روش حذفی گاوس — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در این آموزش درباره روش حذفی گاوس که حذف گاوس-جردن (Gaussian-Jordan Elimination) نیز نامیده می‌شود بحث خواهیم کرد. این روش در حل دستگاه معادلات خطی کاربرد فراوانی دارد.

روش حذفی گاوس

دستگاه $$m \times n$$ معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید.

$$\large \begin {align*} a _ { 1 1 } x _ 1 + a _ { 1 2 } x _ 2 + \cdots + a _ { 1 n } x _ n & = b _ 1 \\ a _ { 2 1 } x _ 1 + a _ { 2 2 } x _ 2 + \cdots + a _ { 2 n } x _ n & = b _ 2 \\ a _ { 3 1 } x _ 1 + a _ { 3 2 } x _ 2 + \cdots + a _ { 3 n } x _ n & = b _ 3 \\ & \vdots \\ a _ { m 1 } x _ 1 + a _ { m 2 } x _ 2 + \cdots + a _ { m n } x _ n & = b _ m \\ \end {align*}$$

فیلم آموزش جبر خطی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

ماتریس ضرایب (Coefficient Matrix) دستگاه معادلات به صورت زیر است:

$$\large \begin {bmatrix} a _ { 1 1 } & a _ { 1 2 } & \cdots & a _ { 1 n } \\ a _ { 2 1 } & a _ { 2 2 } & \cdots & a _ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ { m 1 } & a _ { m 2 } & \cdots & a _ { m n } \end {bmatrix}$$

ماتریس افزوده (Augmented Matrix) دستگاه معادلات نیز به شکل زیر است:

$$\large \left[ \begin {array} {rrrr|r} a _ { 1 1 } & a _ { 1 2 } & \cdots & a _ { 1 n } & b _ 1 \\ a _ { 2 1 } & a _{ 2 2 } & \cdots & a _ { 2 n } & b _ 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a _ { m 1 } & a _ { m 2 } & \cdots & a _ { m n } & b _ m \end {array} \right]$$

برای حل دستگاه معادلات خطی می‌توانیم از روش حذفی گاوس استفاده کنیم که روند اجرای آن به صورت زیر است:

1. ماتریس افزوده دستگاه معادلات خطی را می‌نویسیم.
2. از عملیات سطری مقدماتی برای کاهش ماتریس افزوده به فرم پلکانی سطری کاهش یافته استفاده می‌کنیم.
3. دستگاه معادلات متناظر با ماتریس را به فرم پلکانی سطری می‌نویسیم.
4. دستگاه را با جایگذاری مقادیر حل می‌کنیم.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال را درباره روش حذفی گاوس بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش جبر خطی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

دستگاه معادلات زیر را با تبدیل ماتریس افزوده به فرم پلکانی کاهش یافته حل کنید. عملیات سطری مقدماتی را نیز مشخص کنید.

$$\large \begin {align*} x _ 1 + x _ 2 - x _ 5 & = 1 \\ x _ 2 + 2 x _ 3 + x _ 4 + 3 x _ 5 & = 1 \\ x _ 1 - x _ 3 + x _ 4 + x _ 5 & = 0 \end {align*}$$

حل: ماتریس افزوده دستگاه معادلات به صورت زیر است:

$$\large \left[ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end {array} \right] .$$

از عملیات سطری مقدماتی به صورت زیر استفاده می‌کنیم‌:

$$\large \begin {align*} \left[ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 3 - R _ 1 } \left[ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & 1 & 2 & - 1 \\ \end {array} \right] \xrightarrow { \substack { R _ 1 - R _ 2 \\ R _ 3 + R _ 2 } } \\[6pt] \left[ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 0 & - 2 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & 0 \\ \end {array} \right] \xrightarrow { \substack { R _ 1 + 2 R _ 3 \\ R _ 2 - 2 R _ 3 } } \left[ \begin{array} {rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & - 7 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 5 & 0 \\ \end {array} \right] . \end {align*}$$

ماتریس اخیر به فرم کاهش یافته سطری پلکانی است.

