ضرب عدد در رادیکال – به زبان ساده با مثال و تمرین

۸۴۵ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۰۴ تیر ۱۴۰۳

زمان مطالعه: ۷ دقیقه

ضرب عدد در رادیکال – به زبان ساده با مثال و تمرین

ضرب عدد در رادیکال، بر اساس فرجه رادیکال صورت می‌گیرد. به عنوان مثال،‌ برای ضرب رادیکال با فرجه $۲$ در یک عدد، آن عدد را به توان $۲$ می‌رسانیم و این عدد توان‌دار را در عدد زیر رادیکال ضرب می‌کنیم. با این کار، به یک عدد رادیکالی می‌رسیم. با معکوس کردن این فرآیند می‌توانیم یک عدد رادیکالی را به ضرب عدد در رادیکال تبدیل کنیم. مفاهیم مرتبط با رادیکال، در پایه‌های هفتم، هشتم و نهم دوره اول متوسطه آموزش داده می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس، به آموزش ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال می‌پردازیم. علاوه بر این، چندین مثال و تمرین متنوع را حل می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

چگونه یک عدد را در رادیکال ضرب کنیم؟

چگونه ضرب عدد در رایکال را به خوبی یاد بگیریم؟

تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال

ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳ و بالاتر

فرمول ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال

ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی

آزمون سنجش یادگیری ضرب عدد در رادیکال

در ادامه این مطلب، علاوه بر ضرب عدد در رادیکال با فرجه $۲$ ، ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳ و بالاتر را به همراه حل مثال آموزش می‌دهیم. در انتهای آموزش نیز میزان یادگیری شما را با حل چند تمرین در قالب یک آزمون کوتاه می‌سنجیم.

چگونه یک عدد را در رادیکال ضرب کنیم؟

به منظور ضرب یک عدد در رادیکال، باید آن عدد را به توان $۲$ برسانیم و به زیر رادیکال ببریم. به این ترتیب و با ضرب مربع عدد در عدد زیر رادیکال، حاصل‌ضرب مورد نظر را به دست می‌آوریم. به طور کلی، مراحل ضرب عدد در رادیکال عبارت هستند از:

به توان $۲$ رساندن عدد غیررادیکالی
انتقال توان $۲$ عدد غیررادیکالی و علامت ضرب به زیر رادیکال
به دست آوردن حاصل ضرب زیر رادیکال

به عنوان مثال، عدد $۷$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم این عدد را در یک عدد رادیکالی مانند $\sqrt { ۵ }$ ضرب کنیم. عبارت جبری این ضرب به صورت زیر نوشته می‌شود:

$۷ \sqrt { ۵ }$

به این منظور تعیین حاصل عبارت بالا، ابتدا عدد غیررادیکالی (یعنی $۷$ ) را به توان $۲$ می‌رسانیم:

$۷ ^ ۲$

دلیل این کار را در بخش‌های بعدی توضیح می‌دهیم. در مرحله بعد، عدد توان‌دار بالا را به همراه علامت ضرب به زیر رادیکال می‌بریم:

$۷ \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۷ ^ ۲ \times ۵ }$

در مرحله آخر، عملیات ضرب زیر رادیکال را انجام می‌دهیم:

$۷ ^ ۲ = ۴۹$

$۷ \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۴۹ \times ۵ }$

$۷ \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۲۴۵ }$

به این ترتیب، حاصل‌ضرب عدد $۷$ در عدد رادیکالی $\sqrt { ۵ }$ برابر با $۷ \sqrt { ۲۴۵ }$ شد.

یک پسر نشسته پشت میز در حال مطالعه کتاب در دست

مثال ۱: محاسبه ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۲

حاصل عبارت $۸ \sqrt { ۱۱ }$ را به صورت یک عدد رادیکالی بنویسید.

