شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
تابع جز صحیح هر مقداری را تبدیل به کوچکترین عدد صحیح مجاورش میکند. در این مطلب از مجله فرادرس به محاسبه انتگرال جز صحیح میپردازیم که باید با توجه به تعریف تابع جزء صحیح آن را در بازههای قرار دهیم که مقدار تابع جز صحیح عدد صحیح شود سپس به راحتی میتوانیم انتگرال آن را حساب کنیم. همچنین انتگرال جز صحیح را با روشهای مختلف انجام خواهیم داد و در ادامه جدول انتگرالهای توابع مهم را ارائه خواهیم کرد. پس اگر به این موضوع علاقهمند هستید این مطلب را تا آخر مطالعه کنید.
از دیدگاه هندسی، مساحت زیر یک منحنی را میتوان با انتگرال گرفتن از آن تابع محاسبه کرد.
چگونه انتگرال جز صحیح را حساب کنیم؟
همانطور که پیشتر اشاره شد، برای محاسبه انتگرال شامل تابع جژ صحیح باید ابتدا تابع جزء صحیح را به نحوی داخل بازههای تعیین شده در انتگرال محاسبه کنیم که حاصل آن یک عدد صحیح شود و بتوانیم آن را از انتگرال خارج کنیم. سپس میتوانیم انتگرال باقیمانده را به روش مناسب حل کنیم. در نتیجه از آنجا که محاسبه انتگرال جز صحیح نیازمند تعیین بازه است، تمام انتگرالهای این مطلب، معین خواهند بود. به مثالهای زیر درمورد شیوه محاسبه انتگرال شامل تابع جزء صحیح توجه کنید.
مثال اول انتگرال جز صحیح
میخواهیم مقدار انتگرال معین زیر را حساب کنیم.
∫02[x]dx
پاسخ:
با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع را در بازههایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.
[x]=0[x]=1⇔⇔0≤x<11≤x<2
سپس میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک میکنیم.
∫010dx+∫121dx
بنابراین خواهیم داشت:
∫02[x]dx=0+x∣12=2−1=1
مثال دوم انتگرال جز صحیح
انتگرال ∫04[2x]dx را حساب کنید.
پاسخ:
مطابق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع را در بازههایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.
[2x]=0[2x]=1⇔⇔0≤x<22≤x<4
در مرحله بعد میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک میکنیم.
∫020dx+∫241dx
در نتیجه خواهیم داشت:
∫13[2x]dx=0+∫241dx=x∣24=4−2=2
مثال سوم انتگرال جز صحیح
میخواهیم مقدار انتگرال معین زیر را حساب کنیم.
∫−12x2×[3x]dx
پاسخ:
ابتدا باید بازهها را طوری تفکیک کرد تا خروجی تابع جزء صحیح یک عدد صحیح شود.
[3x]=−3[3x]=0[3x]=3⇔⇔⇔−1≤x<00≤x<11≤x<2
سپس میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و مقدارش را در تابع بیرونی ضرب کنیم و انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک کنیم.
∫−10x2×(−3)dx+∫01x2×(0)dx+∫12x2×(3)dx
بنابراین خواهیم داشت:
∫−12x2×[3x]dx=−x3∣−10+0+x3∣12=1+8−1=8
مثال چهارم انتگرال جز صحیح
انتگرال زیر را محاسبه کنید.
∫13[x]lnxdx
پاسخ:
با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع را در بازههایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.
[x]=1[x]=2⇔⇔1≤x<22≤x<3
در مرحله بعد میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در تابع لگاریتمی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک میکنیم.
روشهای انتگرالگیری از توابع جز صحیح را چطور یاد بگیریم؟
برای درک بهتر انتگرال، ابتدا باید با مفاهیم پایه مانند مشتق آشنا باشید. انتگرال در واقع عکس عمل مشتق است و با این روش میتوان مساحت زیر منحنی یا حجم را محاسبه کرد. پس از درک مفاهیم ابتدایی، انواع روشهای محاسبه انتگرال را بررسی کنید. در مرحله بعد مفاهیم پیشرفتهتر مانند کاربردهای انتگرال در ریاضی را مطالعه کنید. در نهایت، با استفاده از فیلمهای آموزشی موجود در فرادرس میتوانید مفاهیم مشتق و انتگرال و کاربردهای آنها را یادبگیرید.
اگر به این موضوع علاقهمند هستید، میتوانید از فیلمهای آموزشی فرادرس که در همین رابطه تهیه شدهاند بهره بگیرید. دیدن این دورهها به ترتیبی که در ادامه آورده شده است به شما پیشنهاد میشوند.