مقادیر مجهول $$x _ 1$$، $$x _ 2$$ و $$x _ 3$$ متناظر با ۱ سطرهای اول تا سوم هستند. بنابراین، این متغیرها وابسته و $$x _ 4$$ و $$x _ 5$$ متغیرهای مستقل هستند.

از ماتریس آخر، مجموعه جواب‌ها برای هر مقداری از $$x _ 4$$ و $$x _ 5$$ به صورت زیر است‌:

$$\large \begin {align*} x _ 1 & = - 3 x _ 4 - 6 x _ 5 \\ x _ 2 & = 3 x _ 4 + 7 x _ 5 + 1 \\ x _ 3 & = - 2 x _ 4 - 5 x _ 5 \end {align*}$$

مثال ۲

دستگاه معادلات خطی زیر را با استفاده از روش حذفی گاوس حل کنید.

$$\large \begin {align*} x + 2 y + 3 z & = 4 \\ 5 x + 6 y + 7 z & = 8 \\ 9 x + 1 0 y + 1 1 z & = 1 2 \end {align*}$$

حل: ابتدا ماتریس افزوده دستگاه معادلات را تشکیل می‌دهیم:

$$\large A = \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end {array} \right].$$

از عملیات سطری مقدماتی زیر برای رسیدن به فرم کاهش یافته سطری پلکانی استفاده می‌کنیم:

$$\large A \xrightarrow { R _ 3 - 9 R _ 1 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & - 8 & - 1 6 & - 2 4 \end {array} \right] \xrightarrow { - \frac { 1 } { 8 } R _ 3 } \left [\begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end {array} \right]$$

$$\large \xrightarrow { R _ 2 - 5 R _ 1 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 4 & - 8 & - 1 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end {array} \right] \xrightarrow { - \frac { 1 } { 4 } R _ 2 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end {array} \right]$$

$$\large \xrightarrow { R _ 3 - R _ 2 } \left[ \begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right]$$

ماتریس آخر به فرم پلکانی سطری است.

دستگاه معادلات خطی متناظر به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} x + 2 y + 3z & = 4 \\ y + 2 z & = 3 \\ 0 z & = 0 \end {align*}$$

معادله انتهایی $$0z=0$$ به این معنی است که $$z$$ می‌تواند هر عددی باشد. (به صورت نظام‌مندتر، متغیرهای متناظر با ۱ پیشرو در ماتریس به فرم پلکانی متغیرهای وابسته‌ هستند، و سایر متغیرها متغیرهای مستقل‌اند.)

بنابراین، می‌توان گفت که $$t$$ یک مقدار برای $$z$$ است، یعنی $$z = t$$. در نتیجه، از معادله دوم داریم: $$y = -2 t + 3$$.

از معادله اول نیز می‌توان نوشت:

$$\large x = - 2 y - 3 z + 4 = -2 ( - 2 t + 3 ) - 3 t + 4 = t - 2 .$$

بنابراین، برای هر $$t$$، مجموعه جواب برابر است با:

$$\large ( x , y , z ) = ( t - 2 , - 2 t + 3 , t )$$

مثال ۳

دستگاه معادلات زیر را با استفاده از روش حذفی گاوس حل کنید:

$$\large \begin {align*} 6 x + 8 y + 6 z +3 w & = - 3 \\ 6 x - 8 y + 6 z - 3 w & = 3\\ 8 y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 6 w & = 6 \end {align*}$$

حل: ماتریس افزوده به صورت زیر است:

$$\large A = \left[ \begin {array} {rrrr|r} 6 & 8 & 6 & 3 & - 3 \\ 6 & - 8 & 6 & - 3 & 3\\ 0 & 8 & 0 & - 6 & 6 \end {array} \right].$$

