضی را به صورت پارامتری بیان کنیم. در ادامه این کار انجام شده است.

$$\large x = a \cos t \ \ \ , \; \; \; y = b \sin t$$

در نتیجه مشتقات اول و دوم $$\large x , y$$ نسبت به متغیر $$t$$ برابرند با:

$$\large { x ^ { \prime } = { \left ( { a \cos t } \right ) ^ \prime } = – a \sin t }\;\;\;\kern-0.3pt { y ^ {\prime} = { \left ( { b \sin t } \right ) ^ \prime } = b\cos t }$$

$$\large { x ^ { \prime \prime } = {\left( { – a\sin t} \right)^\prime } = – a\cos t,}\;\;\;\kern-0.3pt {y^{\prime\prime} = {\left( {b\cos t} \right)^\prime } = – b\sin t }$$

بنابراین مختصات مرکز خم گسترده برابر است با:

$$\large \begin {align*} \xi & = x – y^{\prime}\frac{{{{\left( {x^{\prime}} \right)}^2} + {{\left( {y^{\prime}} \right)}^2}}}{{x^{\prime}y^{\prime\prime} – x^{\prime\prime}y^{\prime}}} \\ & = {{a\cos t – b\cos t}\cdot\kern0pt{\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{{ab\,{{\sin }^2}t + ab\,{{\cos }^2}t}} }} \\ & = {{a\cos t – \cos t}\cdot\kern0pt{\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{a} }} \\ & = {\frac{{{a^2}\cos t – {a^2}{{\sin }^2}t\cos t – {b^2}{{\cos }^3}t}}{a} = \frac{{{a^2}\cos t\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right) – {b^2}{{\cos }^3}t}}{a} } \\ & = {\frac{1}{a}\left( {{a^2}{{\cos }^3}t – {b^2}{{\cos }^3}t} \right) = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{a}{\cos ^3}t } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} { \eta = y + x^{\prime}\frac{{{{\left( {x^{\prime}} \right)}^2} + {{\left( {y^{\prime}} \right)}^2}}}{{x^{\prime}y^{\prime\prime} – x^{\prime\prime}y^{\prime}}} } & = {{b\sin t – a\sin t}\cdot\kern0pt{\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{{ab\,{{\sin }^2}t + ab\,{{\cos }^2}t}} }} \\ & = {{b\sin t – \sin t}\cdot\kern0pt{\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{b} }} \\ & = {\frac{{{b^2}\sin t – {a^2}{\sin^3}t – {b^2}{\cos^2}t\sin t}}{b} } \\ & = {\frac{{{b^2}\sin t\left( {1 – {{\cos }^2}t} \right) – {a^2}{\sin^3}t}}{b} } \\ & = {\frac{1}{b}\left( {{b^2}{\sin^3}t – {a^2}{\sin^3}t} \right) = \frac{{{b^2} – {a^2}}}{b}{\sin^3}t} \end {align*}$$

در نتیجه متغیر‌های توصیف کننده منحنی گسترده به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} { \xi = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{a}{\cos^3}t = \left( {a – \frac{b}{a}} \right){\cos ^ 3 } t,}\;\;\;\kern-0.3pt {\eta = \frac{{{b^2} – {a^2}}}{b}{\sin^3}t = \left( {b – \frac{a}{b}} \right){\sin ^3}t } \end {align*}$$

به منظور بدست آوردن شکل پارامتری منحنی گسترده، رابطه بین متغیر‌های $$η$$ و $$ξ$$ با $$t$$ را به صورت زیر بیان می‌کنیم.

$$\large \begin {align*} \xi & = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{a}{\cos^3}t \;\; \\ & \Rightarrow {a\xi = \left( {{a^2} – {b^2}} \right){\cos^3}t}\;\; \\ & \Rightarrow {\frac{{a\xi }}{{{a^2} – {b^2}}} = {\cos^3}t,}\;\; \\ & \Rightarrow {\frac{{{{\left( {a\xi } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = {\cos^2}t } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} \eta & = \frac{{{b^2} – {a^2}}}{b}{\sin^3}t \;\; \\ & \Rightarrow {b\eta = \left( {{b^2} – {a^2}} \right){\sin^3}t}\;\; \\ & \Rightarrow {\frac{{b\eta }}{{\left[ { – \left( {{a^2} – {b^2}} \right)} \right]}} = {\sin ^3}t}\;\; \\ & \Rightarrow {\frac{{{{\left( {b\eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = {\sin ^2}t } \end {align*}$$

