تعیین مرکز برش در مقاطع جدار نازک باز — با مثال کاربردی

در مباحث «تحلیل تنش برشی در تیرهای جدار نازک باز» و «تحلیل تنش برشی در تیرهای بال پهن»، روش‌های محاسبه تنش‌های برشی موجود در تیرهای جدار نازک با مقطع باز را معرفی کردیم. در این مقاله، از روش‌های مذکور به منظور تعیین محل قرارگیری مرکز برش در تیرهای دارای تقارن منفرد یا تیرهای نامتقارن استفاده خواهیم کرد (مرکز برش تیرهای دارای تقارن مضاعف بر روی مرکز هندسی سطح مقطع آن‌ها واقع شده است). علاوه بر این، به منظور آشنایی بهتر با نحوه به کارگیری مفاهیم و روابط ارائه شده، به تشریح یک مثال کاربردی خواهیم پرداخت.

مقدمه

فرآیند تعیین محل قرارگیری مرکز برش از دو مرحله اصلی تشکیل می‌شود:

• مرحله اول: ارزیابی تنش‌های برشی اعمال شده بر روی سطح مقطع در هنگام رخ دادن خمش حول یکی از محورهای اصلی
• مرحله دوم: تعیین برآیند تنش‌های به دست آمده در مرحله قبلی

در مباحث «تحلیل تنش برشی در تیرهای جدار نازک باز» و «تحلیل تنش برشی در تیرهای بال پهن»، فقط از ابعاد محور مرکزی سطح مقطع تیر برای به دست آوردن روابط مورد نیاز و انجام محاسبات استفاده کردیم. توجه داشته باشید که این روش برای تیرهای جدار نازک (کم بودن ضخامت تیر در مقایسه با ابعاد دیگر آن) کاربرد دارد که در بخش‌های بعدی به بررسی انواع مختلف این نوع تیرها خواهیم پرداخت.

مقطع ناودانی

اولین تیری که در این مقاله مورد بررسی قرار می‌دهیم، تیر با مقطع ناودانی است (شکل زیر). بر اساس توضیحات ارائه شده در مبحث «مفهوم مرکز برش»، مرکز برش بر روی محور تقارن (محور z) قرار دارد. به منظور یافتن موقعیت مرکز برش، محور z را به عنوان محور خنثی در نظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم که تیر مورد تحلیل، حول این محور خم شده است. سپس، خط اثر برآیند نیروی برشی V_y را به دست می‌آوریم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

این نیرو، در جهت موازی با محور y اعمال می‌شود. به این ترتیب، مرکز برش در محل تقاطع خط اثر V_y با محور z قرار می‌گیرد. توجه داشته باشید که مبدأ محورها، مرکز هندسی C است. از این‌رو، هر دو محور y و z به عنوان محورهای اصلی گذرنده از مرکز هندسی (محورهای اصلی مرکزی) در نظر گرفته می‌شوند.

بر اساس مطالب ارائه شده در مبحث «تحلیل تنش‌های برشی موجود در تیرهای بال پهن»، تنش‌های برشی موجود در بال‌های یک ناودانی به صورت خطی و در جان به صورت سهمی‌وار تغییر می‌کنند (شکل زیر). اگر حداکثر تنش اعمال شده بر بال را با τ₁، تنش موجود در بالای جان را با τ₂ و حداکثر تنش اعمال شده بر جان را با τ_max را تعیین کنیم، امکان محاسبه برآیند تنش‌های مذکور فراهم می‌شود.

برای تعیین τ₁ در بال ابتدا گشتاور اول سطح بال حول محور z را به دست می‌آوریم:

b: عرض بال؛ t_f: ضخامت بال؛ h: ارتفاع تیر

توجه داشته باشید که ابعاد b و h در راستای محور مرکزی مقطع اندازه‌گیری شده‌اند. به این ترتیب، تنش τ₁ برابر است با:

I_z: ممان اینرسی حول محور z

تنش τ₂ در جان تیر نیز مشابه روند بالا (با جایگذاری ضخامت جان در رابطه) محاسبه می‌شود:

علاوه بر این، گشتاور اول سطح در محور خنثی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

به این ترتیب، تنش ماکسیمم برابر است با:

تنش‌های τ₁ و τ₂ در نیمه پایینی تیر با تنش‌های مربوطه در نیمه بالایی برابر هستند. با استفاده از نمودارهای تنش (شکل زیر) می‌توان نیروی برشی افقی F₁ در هر دو بال را مورد محاسبه قرار داد.