بیشتر مسائلی که با آنها روبرو میشویم آن قدر ساده نیستند بنابراین لازم است تا با روشهای جدیدی آشنا شویم. برای محاسبه انتگرال شامل تابع جز صحیح روشهای زیر وجود دارد و برای یادگیری بیشتر و بهتر این موضوع و سایر موضوعات مرتبط با انتگرالگیری جزء صحیح، میتوانید فیلم آموزش انتگرال گیری عددی فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.
انتگرال با روش جز به جز که پیشتر نیز در مجله فرادرس راجع به آن توضیح دادیم.
انتگرال توابع کسری
انتگرال جز صحیح با روش جایگزینی
یکی از روشهای ساده حل انتگرال، جایگزینی یا جانشینی نام دارد. در این روش سعی میشود قسمتی از تابع را با تغییر متغیر و همچنین به تبع آن انتگرالده (به طور معمول dx) به شکلی سادهتر تبدیل کرد با این روش حل یک انتگرال مشکل را به یک انتگرال ساده تغییر میدهیم.
مثال اول انتگرال جز صحیح با روش جایگزینی
انتگرال زیر را با روش جانشینی حساب کنید. با فرض اینکه a و b عدد ثابت هستند و n یک عدد صحیح مثبت است.
∫13[x2](ax+b)ndx
پاسخ:
با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع x2 را در بازههایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.
توابعی که از حاصل ضرب سینوس و کسینوس تشکیل شدهاند، میتوان با استفاده از قاعده جابجایی و اتحادهای مثلثاتی انتگرال گرفت. انتگرالهایی که شامل تابع جزء صحیح باشند را باید ابتدا در بازههای مشخص شده طوری تعیین کرد که حاصل آن توابع عدد صحیحی شود که بتوانیم آنها را از داخل انتگرال خارج کنیم.
مثال اول انتگرال شامل توابع جزء صحیح و سینوس و کسینوس
میخواهیم انتگرال زیر را حل کنیم.
∫0π/2[2cosx]sin5xdx
پاسخ:
در این مثال باید حدود در انتگرال را طوری جدا کنیم که تابع 2cosx عدد صحیحی شود.
انتگرال به روش جز به جز که برخی آن را روش بازگشتی نیز مینامند، یک روش راحت و خلاقانه برای حل انتگرالهای نسبتا پیچیده که معمولا به شکل حاصلضرب دو یا سه تابع هستند. در محاسبه انتگرالهایی که شامل تابع جزء صحیح هستند ابتدا باید با توجه به تعریف تابع جزء صحیح را در طوری در بازههای انتگرال قرار دهیم که مقدار تابع عدد صحیحی شود، در واقع با این کار کسر را به زیر بازههایی تفکیک میکنیم که تابع جزء صحیح در آن عدد صحیحی شود و بتوانیم آن را از داخل انتگرال خارج کنیم. بقیه توابع را میتوانیم به طور معمول مثلا با روش جز به جز حساب کنیم.
برای تعریف روش جز به جز ابتدا از قضیه حاصلضرب مشتق شروع میکنیم:
(fg)′=f′g+fg′
حال از هر دو طرف رابطه انتگرال میگیریم:
∫(fg)′dx=∫f′g+fg′dx
انتگرال در سمت چپ عبارت فوق راحت است چون از قبل میدانیم که انتگرال عکس عمل مشتق است. سمت راست عبارت را جدا میکنیم.
fg=∫f′gdx+∫fg′dx
اکنون رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی میکنیم:
∫fg′dx=fg−∫f′gdx
به خاطر سپردن و استفاده از فرمول فوق کار راحتی نیست به همین دلیل تغییر متغیرهای زیر را در این رابطه انجام میدهیم:
u=f(x)v=g(x)du=f′(x)dxdv=g′(x)dx
در زیر فرمول ساده انتگرال به روش جز به جز آمده است:
∫udv=uv−∫vdu
برای استفاده از این فرمول باید در هر انتگرال مقادیر u و dv را شناسایی کنیم و بعد میتوانیم v و du را حساب کنیم سپس در فرمول بالا قرار دهیم.
مثال اول انتگرال جز صحیح با روش جز به جز
انتگرال ∫0π/3[2sinx]sec3xdx را محاسبه کنید.
پاسخ:
مطابق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع 2sinx را در بازههایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.
