دوران مقاطع مخروطی — از صفر تا صد

همان‌طور که می‌دانیم، مقاطع مخروطی زمانی تشکیل می‌شوند که یک صفحه، به گونه‌ای، بخشی از مجموعه دو مخروط را که در رأس با هم مشترک هستند قطع کند. در این آموزش درباره دوران مقاطع مخروطی بحث خواهیم کرد.

شکل زیر، تشکیل بیضی، دایره، هذلولی و سهمی را به خوبی نشان می‌دهد.

بیضی‌ها، دایره‌ها، هذلولی‌ها و سهمی‌ها گاهی مقاطع مخروطی ناتباهیده (Nondegenerate) نیز نامیده می‌شوند تا با مقاطع مخروطی تباهیده (Degenerate) که در شکل ۲ نشان داده شده‌اند تمایز داده شوند. یک مقطع مخروطی تباهیده وقتی ایجاد می‌شود که یک صفحه دو مقطع را در رأس قطع کند. بسته به زاویه صفحه، سه نوع مقطع مخروطی ممکن است ایجاد شود: یک نقطه، یک خط یا دو خط متقاطع.

فرم عمومی مقاطع مخروطی

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات مقاطع مخروطی مختلف آشنا شدیم.

در این بخش، معادله عمومی مقاطع مخروطی را ارائه خواهیم کرد که می‌توان از آن برای هر مقطع مخروطی استفاده کرد. فرم عمومی، معادله‌ای برابر با صفر است و جملات و ضرایب مرتبه خاصی دارند:

$$\large A x ^ 2 + B x y + C y ^ 2 + D x + E y+ F = 0$$

که در آن، $$A$$، $$B$$ و $$C$$ نمی‌توانند همه با هم صفر باشند. می‌توانیم از مقادیر ضرایب برای تعیین نوع مقطع مخروطی مربوط به معادله داده شده استفاده کنیم. احتمالاً این پرسش برایتان ایجاد شده که چرا فرم عمومی بالا دارای جمله $$x y$$ بوده و در فرم‌ عمومی مقاطعی که تاکنون با آن‌ها آشنا شده‌ایم وجود نداشته است. همان‌طور که در ادامه نیز بحث خواهیم کرد، وقتی $$B$$ صفر نباشد، جمله $$x y$$ مقطع مخروطی را می‌چرخاند.

همان‌طور که گفتیم، فرم عمومی یک مقطع مخروطی به صورت زیر است:

$$\large A x ^ 2 + B x y + C y ^ 2 + D x + E y + F = 0 \;\;\;\;\; (1)$$

که در آن، $$A$$، $$B$$ و $$C$$ نمی‌توانند با هم صفر شوند. جدول زیر خلاصه‌ای از مقاطع مخروطی مختلف را نشان می‌دهد که در آن‌ها، $$B = 0$$ و $$A$$ و $$C$$ اعداد حقیقی غیرصفر هستند. صفر بودن $$B$$ یعنی اینکه مقطع مخروطی نچرخیده است.

تعیین مقطع مخروطی از روی معادله آن

برای تعیین نوع یک مقطع مخروطی از معادله آن، گام‌های زیر را طی می‌کنیم:

۱. بازنویسی معادله به فرم عمومی (۱)؛ یعنی $$A x ^ 2 + B x y + C y ^ 2 + D x + E y + F = 0$$.

۲. تعیین مقادیر $$A$$ و $$C$$ از فرم عمومی:

• اگر $$A$$ و $$C$$ غیرصفر، هم‌علامت و نابرابر باشند، نمودار ممکن است یک بیضی باشد.
• اگر $$A$$ و $$C$$ برابر، غیرصفر و هم‌علامت باشند، نمودار ممکن است یک دایره باشد.
• اگر $$A$$ و $$C$$ غیرصفر و دارای علامت‌های مخالف باشند، آنگاه نمودار ممکن است یک هذلولی باشد.
• اگر $$A$$ و $$C$$ صفر باشند، آن‌گاه نمودار ممکن است یک سهمی باشد.

اگر $$B = 0$$، مقطع مخروطی یک محور عمودی و/یا افقی خواهد داشت. اگر $$B$$ برابر با صفر نباشد، همان‌گونه که در ادامه نشان داده شده است، مقطع مخروطی دوران یافته است. در عبارات بالا به عبارت «ممکن است» دقت کنید؛ زیرا شاید بسته به مقادیر $$A$$، $$B$$، $$C$$، $$D$$، $$E$$ و $$F$$ معادله در حالت کلی یک مقطع مخروطی را نشان ندهد. برای مثال، وقتی $$A$$ و $$B$$ علامت یکسانی داشته باشند، حالت تباهیده یک دایره یا یک بیضی یک نقطه است:

$$\large A x ^ 2 + B y ^2 = 0 , \;\;\;\;\; (2)$$

وقتی $$A$$ و $$B$$ علامت‌های مخالف هم داشته باشند، حالت تباهیده یک هذلولی دو خط راست متقاطع است: $$Ax^2+By^2=0$$. در مقابل، وقتی $$A$$ و $$B$$ مثبت باشند، معادله $$Ax^2+By^2+1=0$$ بوده و در حالت کلی نمودار خاصی را نشان نمی‌دهد، زیرا زوج مرتب حقیقی که در آن صدق کند وجود ندارد.