مشاهده جواب

عبارت $۸ \sqrt { ۱۱ }$ ، ضرب یک عدد صحیح در یک عدد رادیکالی ( $۸$ در $\sqrt { ۱۱ }$ ) را نمایش می‌دهد. برای به دست آوردن حاصل این ضرب و نوشتن نتیجه آن به صورت یک عدد رادیکالی، ابتدا عدد صحیح را به توان $۲$ می‌رسانیم:

$۸ ^ ۲ = ۶۴$

در مرحله بعد، عدد بالا را به زیر رادیکال می‌بریم و در عدد زیر رادیکال ضرب می‌کنیم:

$۸ \sqrt { ۱۱ } = \sqrt { ۶۴ \times ۱۱ }$

با انجام ضرب زیر رادیکال، به نتیجه زیر می‌رسیم:

$۸ \sqrt { ۱۱ } = \sqrt { ۷۰۴ }$

فرآیند حل مثال‌های این بخش را به خاطر بسپارید. عکس این روند برای تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال استفاده می‌شود. در مطلب «رادیکال چیست؟ — قوانین رادیکال به زبان ساده»، راجع به ساده کردن عبارت‌های رادیکال یا جذر صحبت کردیم. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، یکی از روش‌های ساده‌سازی اعداد رادیکالی را آموزش می‌دهیم.

چگونه ضرب عدد در رایکال را به خوبی یاد بگیریم؟

بنر مجموعه آموزش دروس پایه هفتم در فرادرس — برای مشاهده فیلم آموزش دروس پایه هفتم، بر روی تصویر کلیک کنید.

مبحث رادیکال و محاسبات مربوط به آن، از مهم‌ترین مباحث ریاضی ارائه شده در پایه‌های مختلف دوره متوسطه اول است. دانش‌آموزان پایه‌های هفتم، هشتم و نهم، با حل مسائل مرتبط با این مبحث آشنا می‌شوند و آن را در حل مسائل پایه‌های بالاتر مورد استفاده قرار می‌دهند. به دلیل اهمیت بالای محاسبات رادیکال، بسیاری از دانش‌آموزان به دنبال یک منبع یادگیری خوب هستند که با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، مهارت و آمادگی آن‌ها برای حل سوالات امتحانی را افزایش دهد. فرادرس،‌ چندین فیلم آموزشی جامع و مفید را تهیه کرده است که تمام فصل‌های کتاب‌های ریاضی دوره متوسطه اول را پوشش می‌دهند و شما را در یادگیری سریع و ساده مبحث مورد نظرتان کمک می‌کنند. برای مشاهده این فیلم‌های آموزشی، بر روی لینک‌های زیر کلیک کنید:

تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال

برای یادگیری تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال، عدد رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$\sqrt { ۲۰ }$

به نظر شما آیا امکان نمایش این عدد رادیکالی به شکل دیگر وجود دارد. پیش از پاسخ به این سوال، به یک سوال دیگر فکر کنید. عدد زیر رادیکال (یعنی عدد $۲۰$ )، از ضرب کدامیک از جفت‌عددها به دست می‌آید. پاسخ این سوال را به صورت حاصل‌ضرب‌های زیر نمایش می‌دهیم:

$۱ \times ۲۰ = ۲۰$

$۲ \times ۱۰ = ۲۰$

$۴ \times ۵ = ۲۰$

اکنون، به دنبال ضربی بگردید که یکی از اعداد آن، مربع کامل باشد. منظور از مربع کامل، عددی است که بتوان آن را به صورت ضرب یک عدد در خودش نمایش داد. از میان اعداد بالا، فقط عدد $۴$ این ویژگی را دارد. این عدد را می‌توان به صورت ضرب عدد $۲$ در خودش نوشت:

$۴ = ۲ \times ۲$

یا

$۴ = ۲ ^ ۲$

اکنون، ضرب حاوی مربع کامل را به جای $۲۰$ در زیر رادیکال می‌نویسیم:

$\sqrt { ۲۰ } = \sqrt { ۴ \times ۵ }$

بر اساس قوانین رادیکال‌ها، رادیکال ضرب دو عدد با ضرب رادیکال هر یک از این اعداد در هم برابر است. به عبارت دیگر، داریم:

$\sqrt { ۴ \times ۵ } = \sqrt { ۴ } \sqrt { ۵ }$

در مراحل قبل دیدیم که $۴ = ۲ ^ ۲$ است. بنابراین:

$\sqrt { ۴ } \sqrt { ۵ } = \sqrt { ۲ ^ ۲ } \sqrt { ۵ }$

در نتیجه:

$\sqrt { ۲ ^ ۲ } \sqrt { ۵ } = ۲ \sqrt { ۵ }$

عدد $۴$ یا $۲ ^ ۲$ ، مربع کامل است و به صورت عدد $۲$ از رادیکال خارج می‌شود:

$\sqrt { ۲۰ } = ۲ \sqrt { ۵ }$

به این ترتیب، توانسیم طی مراحل بالا، عدد رادیکالی $\sqrt { ۲۰ }$ را به ضرب عدد در رادیکال ( $۲ \sqrt { ۵ }$ ) تبدیل کنیم. اگر مبحث ضرب عدد در رادیکال و تبدیل عدد رادیکالی به ضرب عدد در رادیکال را به خوبی یاد بگیرید، قادر به حل بسیاری از مسائل مربوط به رادیکال‌ها خواهید بود.