نیروهای موجود در بال‌ها با حاصل‌ضرب مثلث تنش در ضخامت بال برابر هستند:

از آنجایی که هیچ مؤلفه عمودی در نیروهای اعمال شده بر بال وجود ندارد، نیروی عمودی F₂ در جان تیر باید با نیروی برشی V_y برابر باشد. به منظور تأیید صحت محاسبات، تساوی F₂=V_y را با استفاده از نمودار تنش در قسمت جان تیر مورد بررسی قرار می‌دهیم. نمودار این ناحیه دارای یک قسمت مستطیلی با مساحت τ₂h و یک قسمت سهمی‌وار با مساحت زیر است:

به این ترتیب، نیروی برشی F₂ با حاصل‌ضرب مساحت نمودار برش (مجموع مساحت‌های دو قسمت) در ضخامت جان t_w برابر خواهد بود:

با جایگذاری عبارت‌های روابط τ₂ و τ_max در معادله بالا، به معادله زیر می‌رسیم:

در نهایت، توجه داشته باشید که ممان اینرسی I_z در معادله بالا به صورت زیر محاسبه می‌شود:

مبنای محاسبات بالا، ابعاد محور مرکزی مقطع است. با جایگذاری عبارت‌های رابطه I_z در معادله F₂ به نتیجه زیر می‌رسیم:

به این ترتیب، صحت محاسبات انجام شده تأیید می‌شود. V_y در شکل زیر، برآیند سه نیروی اعمال شده بر سطح مقطع را نمایش می‌دهد. این برآیند با محور z متقاطع است و از مرکز برش S می‌گذرد. بنابراین، گشتاور این نیروها حول هر نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع باید با گشتاور نیروی V_y حول آن نقطه برابر باشد. تعیین رابطه بین گشتاورها، امکان محاسبه مختصات مرکز برشی را فراهم می‌کند.

برای نمایش مرکز برش بر روی تصویر، آن را به عنوان مرکز گشتاورها در نظر می‌گیریم. در این حالت، گشتاور حاصل از نیروها برابر با F₁h-F₂e و نیروی برآیند V_y برابر با صفر خواهد بود. e، فاصله محور مرکزی جان تا مرکز برش است. با برابر قرار دادن این گشتاورها، به رابطه زیر می‌رسیم:

با جایگذاری عبارت‌های روابط F₁ و F₂ در رابطه بالا و حل معادله به دست آمده بر حسب e، خواهیم داشت:

اگر رابطه به دست آمده برای I_z را در معادله بالا قرار دهیم، به رابطه زیر می رسیم:

به این ترتیب، محل قرارگیری مرکز برش مقطع ناودانی به دست می‌آید. با توجه به مطالب ارائه شده در مبحث «مفهوم مرکز برش»، هرگاه نیروهای اعمال شده بر یک تیر ناودانی از مرکز برش آن عبور کنند، آن تیر در معرض خمشِ بدون پیچش قرار می‌گیرد. در صورت موازی بودن بارها با محور y و عدم گذر آن‌ها از مرکز برش (به عنوان مثال، در صورت اعمال بارها در صفحه دربرگیرنده جان)، می‌توان بارها را با مجموعه‌ای از نیروهای معادل استاتیکی (از جمله بارهای گذرنده از مرکز برش و کوپل های پیچشی) جایگزین کرد. در این حالت، ترکیبی از خمش و پیچش درون تیر به وجود می‌آید. اگر بارهای اعمال شده با محور z هم راستا باشند، یک خمش ساده حول محور y به وجود خواهد آمد. اگر این بارها به صورت مورب اعمال شوند و از روی مرکز برش عبور کنند، می‌توان آن‌ها را با بارهای معادل استاتیکی موازی با محورهای y و z جایگزین کرد.

مقطع نبشی

شکل زیر، یک مقطع نبشی با اضلاع برابر را نمایش می‌دهد. طول هر یک از اضلاع این مقطع برابر با b و ضخامت آن برابر با t است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

به منظور شروع تحلیل، محور z به عنوان محور تقارن و مرکز هندسی C، به عنوان مبدأ مختصات در نظر می‌گیریم. به این ترتیب، هر دو محور y و z، محورهای اصلی مرکزی خواهند بود.

برای تعیین موقعیت قرارگیری مرکز برش، روندی مشابه با روند ارائه شده در بخش قبلی را دنبال می‌کنیم. البته در ادامه خواهیم دید که محل قرارگیری مرکز برش مقطع نبشی با بررسی پیکربندی آن نیز قابل تعیین است.