مثال ۱

نمودار متناظر با هر یک از مقاطع مخروطی ناتباهیده زیر را مشخص کنید.

• الف) $$4 x ^ 2 − 9 y ^ 2 + 3 6 x + 3 6y − 1 2 5 = 0$$
• ب)‌ $$9 y ^ 2 + 1 6x + 3 6 y − 1 0 = 0$$
• ج) $$3 x ^ 2 + 3 y ^ 2 − 2 x− 6 y − 4 = 0$$
• د) $$− 2 5 x ^ 2 − 4 y ^ 2 + 1 0 0x + 1 6y + 2 0 = 0$$

حل الف: فرم عمومی (معادله (۱)) را بازنویسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \color {red} { A } \color {black} x ^ { 2 } + \color {blue} { B } \color {black} x y + \color {red} { C } \color {black} y ^ { 2 } + \color{blue} { D } \color {black} x + \color {blue} { E } \color {black} y + \color {blue} { F } & = 0 \\ 4 x ^ { 2 } + 0 x y + ( - 9 ) y ^ { 2 } + 36 x + 36 y + ( - 1 2 5 ) & = 0 \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، $$A = 4$$ و $$C = - 9$$ است و $$A$$ و $$C$$ علامت‌های مخالف هم دارند. نمودار این معادله یک هذلولی است.

حل ب: فرم عمومی (معادله (۱)) را بازنویسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \color {red} { A } \color {black} x ^ { 2 } + \color {blue} { B } \color {black} x y + \color {red} { C } \color {black} y ^ { 2 } + \color {blue} { D } \color {black} x + \color {blue} { E } \color {black} y + \color {blue} { F } & = 0 \\[4pt] 0 x ^ { 2 } + 0 x y + 9 y ^ { 2 } + 16 x + 36 y + ( - 1 0 ) & = 0 \end {align*}$$

که در آن، $$A = 0$$ و $$C = 9$$. از آنجایی که $$A$$ صفر است، می‌توان گفت که این معادله یک سهمی را نشان می‌دهد.

حل ج: فرم عمومی (معادله (۱)) را بازنویسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \color {red} { A } \color {black} x ^ { 2 } + \color {blue} { B } \color {black} x y + \color {red} { C } \color {black} y ^ { 2 } + \color {blue} { D } \color {black} x + \color {blue} { E } \color {black} y + \color {blue} { F } & = 0 \\[4pt] 3 x ^ { 2 } + 0 x y + 3 y ^ { 2 } + ( - 2 ) x + ( - 6 ) y + ( - 4 ) & = 0 \end {align*}$$

که در آن، $$A = 3$$ و $$C = 3$$ است. با توجه به برابر بودن $$A$$ و $$C$$، معادله مربوط به یک دایره است.

حل د: فرم عمومی (معادله (۱)) را بازنویسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \color {red} { A } \color {black} x ^ { 2 } + \color {blue} { B } \color {black} x y + \color {red} { C } \color {black} y ^ { 2 } + \color {blue} { D } \color {black} x + \color {blue} { E } \color {black} y + \color {blue} { F } & = 0 \\[4pt] ( - 2 5 ) x ^ { 2 } + 0 x y + ( - 4 ) y ^ { 2 } + 1 0 0 x + 1 6 y + 2 0 & = 0 \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینیم، $$A = -25$$ و $$C = -4$$ است. از آنجایی که $$AC> 0$$ و $$A \neq C$$، نمودار این معادله یک بیضی است.

دوران مقاطع مخروطی

تاکنون، معادلات مقاطع مخروطی را بدون جملات $$x y$$ بررسی کردیم که نمودارها را روی محورهای $$x$$ و $$y$$ تراز می‌کرد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

وقتی جمله $$xy$$ را به معادلات اضافه کنیم، در واقع مقطع مخروطی را حول مبدأ چرخانده‌ایم. اگر محورهای $$x$$ و $$y$$ با زاویه مشخص $$\theta$$ چرخانده شوند، آنگاه هر نقطه روی صفحه که با زوج مرتب $$(x, y )$$ نمایش داده می‌شود، به نقطه جدید $$(x' , y')$$ منتقل خواهد شد. در این حالت، محورهای جدید $$x'$$ و $$y'$$ هستند (شکل ۳).

$$x^2+y^2–xy–15=0$$" width="390" height="353">

اکنون می‌خواهیم رابطه بین $$x$$ و $$y$$ صفحه کارتزین را با $$x'$$ و $$y'$$ صفحه دوران یافته جدید پیدا کنیم (شکل ۴).

$$x$$ و $$y$$ و محورهای $$x'$$ و $$y'$$ حاصل از دوران به اندازه زاویه $$\theta$$" width="439" height="330">