مثال ۲: تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۲

عدد رادیکالی $\sqrt { ۲۴۳ }$ را به ضرب عدد در رایکال تبدیل کنید.

مشاهده جواب

برای تبدیل $\sqrt { ۲۴۳ }$ به ضرب عدد در رایکال، باید عدد زیر رادیکال $( ۲۴۳ )$ را به صورت ضرب یک مربع کامل در عدد دیگر نمایش می‌دهیم. به این منظور، ابتدا ضرب‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با $۲۴۳$ می‌شود را می‌نویسیم:

$۱ \times ۲۴۳ = ۲۴۳$

$۳ \times ۸۱ = ۲۴۳$

$۹ \times ۲۷ = ۲۴۳$

از بین ضرب‌های بالا، دو ضرب دارای مربع کامل هستند. در ضرب $۳ \times ۸۱$ ، عدد $۸۱$ و در ضرب $۹ \times ۲۷$ ، عدد $۹$ مربع کامل است. از این میان، ضرب حاوی مربع کامل بزرگ‌تر $( ۳ \times ۸۱ )$ را انتخاب می‌کنیم و رادیکال را بر اساس آن بازنویسی می‌کنیم:

$\sqrt { ۲۴۳ } = \sqrt { ۳ \times ۸۱ }$

مربع کامل $۸۱$ ، از ضرب عدد $۹$ در خودش به دست می‌آید:

$۸۱ = ۹ \times ۹ = ۹ ^ ۲$

بنابراین، داریم:

$\sqrt { ۲۴۳ } = \sqrt { ۳ \times ۹ ^ ۲ }$

رادیکال $۳ \times ۹ ^ ۲$ ، با ضرب رادیکال $۳$ در رادیکال $۹ ^ ۲$ برابر است:

$\sqrt { ۲۴۳ } = \sqrt { ۳ } \times \sqrt { ۹ ^ ۲ }$

عدد $۹ ^ ۲$ به صورت عدد $۹$ از زیر رادیکال بیرون می‌آید. به این ترتیب، خواهیم داشت:

$\sqrt { ۲۴۳ } = \sqrt { ۳ } \times ۹$

یا

$\sqrt { ۲۴۳ } = ۹ \sqrt { ۳ }$

به این ترتیب توانستیم یک عدد رادیکالی را به صورت ضرب عدد در رادیکال بازنویسی کنیم.

ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳ و بالاتر

ضرب عدد در رادیکال با فرجه $۳$ و بالاتر، تفاوت چندانی با ضرب عدد در رادیکال با فرجه $۲$ ندارد. برای این کار، باید مراحل زیر را انجام داد:

تعیین فرجه رادیکال
نوشتن فرجه رادیکال به عنوان توان عدد غیررادیکالی
انتقال عدد غیررادیکالی به توان فرجه رادیکال به زیر رادیکال
محاسبه ضرب زیر رادیکال

به عنوان مثال، ضرب عدد $۲$ در $\sqrt [ ۳ ] { ۱۷ }$ را در نظر بگیرید. اینم ضرب به صورت زیر نوشته می‌شود:

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۱۷ }$

فرجه رادیکال برابر با $۳$ است. بنابراین، برای انتقال عدد غیررادیکالی به زیر رادیکال، آن را به توان $۳$ می‌رسانیم. با این کار، خواهیم داشت:

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ \times ۱۷ }$

اکنون، محاسبات زیر رادیکال را انجام می‌دهیم:

$۲ ^ ۳ = ۸$

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ \times ۱۷ }$

$۲ \sqrt [ ۳ ] { ۱۷ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۳۶ }$

توجه داشته باشید که برای تبدیل رادیکال با فرجه $۳$ به بالا به ضرب عدد در رادیکال، همین روند را معکوس می‌کنیم. به عبارت دیگر، ابتدا به دنبال دو عددی می‌گردیم که ضرب آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال شود. یکی از این اعداد باید به گونه‌ای باشد که بتوان آن را از درون رادیکال خارج کرد. در مثال بعدی، این فرآیند را به طور کامل آموزش می‌دهیم.