از عملیات سطری مقدماتی به شکل زیر برای کاهش دستگاه معادلات به یک ماتریس به فرم کاهش یافته سطری پلکانی استفاده می‌کنیم:

$$\large A \xrightarrow { R _ 2 – R _ 1} \left[ \begin {array} {rrrr|r} 6 & 8 & 6 & 3 & -3 \\ 0 & - 1 6 & 0 & - 6 & 6\\ 0 & 8 & 0 & - 6 & 6 \end {array} \right] \xrightarrow[ R _ 2 +2 R _ 3 ] { R _ 1 - R _ 3 } \left[\begin {array}{rrrr|r} 6 & 0 & 6 & 9 & - 9 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 8 & 1 8 \\ 0 & 8 & 0 & - 6 & 6 \end{array} \right ]$$

$$\large \xrightarrow [ \frac { 1 } { 2 } R _ 3 ] { \frac { 1 } { 3 } R _ 1 , \frac { - 1 } { 1 8 } R _ 2 } \left [ \begin {array} {rrrr|r} 2 & 0 & 2 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1\\ 0 & 4 & 0 & - 3 & 3 \end{array} \right ] \xrightarrow [ R _ 3 + 3 R _ 2 ] { R _ 1 - 3 R _ 2 } \left [ \begin {array} {rrrr|r} 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]$$

$$\large \xrightarrow [ \frac { 1 } { 4 } R _ 3 ] { \frac { 1 } { 2 } R _ 1 } \left [ \begin {array} {rrrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow { R _ 2 \leftrightarrow R _ 3 } \left [ \begin {array} {rrrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end {array} \right ]$$

ماتریس آخر به فرم کاهش یافته سطری پلکانی است. دستگاه معادلات خطی متناظر به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} x + z & = 0 \\ y & = 0 \\ w & = - 1 \end {align*}$$

فرص کنید $$z = t$$ یک متغیر مستقل باشد. در نتیجه، جواب به ازای هر $$t$$ برابر است با $$(x,y,z,w)=(-t,0,t,-1)$$.

مثال ۴

ماتریس افزوده زیر مربوط به یک دستگاه معادلات خطی است. جواب عمومی را به فرم برداری به دست آورید.

$$\large \left [ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 0 & - 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end {array} \right ] .$$

حل: دستگاه معادلات مربوط به ماتریس افزوده بالا به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} x _ 1 - x _ 3 - 2 x _ 5 & = 0 \\ x _ 2 + 2 x _ 3 - x _ 5 & = 0 \\ x _ 4 + x _ 5 = 0 . \end {align*}$$

با حل سیستم بالا خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} x _ 1 & = x _ 3 + 2 x _ 5 \\ x _ 2 & = - 2 x _3 + x _ 5 \\ x _ 4 & = -x _5 . \end {align*}$$

که در آن، متغیرهای $$x _ 2$$ و $$x _ 5$$ مستقل و سایر متغیرها وابسته‌اند.

در نتیجه، جواب عمومی $$\mathbf{x}$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} \mathbf { x } & = \begin {bmatrix} x _ 1 \\ x _ 2 \\ x _ 3 \\ x _ 4 \\ x _ 5 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} x _ 3 + 2 x _ 5 \\ - 2 x _ 3 + x_ 5 \\ x _ 3 \\ - x _ 5 \\ x _ 5 \end {bmatrix} \\[10pt] & = \begin {bmatrix} x _ 3 \\ - 2 x _ 3 \\ x _ 3 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 2 x _ 5 \\ x _ 5 \\ 0 \\ - x _ 5 \\ x _ 5 \end {bmatrix} = x _ 3 \begin {bmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} +x _ 5 \begin {bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} . \end {align*}$$

بنابراین، جواب عمومی به فرم برداری زیر خواهد بود:

$$\large \mathbf { x } = x _ 3 \begin {bmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 5 \begin {bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end {bmatrix} .$$

مثال ۵

دستگاه معادلات خطی زیر را حل کنید و فرم برداری جواب عمومی آن را بنویسید.

