قاعده میسون — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با ابزارهای نمایش تصویری سیستم، یعنی نمودار بلوکی و نمودار گذر سیگنال و نحوه به‌دست آوردن آن‌ها بحث کردیم. گفتیم که با استفاده از نمودار گذر سیگنال می‌توان بدون انجام ساده‌سازی‌های زمان‌بَر - که در نمودار بلوکی وجود داشت - تابع تبدیل را با یک فرمول به‌دست آورد که «قاعده میسون» (Mason's Rule) یا فرمول بهره میسون (Mason's Gain Formula) نام دارد. در این آموزش، با فرمول بهره میسون آشنا می‌شویم. پیشنهاد می‌کنیم قبل از مطالعه این آموزش، مطلب نمودار گذر سیگنال را بخوانید.

فرمول بهره میسون

فرض کنید $$N$$ مسیر مستقیم در یک نمودار گذر سیگنال وجود دارد. بهره بین گره‌های ورودی و خروجی، چیزی جز تابع تبدیل سیستم نیست. این تابع تبدیل را می‌توان با استفاده از فرمول بهره میسون به‌دست آورد:

$$ \large T(s) = \frac { C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { \Sigma ^ N   _ { i = 1 } P _ i \Delta _ i } { \Delta } $$

$$ \large \Delta = 1 - \sum L _ i + \sum L _ i L _ j - \sum L _ i L _ j L _ k + \cdots + ( - 1 ) ^ m \sum \cdots +\cdots $$

فیلم آموزش سیستم های کنترل خطی در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، پارامترها عبارتند از:

• $$C(s)$$: گره خروجی
• $$R(s)$$: گره ورودی
• $$T(s)$$: تابع تبدیل یا بهره بین $$R(s) $$ و $$C(s) $$
• $$ P_i$$: بهره $$i$$اُمین مسیر پیشِ‌رو
• $$L_i$$: بهره هر حلقه از سیستم
• $$L_i L_j$$: حاصل‌ضرب بهره‌های دو حلقه از سیستم که تماسی با هم ندارند.
• $$ L_i L_j L_k$$: حاصل‌ضرب بهره‌های سه حلقه از سیستم که تماسی با هم ندارند.
• $$ \Delta _i$$: مقدار $$ \Delta $$ برای مسیر پیشِ‌روی $$i$$اُم که با حلقه‌های درگیر با همان مسیر در تماس نیست.

اصطلاحاتی را که بیان کردیم، با استفاده از نمودار گذر سیگنال زیر توضیح می‌دهیم.

مسیر

پیمایش یا گذر از یک گره به هر گره دیگر در جهت پیکان روی شاخه است (بدون اینکه از یک گره دو بار عبور شود).

مثال: $$ y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 $$ و $$ y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$ دو مسیر از نمودار گذر از سیگنال شکل بالا است.

مسیر روبه‌جلو یا پیشِ‌رو

مسیری است که از گره ورودی شروع شده و به گره خروجی می‌رسد.

مثال: $$ y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$ و $$ y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$ مسیرهای پیش‌ِرو هستند.

بهره مسیر پیشِ‌رو

با ضرب بهره شاخه‌های یک مسیر در یکدیگر به‌دست می‌آید.

مثال: $$ abcde $$ بهره مسیر پیشِ‌روی $$ y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$ و $$ abge $$ بهره مربوط به مسیر پیشِ‌روی $$ y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$ است.

حلقه

مسیری که از یک گره شروع شده و به همان گره ختم می‌شود، حلقه نام دارد. بنابراین، حلقه یک مسیر بسته است.

مثال: $$ y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$ و $$ y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3 $$ حلقه هستند.

بهره حلقه

با ضرب بهره مربوط به شاخه‌های یک حلقه در یکدیگر، بهره حلقه به‌دست می‌آید.

مثال: $$bj$$ بهره حلقه $$ y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$، و $$gh$$ بهره حلقه $$ y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3 $$ است.

حلقه‌های بدون تماس

حلقه‌هایی که هیچ گره مشترکی ندارند، حلقه بدون تماس نامیده می‌شوند.

مثال: حلقه‌های $$ y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$ و $$ y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4 $$ بدون تماس هستند.