مثال ۳: تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال با فرجه ۳

عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ }$ را به صورت ضرب عدد در رایکال بنویسید.

مشاهده جواب

به منظور بازنویسی $\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ }$ و نوشتن آن به صورت ضرب عدد در عدد رایکالی، ابتدا به فرجه رادیکال توجه می‌کنیم. این فرجه برابر با $۳$ است. بنابراین، باید عدد زیر رادیکال را به صورت ضرب یک عدد در عددی با توان $۳$ بنویسیم. به عبارت دیگر، باید یک مکعب کامل از درون $۵۰۰$ بیرون بکشیم. به این منظور، به ضرب‌های زیر توجه کنید:

$۱ \times ۵۰۰ = ۵۰۰$

$۲ \times ۲۵۰ = ۵۰۰$

$۴ \times ۱۲۵ = ۵۰۰$

عدد $۱۲۵$ ، یک معکب کامل است. این عدد از ضرب سه باره عدد $۵$ در خودش به دست می‌آید:

$۱۲۵ = ۵ \times ۵ \times = ۵ ^ ۳$

بنابراین، اگر عدد $۱۲۵$ یا همان $۵ ^ ۳$ ، به زیر رادیکال با فرجه $۳$ برود، به صورت عدد $۵$ از رادیکال خارج می‌شود. بر این اساس، $\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ }$ را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ \times ۱۲۵ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ \times ۵ ^ ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ } \times ۵$

یا

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰۰ } = ۵ \sqrt [ ۳ ] { ۴ }$

به این ترتیب توانستیم یک عدد رادیکالی با فرجه $۳$ را به صورت ضرب یک عدد در رادیکال بنویسیم.

دو پسر دبیرستانی در حال صحبت و راه رفتن با لباس مدرسه - ضرب عدد در رادیکال

فرمول ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال

اگر روند ضرب عدد در رادیکال و تبدیل آن را به خوبی یاد گرفته باشید، نیازی به فرمول ندارید. با این وجود، فرمول زیر می‌تواند شما را در ابتدای راه برای حل مثال‌ها و تمرین‌های مربوط به این موضوع کمک کند:

$a \sqrt [ n ]{ b } = \sqrt [ n ] { a ^ n b }$

$a$ : عدد غیررادیکالی
$n$ : فرجه رادیکال
$b$ : عدد زیر رادیکال

روش استفاده از این فرمول را با حل یک مثال آموزش می‌دهیم.

مثال ۴: محاسبه ضرب عدد در رادیکال به توان ۱۰

حاصل عبارت $۲ \sqrt [ ۱۰ ] { ۴ }$ را به صورت یک عدد رادیکالی بنویسید.

مشاهده جواب

عبارت $۲ \sqrt [ ۱۰ ] { ۴ }$ ، ضرب یک عدد صحیح ( $۲$ ) در یک عدد رادیکالی با فرجه $۱۰$ را نمایش می‌دهد. برای به دست آوردن حاصل این عبارت به صورت یک عدد رادیکالی، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$a \sqrt [ n ]{ b } = \sqrt [ n ] { a ^ n b }$

$a$ : عدد غیررادیکالی برابر با $۲$
$n$ : فرجه رادیکال برابر با $۱۰$
$b$ : عدد زیر رادیکال برابر با $۴$

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$۲ \sqrt [ ۱۰ ]{ ۴ } = \sqrt [ ۱۰ ] { ۲ ^ { ۱۰ } \times ۴ }$

$۲ \sqrt [ ۱۰ ]{ ۴ } = \sqrt [ ۱۰ ] { ۲ ^ { ۱۰ } \times ۲ ^ ۲ }$

$۲ \sqrt [ ۱۰ ]{ ۴ } = \sqrt [ ۱۰ ] { ۲ ^ { ۱۲ } }$

$۲ \sqrt [ ۱۰ ]{ ۴ } = \sqrt [ ۱۰ ] { ۴۰۹۶ }$

در بخش‌های قبلی این مطلب از مجله فرادرس، اصول ضرب عدد در رادیکال و تبدیل رادیکال به ضرب عدد در رادیکال را برای فرجه‌های مختلف یاد گرفتید. در ادامه، یادگیری شما را با حل چند تمرین محک خواهیم زد.