به منظور شروع تحلیل، ابتدا فرض می‌کنیم که مقطع مورد بررسی در معرض یک نیروی برشی موازی با محور y (نیروی V_y) قرار دارد. سپس، تنش‌های برشی مربوطه را با استفاده از رابطه τ=V_yQ_z/I_zt به دست می‌آوریم. به این منظور، گشتاور اول مساحت بین نقطه a در لبه بیرونی تیر و مقطع bb در فاصله s از نقطه a را محاسبه می‌کنیم. مقدار این مساحت برابر با st و فاصله مرکز هندسی آن تا محور خنثی برابر با رابطه زیر است:

بنابراین، گشتاور سطح برابر است با:

با جایگذاری عبارت‌های این رابطه در رابطه τ، امکان محاسبه تنش برشی در فاصله s از لبه سطح مقطع فراهم می‌شود:

ممان اینرسی I_z برای نبشی مورد تحلیل (زاویه 45 درجه بین راستای محور خنثی و راستای اضلاع) از طریق رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر عبارت‌های این رابطه را در رابطه τ قرار دهیم، به معادله زیر می‌رسیم:

معادله، تنش برشی موجود در هر نقطه دلخواه بر روی اضلاع نبشی را به دست می‌آورد. رابطه بین فاصله s با تغییرات تنش حاصل در این معادله، از نوع رابطه درجه چهار است (شکل زیر).

با توجه به نمودار بالا، تنش برشی ماکسیمم در محل تقاطع اضلاع نبشی رخ می‌دهد. بنابراین، برای تعیین مقدار این تنش باید s را برابر b قرار دهیم:

نیروی برشی F در هر یک از اضلاع نبشی با حاصل‌ضرب نمودار تنش در ضخامت آن ضلع برابر است:

مؤلفه‌های افقی نیروهای F یکدیگر را خنثی می‌کنند. به همین دلیل، تنها اثر مؤلفه‌های عمودی آن‌ها باقی می‌ماند. هر یک از این مؤلفه‌های عمودی برابر 2√/F یا V_y/2 هستند. از این‌رو، برآیند نیروی عمودی با نیروی برشی V_y برابری می‌کند. به دلیل عبور نیروی برآیند از محل تقاطع خط اثرهای دو نیروی F، مرکز برش S در محل تقاطع دو ضلع نبشی قرار خواهد داشت.

مقاطع متشکل از دو چهارضلعی متقاطع

در بخش قبلی، نیروها و تنش‌های برشی موجود در اضلاع نبشی را مورد بررسی قرار دادیم. هدف این تحلیل، معرفی یک روش کلی برای تحلیل مقاطع جدار نازک باز بود. با این وجود، در صورتی که یافتن محل قرارگیری مرکز برش تنها هدف مسئله باشد، تعیین نیروها و تنش‌های برشی لزومی نخواهد داشت.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۲ در فرادرس

کلیک کنید

از آنجایی که تنش‌های برشی با محور مرکزی اضلاع موازی هستند، دو نیروی F به عنوان برآیندهای تنش‌های موجود در هر ضلع در نظر گرفته می‌شود. برآیند این دو نیرو، یک نیروی گذرنده از محل تقاطع آن‌ها است. در نتیجه، مرکز برش در این محل قرار دارد. به این ترتیب، می‌توان با یک استدلال تصویری ساده و بدون استفاده از هر گونه محاسباتی، محل قرارگیری مرکز برش یک مقطع نبشی با اضلاع برابر را تعیین کرد.

مطالب بالا برای مقاطع متشکل از دو چهارضلعی نازک متقاطع نیز قابل تعمیم است (شکل زیر). در این موارد، برآیند تنش‌های برشی، نیروهایی هستند که در محل تقاطع چهارضلعی‌ها به هم برخورد کرده‌اند. بنابراین، مرکز برش آن‌ها در محل مذکور قرار خواهد داشت.

مقطع Z

در این بخش، به بررسی محل قرارگیری مرکز برش یک مقطع Z با جدارهای نازک می‌پردازیم (شکل زیر). این نوع مقطع هیچ محور تقارنی ندارد اما حول مرکز هندسی سطح خود دارای تقارن است. محورهای y و z نیز محورهای اصلی گذرنده از مرکز هندسی سطح مقطع هستند.

در مرحله اول تحلیل، فرض می‌کنیم که یک نیروی برشی V_y به صورت موازی با محور y بر سطح مقطع اعمال شده و باعث ایجاد خمش حول محور z (محور خنثی) می‌شود. در این شرایط، جهت‌گیری تنش‌های برشی موجود در جان و بال‌های تیر مطابق شکل بالا است. با توجه به وجود تقارن در سطح مقطع، نیروهای F₁ موجود در بال‌ها با هم برابر خواهند بود (شکل زیر).