$$\large \begin {align*} x _ 1 - x _ 3 - 2 x _ 5 & = 1 \\ x _ 2 + 3 x_ 3 - x _ 5 & = 2 \\ 2 x _ 1 - 2 x _ 3 + x _ 4 - 3 x _ 5 & = 0 \end {align*}$$

حل: ماتریس افزوده دستگاه معادلات به صورت زیر است:

$$\large \left [ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 0 & - 1 & 0 &-2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & - 2 & 1 & - 3 & 0 \\ \end {array} \right ] .$$

از عملیات مقدماتی سطری به صورت زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \left [ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 0 & - 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & - 1 & 2 \\ 2 & 0 & - 2 & 1 & - 3 & 0 \\ \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 3 - 2 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rrrrr|r} 1 & 0 & - 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 2 \\ \end{array} \right ] . \end {align*}$$

ماتریس آخری به فرم کاهش یافته سطری پلکانی است.

متغیرهای $$x _ 1$$، $$x _ 2$$ و $$x _ 4$$‌ متناظر با ۱ پیشرو در ماتریس آخر است، بنابراین، متغیرهای وابسته‌ و متغیرهای $$x _ 3$$ و $$x _ 5$$ متغیرهای مستقل هستند.

بنابراین جواب عمومی به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {align*} x _ 1 & = x _ 3 + 2 x _ 5 + 1 \\ x _ 2 & = - 3 x _ 3 + x _ 5 + 2 \\ x _ 4 & = - x _ 5 - 2 . \end {align*}$$

فرم برداری جواب عمومی با جایگذاری در بردار $$\mathbf{x}$$ به دست می‌آید. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {align*} \mathbf { x } & = \begin {bmatrix} x _ 1 \\ x _ 2 \\ x _ 3 \\ x _ 4 \\ x _ 5 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} x _ 3 + 2 x _ 5 + 1 \\ - 3 x _ 3 + x _ 5 + 2 \\ x _ 3 \\ - x _ 5 - 2 \\ x _ 5 \end {bmatrix} \\[10pt] & = x _ 3 \begin {bmatrix} 1 \\ - 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 5 \begin {bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 0 \end{bmatrix} . \end {align*}$$

در نتیجه، فرم برداری جواب عمومی به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \mathbf { x } = x _ 3 \begin {bmatrix} 1 \\ - 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end {bmatrix} + x _ 5 \begin {bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end {bmatrix} + \begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 0 \end {bmatrix}$$

که در آن، $$x _3$$ و $$x _ 5$$ متغیرهای مستقل هستند.

مثال ۶

تابع $$g ( \theta ) = a \cos ( \theta ) + b \cos ( 2 \theta ) + c \cos ( 3 \theta )$$ را به گونه‌ای بیابید که  $$g ( 0 ) = g ( \pi / 2 ) = g ( \pi ) = 0$$ و در آن، $$a$$، $$b$$ و $$c$$ ثابت هستند.

حل: هر شرط لازم روی $$g$$ را می‌توان در یک معادله با ثابت‌های $$a$$، $$b$$ و $$c$$ قرار داد. به طور خاص، دستگاه معادلات خطی زیر را داریم:

$$\large \begin {align*} g ( 0 ) & = a + b + c = 0 \\[6pt] g \left ( \frac { \pi } { 2 } \right ) & = - b = 0 \\[6pt] g ( \pi ) & = - a + b – c = 0 . \end {align*}$$

برای حل این دستگاه، از روش حذف گاوس-جردن برای کاهش ماتریس افزوده استفاده می‌کنیم:‌

$$\large \begin {align*} \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 3 + R _ 2 ] { R _ 1 + R _ 2 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end {array} \right ] \xrightarrow [ R _ 3 + R _ 1 ] { ( - 1 ) R _ 2 } \left [ \begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] . \end {align*}$$

در نتیجه، جواب $$a + c = 0$$ و $$b = 0$$ را داریم.