یک پسر ایستاده کنار تخته با کیف در دست و در حال فکر کردن - ضرب عدد در رادیکال

ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی

ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی با توجه به قوانین رادیکال‌ها و اعداد توان‌دار صورت می‌گیرد. در این محاسبات، فرجه رادیکال و توان عدد زیر رادیکال از اهمیت بالایی برخوردار است. ضرب عدد رادیکالی در عدد رادیکالی را می‌توان در فرمول‌های زیر خلاصه کرد:

$\sqrt [ n ] { x } \cdot \sqrt [ n ] { y } = \sqrt [ n ] { x y }$

$a \sqrt [ n ] { x } \cdot b \sqrt [ n ] { y } = a b \sqrt [ n ] { x y }$

$\sqrt [ n ] { x } \cdot \sqrt [ m ] { x } = \sqrt [ n \times m ] { x ^ { n + m } }$

$a \sqrt [ n ] { x } \cdot b \sqrt [ m ] { x } = a b \sqrt [ n \times m ] { x ^ { n + m } }$

برای آشنایی بیشتر با نحوه استفاده از این فرمول‌ها، یک مثال را حل می‌کنیم.

مثال ۵: محاسبه ضرب رادیکال در رادیکال

حاصل‌ضرب عبارت رادیکالی $۷ \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$ در $۴ \sqrt { ۵ }$ را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

صورت سوال، خروجی ضرب زیر را از ما می‌خواهید:

$۷ \sqrt [ ۳ ] { ۵ } \cdot ۴ \sqrt { ۵ }$

به منظور تعیین جواب این عبارت، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$a \sqrt [ n ] { x } \cdot b \sqrt [ m ] { x } = a b \sqrt [ n \times m ] { x ^ { n + m } }$

$a$ : ضریب صحیح پشت رادیکال اول برابر با $۷$
$b$ : ضریب صحیح پشت رادیکال دوم برابر با $۴$
$x$ : عدد زیر رادیکال برابر با $۵$
$n$ : فرجه رادیکال اول برابر با $۳$
$m$ : فرجه رادیکال دوم برابر با $۲$

اکنون، مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$۷ \sqrt [ ۳ ] { ۵ } \cdot ۴ \sqrt { ۵ } = ( ۷ \times ۴ ) \sqrt [ ( ۳ \times ۲ ) ] { x ^ { ۳ + ۲ } }$

$۷ \sqrt [ ۳ ] { ۵ } \cdot ۴ \sqrt { ۵ } = ۲۸ \sqrt [ ۶ ] { x ^ { ۵ } }$

آزمون سنجش یادگیری ضرب عدد در رادیکال

در این بخش، سطح اطلاعات شما در مبحث ضرب عدد در رادیکال را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

عبارت $۹ \sqrt { ۱۳ }$ را به صورت یک عدد رادیکالی بنویسید. این عدد، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$\sqrt { ۱۱۷ }$

$\sqrt { ۱۰۵۳ }$

$\sqrt { ۱۵۲۱ }$

$\sqrt { ۵۰۷ }$

شرح پاسخ

برای نوشتن ضرب عدد صحیح در رادیکال به صورت یک عدد رادیکالی، ابتدا عدد صحیح را به توان فرجه رادیکال می‌رسانیم و آن را در عدد زیر رادیکال ضرب می‌کنیم. در اینجا، فرجه رادیکال برابر با $۲$ است. بنابراین، داریم:

$۹ \sqrt { ۱۳ } = \sqrt { ۹ ^ ۲ \times ۱۳ }$

$۹ \sqrt { ۱۳ } = \sqrt { ۸۱ \times ۱۳ }$

$۹ \sqrt { ۱۳ } = \sqrt { ۱۰۵۳ }$

در نتیجه، فرم رادیکالی عبارت $۱۳ \sqrt { ۹ }$ برابر با $\sqrt { ۱۰۵۳ }$ است.