فیلم آموزش مقاومت مصالح در فرادرس

کلیک کنید

برآیند سه نیروی موجود در سطح مقطع (دو نیروی F₁ در بال‌ها و نیروی F₂ در جان) باید با نیروی برشی V_y برابر باشد. نیروهای F₁ دارای برآیند 2F₁ هستند. این برآیند از مرکز هندسی سطح مقطع عبور می‌کند و جهت‌گیری آن با راستای بال‌ها موازی است. برآیند 2F₁ نیروی F₂ را در مرکز هندسی C قطع می‌کند. به همین دلیل، خط اثر نیروی برشی V_y باید از مرکز هندسی سطح مقطع بگذرد.

اگر تیر مورد نظر تحت نیروی برشی V_y قرار گیرد و این نیرو موازی با محور z باشد، V_y از مرکز هندسی سطح مقطع عبور خواهد کرد. به دلیل قرارگیری مرکز برش در محل تقاطع دو نیروی برشی، مرکز برش مقطع Z با مرکز هندسی سطح آن تلاقی دارد. این نتیجه‌گیری برای تمام مقاطع Z دارای تقارن نقطه‌ای حول مرکز هندسی صادق است (تمام مقاطع Z که بال‌های آن‌ها دارای عرض و ضخامت یکسان باشند). با این وجود، هیچ الزامی برای برابر بودن ضخامت جان با ضخامت بال‌های تیر وجود ندارد. در ادامه، یک مثال متفاوت از مقاطع جدار نازک باز را مورد تحلیل و بررسی قرار می‌دهیم.

مثال

شکل زیر، یک مقطع جدا نازک نیم دایره‌ای با شعاع r و ضخامت t را نمایش می‌دهد. فاصله e از مرکز نیم دایره در نقطه O تا مرکز برش S را تعیین کنید.

مرکز برش مقطع بالا در نقطه‌ای بر روی محور تقارن (محور z) قرار دارد. به منظور تعیین محل دقیق این نقطه، فرض می‌کنیم که تیر مورد نظر توسط یک نیروی برشی موازی با محور y (نیروی V_y) و حول محور z (محور خنثی) تحت خمش قرار گرفته است.

تنش‌های برشی

اولین قدم تحلیل، تعیین تنش‌های برشی اعمال شده بر سطح مقطع است. به این منظور، مقطع bb در فاصله s از نقطه a را در نظر بگیرید. حرف θ بر روی شکل بالا، زاویه مرکزی بین نقطه a و مقطع bb را نمایش می‌دهد. بنابراین، فاصله s برابر rθ (حاصل‌ضرب شعاع r در زاویه بین a و bb) است. برای تعیین گشتاور اول سطح بین نقطه a و مقطع bb، المان dA را بر روی سطح مقطع مشخص کرده و سپس انتگرال زیر را محاسبه می‌کنیم:

φ: زاویه بین نقطه a تا المان مورد بررسی؛ t: ضخامت مقطع

به این ترتیب، تنش برشی τ در مقطع bb برابر است با:

با جایگذاری I_z=πr³t/2 (رابطه ممان اینرسی برای مقطع نازک نیم دایره) در رابطه بالا، خواهیم داشت:

اگر θ=0 یا θ=π باشد، τ=0 خواهد بود. در θ=π/2، تنش برشی به مقدار ماکسیمم می‌رسد.

محل قرارگیری مرکز برش

برآیند تنش‌های برشی باید به صورت یک نیروی برشی عمودی (V_y) باشد. از این‌رو، گشتاور حاصل از تنش‌های برشی (M₀) حول مرکز O با گشتاور نیروی V_y حول همان نقطه یکسان خواهد بود:

برای محاسبه M₀، ابتدا تنش برشی τ بر روی المان dA را با استفاده از رابطه زیر تعیین می‌کنیم:

به این ترتیب، گشتاور حاصل از نیروی τdA برابر است با:

از آنجایی که φdA=trd، رابطه بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

در نتیجه، گشتاور حاصل از نیروهای برشی با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آیند:

اگر رابطه بالا را بر حسب e بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

این نتیجه نشان می‌دهد که مرکز برش S در محلی خارج از مقطع نیمه دایره قرار گرفته است. به عنوان یک نکته تکمیلی به خاطر داشته باشید که فاصله مرکز نیم دایره تا مرکز هندسی مقطع برابر با 2r/π یا نصف فاصله e است. بنابراین، مرکز هندسی سطح مقطع در میانه مرکز برش و مرکز نیم دایره قرار دارد.