مثالی از محاسبه تابع تبدیل با استفاده از قاعده میسون

همان نمودار گذر سیگنال قبل را در نظر بگیرید. می‌خواهیم با استفاده از فرمول بهره میسون، تابع تبدیل مربوط به آن را به‌دست آوریم.

اطلاعات مربوط به نمودار گذر سیگنال بالا به‌صورت زیر است:

• تعداد مسیرهای پیشِ‌رو: $$\large N=2$$.
• مسیر پیشِ‌روی اول: $$ \large  y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$.
• بهره مسیر پیشِ‌روی اول: $$ \large  p_1 = abcde $$.
• مسیر پیش‌ِروی دوم: $$ \large y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6 $$.
• بهره مسیر پیشِ‌روی دوم: $$ \large p_2 = abge $$.
• تعداد حلقه‌ها: $$ \large L=5$$.
• حلقه‌ها: $$ \large y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$، $$ \large y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3 $$، $$ \large y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3 $$، $$ \large y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4 $$ و $$ \large y_5 \rightarrow y_5   $$.
• بهره حلقه‌ها: $$\large  l_1 = bj $$، $$\large  l_2 = gh$$، $$ l_3 = cdh$$، $$ \large l_4 = di $$ و $$\large  l_5 = f\large  $$.
• تعداد جفت‌حلقه‌های بدون تماس: $$\large 2$$.
• جفت‌حلقه بدون تماس اول: $$ \large y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$ و $$ \large y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4  $$.
• حاصل‌ضرب بهره‌های دو حلقه بدون تماس اول: $$ \large l_1l_4 = bjdi $$.
• جفت‌حلقه بدون تماس دوم: $$ \large y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2 $$ و $$\large y_5 \rightarrow y_5  $$.
• حاصل‌ضرب بهره‌های دو حلقه بدون تماس دوم: $$ \large l_1l_5 = bjf $$.

مجموعه‌حلقه‌های بدون تماس با تعداد بالاتر از دو در نمودار گذر سیگنال وجود ندارد. بنابراین، حاصل $$ \Delta $$ برابر است با:

$$ \large \Delta = 1 - (L1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5) + (L_1 L_4 + L_1 L_ 5) - ( 0 ) $$

با جایگذاری مقادیر در معادله بالا، داریم:

$$ \large \Delta = 1 - ( b j + g h + c d h + d i + f ) + ( b j d i + b j f )   $$

$$ \large \Rightarrow \Delta = 1 - ( b j + g h + c d h + d i + f ) + b j d i + b j f $$

هیچ حلقه‌ای که بدون تماس با مسیر پیشِ‌روی اول باشد، وجود ندارد. بنابراین، $$ \Delta_1=1 $$. به‌طریق مشابه داریم: $$ \Delta_2=1 $$. با جایگذاری $$N=2$$ در فرمول بهره میسون، تابع تبدیل به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$ \large T = \frac { C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { \Sigma ^ 2 _ { i = 1 } P _ i \Delta _ i } { \Delta } $$

$$ \large T = \frac { C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { P _ 1 \Delta _ 1 + P _ 2 \Delta _ 2 } { \Delta } $$

اگر همه مقادیر لازم را در معادله بالا قرار دهیم، داریم:

$$ \large T = \frac{ C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { ( a b c d e ) 1 + ( a b g e ) 1 } { 1 - ( b j + g h + c d h + d i + f ) + b j d i + b j f } $$

$$ \large \Rightarrow T = \frac { C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { ( a b c d e ) + ( a b g e ) } { 1 - ( b j + g h + c d h + d i + f ) + b j d i + b j f } $$

بنابراین، تابع تبدیل برابر است با:

$$ \large T = \frac { C ( s ) } { R ( s ) } = \frac { ( a b c d e ) + ( a b g e ) } { 1 - ( b j + g h + c d h + d i + f ) + b j d i + b j f } $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• نمایش سیستم های دینامیکی با متلب — از صفر تا صد
• سیستم کنترل حلقه باز — به زبان ساده
• مکان هندسی ریشه ها (Root Locus) در مهندسی کنترل — به زبان ساده

^^