عدد رادیکالی $\sqrt { ۳۲۰ }$ را به صورت ضرب عدد در رادیکال بنویسید. کدامیک از گزینه‌های زیر، نتیجه این تبدیل را نمایش می‌دهد؟

$۸ \sqrt { ۵ }$

$۶۴ \sqrt { ۵ }$

$۴۰ \sqrt { ۸ }$

$۵ \sqrt { ۸ }$

شرح پاسخ

برای نمایش یک عدد رادیکالی به صورت ضرب عدد در رادیکال، ابتدا باید عدد زیر را رادیکال $( ۳۲۰ )$ را به صورت ضرب یک مربع کامل بنویسیم. عدد $۳۲۰$ از ضرب عدد $۶۴$ (مربع کامل $۸$ ) در $۵$ به دست می‌آید. بنابراین، داریم:

$\sqrt { ۳۲۰ } = \sqrt { ۶۴ \times ۵ }$

$\sqrt { ۳۲۰ } = \sqrt { ۶۴ } \times \sqrt { ۵ }$

$\sqrt { ۳۲۰ } = \sqrt { ۸ ^ ۲ } \times \sqrt { ۵ }$

$\sqrt { ۳۲۰ } = ۸ \sqrt { ۵ }$

کدامیک از گزینه‌های زیر، حاصل‌ضرب عدد $۴$ در $\sqrt [ ۴ ] { ۵ }$ را نمایش می‌دهد؟

$\sqrt { ۱۲۸۰ }$

$\sqrt { ۳۲۰ }$

$\sqrt [ ۴ ] { ۳۲۰}$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۲۸۰ }$

شرح پاسخ

برای ضرب $۴$ در $\sqrt [ ۴ ] { ۵ }$ ، ابتدا آن را به توان $۴$ (فرجه رادیکال) می‌رسانیم تا امکان بردن آن به زیر رادیکال وجود داشته باشد. با این کار، خواهیم داشت:

$۴ \sqrt [ ۴ ] { ۵ } = \sqrt [ ۴ ] { ۴ ^ ۴ \times ۵ }$

$۴ ^ ۴ = ۲۵۶$

$۴ \sqrt [ ۴ ] { ۵ } = \sqrt [ ۴ ] { ۲۵۶ \times ۵ }$

$۴ \sqrt [ ۴ ] { ۵ } = \sqrt [ ۴ ] { ۱۲۸۰ }$

تبدیل عدد رادیکالی $\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ }$ به ضرب عدد در رایکال، در کدام گزینه آورده شده است؟

$۲ \sqrt { ۳ }$

$۳ \sqrt [ ۵ ] { ۲ }$

$۲ \sqrt [ ۵ ] { ۳ }$

$۳ \sqrt { ۲ }$

شرح پاسخ

برای تبدیل $\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ }$ به ضرب عدد در رادیکال، باید عدد زیر رادیکال $( ۱۹۲ )$ را به صورت ضرب یک عدد در یک عدد دیگر به توان $۵$ (فرجه رادیکال) بنویسیم. این دو عدد عبارت هستند از:

$۶۴ \times ۳ = ۱۹۲$

یا

$۲ ^ ۵ \times ۳ = ۱۹۲$

اکنون، به جای $۱۹۲$ ، ضرب بالا را زیر رادیکال قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ } = \sqrt [ ۵ ] { ۲ ^ ۵ \times ۳ }$

$\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ } = \sqrt [ ۵ ] { ۲ ^ ۵ } \times \sqrt [ ۵ ] { ۳ }$

به دلیل برابر بودن فرجه و توان در $\sqrt [ ۵ ] { ۲ ^ ۵ }$ ، عدد $۲$ از رادیکال خارج می‌شود:

$\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ } = ۲ \times \sqrt [ ۵ ] { ۳ }$

یا

$\sqrt [ ۵ ] { ۱۹۲ } = ۲ \sqrt [ ۵ ] { ۳ }$

کدامیک از گزینه‌های زیر، فرم دیگر عبارت $۷ \sqrt { ۲۷ }$ ‌ به صورت ضرب عدد در رادیکال است؟

$۲۱ \sqrt { ۳ }$

$۳ \sqrt { ۱۴۷ }$

$۹ \sqrt { ۱۴۷ }$

گزینه‌های $۱$ و $۲$

شرح پاسخ

برای اینکه فرم‌های مختلف نمایش $۷ \sqrt { ۲۷ }$ ‌ را به دست بیاوریم، ابتدا آن را به صورت یک عدد رادیکالی می‌نویسیم:

$۷ \sqrt { ۲۷ } = \sqrt { ۷ ^ ۲ \times ۲۷ }$ ‌

$۷ \sqrt { ۲۷ } = \sqrt { ۴۹ \times ۲۷ }$ ‌

$۷ \sqrt { ۲۷ } = \sqrt { ۱۳۲۳ }$ ‌

اکنون، باید عدد رادیکالی $\sqrt { ۱۳۲۳ }$ را به صورت ضرب عدد در رادیکال بنویسیم. به این منظور، ضرب‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با $۱۳۲۳$ می‌شوند را می‌نویسیم:

$۱ \times ۱۳۲۳ = ۱۳۲۳$

$۳ \times ۴۴۱ = ۱۳۲۳$

$۷ \times ۱۸۹ = ۱۳۲۳$

$۹ \times ۱۴۷ = ۱۳۲۳$

$۲۱ \times ۶۳ = ۱۳۲۳$

$۲۷ \times ۴۹ = ۱۳۲۳$

از بین اعداد بالا، $۴۴۱$ ، $۹$ و $۴۹$ ، مربع کامل هستند. به این ترتیب، داریم:

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = \sqrt { ۳ \times ۴۴۱ } = \sqrt { ۳ \times ۲۱ ^ ۲ }$

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = ۲۱ \sqrt { ۳ }$

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = \sqrt { ۹ \times ۱۴۷ } = \sqrt { ۳ ^ ۲ \times ۱۴۷ }$

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = ۳ \sqrt { ۱۴۷ }$

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = \sqrt { ۲۷ \times ۴۹ } = \sqrt { ۲۷ \times ۷ ^ ۲ }$

$\sqrt { ۱۳۲۳ } = ۷ \sqrt { ۲۷ }$

به این ترتیب، فرم‌های دیگر عبارت $۷ \sqrt { ۲۷ }$ ‌ به صورت ضرب عدد در رادیکال برابر با $۲۱ \sqrt { ۳ }$ و $۳ \sqrt { ۱۴۷ }$ است.

حاصل عبارت $۵ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$\sqrt { ۲۵۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰ }$

$\sqrt { ۵۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۵۰ }$

شرح پاسخ

برای به دست آوردن حاصل عبارت $۵ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ ، عدد پشت رادیکال ( $۵$ ) را به توان فرجه رادیکال ( $۳$ ) می‌رسانیم و آن را به صورت به زیر رادیکال می‌بریم:

$۵ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ \times ۲ }$

$۵ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۲۵ \times ۲ }$

$۵ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲۵۰ }$

عبارت $\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ }$ را به صورت ضرب عدد در رادیکال ساده کنید.

$۳ \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$

$۳ \sqrt { ۱۳ }$

$۹ \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$

$۲۷ \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$

شرح پاسخ

به منظور ساده‌سازی $\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ }$ ، به فرجه آن دقت کنید. این فرجه برابر با $۳$ است. بنابراین، باید عدد زیر رادیکال $( ۳۵۱ )$ را به صورت ضرب یک عدد مکعب کامل در عددی دیگر بنویسیم. به این منظور، ضرب‌هایی که حاصل آن‌ها برابر با $۳۵۱$ ‌ می‌شواد را فهرست می‌‌کنیم. با رسیدن به بزرگ‌ترین عدد مکعب کامل در این ضرب‌ها، دیگر نیازی به نوشتن ضرب‌های دیگر نخواهد بود.

$۱ \times ۳۵۱ = ۳۵۱$

$۳ \times ۱۱۷ = ۳۵۱$

$۹ \times ۳۹ = ۳۵۱$

$۱۳ \times ۲۷ = ۳۵۱$

در ضرب‌های بالا، تنها عدد مکعب کامل، $۲۷$ است که از سه مرتبه ضرب عدد $۳$ در خودش به دست می‌آید $( ۲۷ = ۳ ^ ۳ )$ . بنابراین، $۱۳ \times ۲۷$ را به جای عدد $۳۵۱$ در زیر رادیکال قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ \times ۲۷ }$

با توجه به قوانین رادیکال، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۳ ^ ۳ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ } \times ۳$