حال با استفاده از دو رابطه فوق داریم:

$$\large \begin {align*} {\frac{{{{\left( {a\xi } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} + \frac{{{{\left( {b\eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} – {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = 1 }\;\;\Rightarrow {{\left( {a\xi } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {\left( {b\eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {\left( {{a^2} – {b^2}} \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} } \end {align*}$$

به منظور ساده‌تر کردن رابطه فوق از تبدیل‌های $$\large \begin {align*} a\xi = X \end {align*}$$، $$\large a^2-b^2=A$$ و $$b \eta = Y$$ استفاده می‌کنیم. با این فرض رابطه پارامتری جدیدی به صورت زیر بدست خواهد آمد. همان‌طور که در نمودار‌های زیر نیز نشان داده شده، شکل منحنی گسترده به صورت ستاره‌ای خواهد بود.

البته در برخی از موارد جهت این ستاره می‌تواند عکس باشد. برای نمونه نمودار زیر منحنی گسترده مربوط به تابع $$\large y=x^2$$ را نشان می‌دهد.

مثال ۳

نشان دهید که منحنی پارامتری زیر، اینولوت دایره‌ای به شعاع $$R$$ و به مرکز $$\large (0,0)$$ است.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین + گواهینامه در فرادرس

کلیک کنید

مشتقات اول و دوم تابع پارامتری فوق برابرند با:

$$\large \begin {align*} x ^ { \prime } & = {\left[ {R\left( {\cos t + t\sin t} \right)} \right]^\prime } \\ & = {R\left( { – \cancel{\sin t} + \cancel{\sin t} + t\cos t} \right) = Rt\cos t } \end {align*}$$

$$\large { x ^ { \prime \prime } = { \left ( { R t \cos t} \right) ^ \prime } } = { R\left ( {\cos t – t \sin t } \right) }$$

$$\large {y ^ { \prime } = { \left [ { R \left ( { \sin t – t \cos t } \right ) } \right] ^ \prime } } = { R \left ( {\cancel { \cos t } – \cancel{\cos t} + t\sin t} \right) = R t \sin t }$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {Rt\sin t} \right)^\prime } } = {R\left( {\sin t + t\cos t} \right) }$$

بنابراین بخشی از رابطه مربوط به مرکز منحنی به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large {D = \frac { { { { \left ( { x ^ { \prime } } \right ) } ^ 2 } + { { \left ( { y ^ {\prime} } \right ) }^ 2 } } } {{ x ^ {\prime} y ^ { \prime \prime } – x ^ { \prime \prime } y ^ {\prime} } } } = { 1 }$$

نهایتا مختصات مرکز خم برابر است با:

$$\large \begin {align*} {\xi = x – y’D } & = {R\left( {\cos t + t\sin t} \right) – Rt\sin t \cdot 1 } \\ & = {R\cos t + \cancel{Rt\sin t} – \cancel{Rt\sin t} } \\ & = {R\cos t } \end {align*}$$

$$\large \begin {align*} {\eta = y + x ^ {\prime} D } & = {R\left( {\sin t – t\cos t} \right) + Rt\sin t \cdot 1 } \\ & = {R\sin t – \cancel{Rt\cos t} + \cancel{Rt\cos t} } \\ & = {R\sin t } \end {align*}$$

نهایتا رابطه برداری منحنی گسترده به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} \xi = R\cos t \ \ \ ,\;\;\;\eta = R \sin t \end {align*}$$

بدیهی است که رابطه برداری فوق نشان دهنده یک دایره است، چراکه می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد:

$$\large \begin {align*} {\xi ^2} + {\eta ^2} = {R^2} \end {align*}$$

همان‌طور که در انیمیشن ابتدای متن نیز نشان داده شد، شکل منحنی اینولوت تولید شده توسط یک دایره به صورت زیر است.

جالب است بدانید که شکل دندانه‌ها چرخ دنده نیز همان منحنی اینولوت تولید شده توسط دایره است.

^^