بنابراین، جواب عمومی به فرم $$\large g ( \theta ) = a \cos ( \theta ) – a \cos ( 3 \theta )$$ خواهد بود که در آن، $$a$$ هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.

مثال ۷

تابع درجه دوم $$f ( x ) = a x ^ 2 + b x + c$$ را با $$f(1) = 3$$، $$f'(1) = 3$$ و $$f^{\prime\prime}(1) = 2$$ به دست آورید. عبارت‌های $$f'(x)$$ و $$f^{\prime\prime}(x)$$ به ترتیب، مشتق‌های اول و دوم را نشان می‌دهند.

حل: هر یک از شرط‌های لازم $$f$$ را می‌توان در قالب معادله‌ای با ثوابت $$a$$، $$b$$ و $$c$$ نوشت.

در عمل، $$f(1) = 3$$ معادله $$a + b + c = 3$$ را نشان می‌دهد. از آنجایی که $$f'(x) = 2ax + b$$، شرط $$f'(1) = 3$$ منجر به معادله $$2a + b = 3$$ خواهد شد. و در نهایت، $$f^{\prime\prime}(x) = 2a$$ و در نتیجه $$f^{\prime\prime}(1) = 2a = 2$$ است. بنابراین، دستگاه معادلات زیر را خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} a + b + c & = 3 \\ 2 a + b & = 3 \\ 2 a & = 2 \end {align*}$$

برای حل این دستگاه معادلات، می‌توانیم ماتریس افزوده را تشکیل و آن را کاهش دهیم. البته، برای این دستگاه ساده‌تر این است که مستقیماً آن را حل کنیم. از معادله سوم، مشخص است که $$a = 1$$. با قرار دادن این مقدار در معادله دوم، مقدار $$b = 1$$ به دست می‌آید. و در نهایت با جایگذاری دو مقدار به دست آمده در معادله اول، مقدار $$c = 1$$ به دست خواهد آمد.

بنابراین، تابع مورد نظر $$\large f ( x ) = x ^ 2 + x + 1$$ است.

مثال ۸

یک عدد دو رقمی دو ویژگی دارد: مجموع ارقام آن برابر با ۱۱ است و اگر جای ارقام آن را تعویض و آن را از عدد اصلی کم کنیم، نتیجه ۴۵ خواهد بود. این عدد را بیابید.

حل: کلید حل مسئله این است که عدد دو رقمی را می‌توان به صورت $$10 A + B$$ نوشت که در آن، $$A$$ و $$B$$ به ترتیب دهگان و یکان عدد هستند.

از اینکه مجموع دو رقم برابر با ۱۱ است، می‌توان معادله $$A + B = 11$$ را نوشت.

عدد با ارقام برعکس، $$10B + A$$ است و بنابراین، معادله $$10A + B – (10B + A) = 45$$ را خواهیم داشت. با ساده‌سازی این معادله، به دستگاه معادلات زیر می‌رسیم:

$$\large \begin {align*} A + B & = 11 \\ 9 A - 9 B & = 45 \end {align*}$$

برای حل این دستگاه معادلات، ماتریس افزوده را تشکیل می‌دهیم و از عملیات سطری مقدماتی برای به دست آوردن فرم کاهش یافته سطری پلکانی استفاده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \left[ \begin {array} {rr|r} 1 & 1 & 11 \\ 9 & - 9 & 4 5 \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 2 – 9 R _ 1 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 1 & 11 \\ 0 & - 1 8 & - 5 4 \end {array} \right] \\[6pt] \xrightarrow { \frac { - 1 } { 1 8 } R _ 2 } \left[ \begin {array}{rr|r} 1 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 3 \end {array} \right] \xrightarrow { R _ 1 – R _ 2 } \left [ \begin {array} {rr|r} 1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 3 \end {array} \right ] . \end {align*}$$

در نهایت، از ماتریس افزوده جواب $$A = 8$$ و $$B = 3$$ به دست می‌آید. عدد نیز برابر است با $$10 A + B = 83$$.