$\sqrt [ ۳ ] { ۳۵۱ } = ۳ \sqrt [ ۳ ] { ۱۳ }$

حاصل‌ضرب عدد $- ۱۰$ در $\sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ ، کدامیک از گزینه‌های زیر است؟

$- \sqrt [ ۳ ] { ۲۰۰۰ }$

$\sqrt [ ۳ ] { -۲۰۰۰ }$

$- \sqrt { ۲۰۰۰ }$

گزینه اول و دوم

شرح پاسخ

حاصل‌ضرب عدد $- ۱۰$ در $\sqrt [ ۳ ] { ۲ }$ ، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$- ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = ?$

برای به دست آوردن حاصل این ضرب، ابتدا فرجه عدد رادیکالی را تعیین می‌کنیم. این فرجه برابر با $۳$ است. در مرحله بعدی، عدد پشت رادیکال $( ۱۰ )$ را به توان فرجه $( ۳ )$ می‌رسانیم و آن را به صورت ضرب به زیر رادیکال می‌بریم:

$- ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = - \sqrt { ۱۰ ^ ۳ \times ۲ }$

$- ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = - \sqrt { ۱۰۰۰ \times ۲ }$

$- ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = - \sqrt { ۲۰۰۰ }$

نکته مهم در حل تمرین، امکان قرار گرفتن علامت منفی زیر رادیکال با فرجه فرد است. به عبارت دیگر، اگر فرجه رادیکال فرد باشد، می‌توانیم علامت منفی پشت رادیکال را به زیر آن انتقال دهیم. بنابراین، علاوه بر درست بودن جواب بالا، جواب زیر نیز درست است:

$- ۱۰ \sqrt [ ۳ ] { ۲ } = \sqrt { - ۲۰۰۰ }$

کدامیک از گزینه‌های زیر، تبدیل عدد رادیکالی $\sqrt [ ۳ ] { - ۷۲ }$ به ضرب عدد در رادیکال را نمایش می‌دهد؟

$- ۳ \sqrt [ ۳ ] { ۸ }$

$- ۲ \sqrt { ۹ }$

$- ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۹ }$

$- ۳ \sqrt { ۸ }$

شرح پاسخ

در رادیکال با فرجه فرد، امکان بیرون کشیدن علامت منفی از زیر رادیکال وجود دارد. بنابراین، داریم:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۷۲ } = - \sqrt [ ۳ ] { ۷۲ }$

به این ترتیب، برای پاسخگویی به این سوال، کافی است $\sqrt [ ۳ ] { ۷۲ }$ را به صورت ضرب عدد در رادیکال بنویسیم:

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ \times ۹ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ \times ۹ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۹ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۲ } = ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۹ }$

در نتیجه:

$\sqrt [ ۳ ] { - ۷۲ } = - ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۹ }$

کدامیک از گزینه‌های زیر، حاصل $\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲$ را نمایش می‌دهد؟

$۷$

$۴۹$

$\sqrt [ ۳ ] { ۴۹ }$

$۷ \sqrt [ ۳ ] { ۴۹ }$

شرح پاسخ

با توجه به قوانین رادیکال و اعداد توان‌دار، اگر یک عبارت رادیکالی را به توان برسانیم، می‌توانیم توان را به روی عدد زیر رادیکال انتقال دهیم. بنابراین، داریم:

$\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ ^ ۲ }$

عدد $۳۴۳$ ، یک مکعب کامل است که از سه مرتبه ضرب عدد $۷$ در خودش به دست می‌آید:

$۳۴۳ = ۷ \times ۷ \times ۷ = ۷ ^ ۳$

به این ترتیب:

$\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۶ ] { \left ( ۷ ^ { ۳ } \right ) ^ ۲ }$

می‌دانیم اگر عدد توان‌دار به توان برسد، می‌توانیم با ثابت نگه داشتن پایه، توان‌ها را در هم ضرب کنیم. از این‌رو:

$\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۶ ] { ۷ ^ ۶ }$

به دلیل برابر بودن توان عدد زیر رادیکال با فرجه، پایه عدد توان‌دار به عنوان جواب از رادیکال خارج می‌شود:

$\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲ = ۷$

در نتیجه، حاصل $\left ( \sqrt [ ۶ ] { ۳۴۳ } \right ) ^ ۲$ برابر با عدد $۷$ است.

بر اساس رای ۰ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

مجله فرادرس

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.