[2sinx]=0[2sinx]=1⇔⇔0≤x<π/6π/6≤x<π/3
سپس میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در مثلثاتی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک میکنیم.
ابتدا باید بازهها را طوری تفکیک کرد تا خروجی تابع جزء صحیح که یک تابع کوسینوس است، یک عدد صحیحی شود.
[cosx]=1[cosx]=0⇔⇔0≤x<π/2π/2≤x<π
سپس میتوانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و آن را در بقیه عبارت ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازههای فوق تفکیک میکنیم.
∫0π/2(1)x2sinxdx+∫π/2π(0)x2sinxdx
در مرحله بعد انتگرال ∫x2sinxdx را با روش جز به جز حل میکنیم و بعد جواب آن را مطابق بازههای تعیین شده حساب میکنیم. بنابراین تغییر متغیرهای زیر را در آن اعمال میکنیم:
u=x2
dv=sinxdx
در نتیجه مقادیر زیر را میتوانیم حساب کنیم:
du=2xdx
v=−cosx
حالا میتوانیم انتگرال را با روش جز به جز حل کنیم.
$$\eqalign{ \int x^2\sin x\,dx&=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x - \int 2\sin x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x + 2\cos x + C.\cr}$$
اکنون بازهها را در جواب اعمال میکنیم.
∫0π/2x2sinxdx=(−x2cosx+2xsinx+2cosx)∣0π/2=π−2
انتگرال جز صحیح توابع کسری
در حل انتگرالهایی که شامل تابع جزء صحیح و تابع کسری هستند، ابتدا باید تابع جزء صحیح را در بازههای تعیین شده محاسبه کنیم و به صورت یک عدد ثابت از انتگرال خارج کنیم. سپس برای حل انتگرال تابع کسری باید درجه صورت کمتر از مخرج باشد، در غیر اینصورت صورت را بر مخرج تقسیم میکنیم. اگر چندجملهای مخرج به شکل (ax+b)n باشد آنگاه تغییر متغیر به صورت u=ax+b همیشه جواب خواهد داد. مخرج به شکل un خواهد شد و هر x در صورت با au−b و dx=adu جایگزین خواهد شد. به مثالهای زیر توجه کنید.
مثال اول انتگرال شامل توابع جز صحیح و کسری
انتگرال کسری زیر را حساب کنید.
∫13[2x2](3−2x)5x3dx.
پاسخ:
تابع جزء صحیح را در بازه تعیین شده به صورت زیر حساب میکنیم:
[x2/2]=2⇔2≤x<3
در نتیجه انتگرال به صورت زیر تبدیل میشود:
∫13[2x2](3−2x)5x3dx.=2∫23(3−2x)5x3dx
در مرحله بعد انتگرال ∫(3−2x)5x3dx. را با تغییر متغیر u=3−2x حل میکنیم و در آخر حدود و ضرایب انتگرال را در آن اعمال میکنیم.
همانطور که مشاهده کردید در این مثال با تغییر متغیر عبارت مخرج توانستیم به راحتی این انتگرال را محاسبه کنیم. در ادامه حدود و ضرایب انتگرال مرحله قبلی را جایگذاری میکنیم.
میخواهیم انتگرال کسری زیر که شامل تابع جز صحیح نیز هست را محاسبه کنیم.
∫45(x−2)(x+3)[x]x3dx
پاسخ:
ابتدا تابع جز صحیح که در این مثال x است را مطابق بازه تعیین شده محاسبه میکنیم.
[x]=2⇔4≤x<5
در نتیجه انتگرال به شکل زیر تبدیل میشود:
2∫45(x−2)(x+3)x3dx
در مرحله بعد انتگرال ∫(x−2)(x+3)x3dx را به صورت نامعین حل میکنیم و در آخر حدود و ضریب را در آن اعمال خواهیم کرد. چون در این انتگرال درجه صورت از مخرج بیشتر است باید آنها را تقسیم کرد.
حل انتگرال اول در سمت راست معادله فوق راحت است اما انتگرال دوم نیازمند کار بیشتری است بنابراین از روش زیر برای جداسازی آن استفاده میکنیم تا حل آن آسانتر شود.
در توضیح این روش، یک کسر را میتوانیم به مجموع دو کسر که صورتهای آنها شامل اعداد ثابت و چندجملهای کمتر از درجه دو هستند با مخرجهایی شامل (x−s) و (x−r) تبدیل کرد. البته عکس این فرآیند نیز امکان دارد. بنابراین میتوانیم جمله انتگرال دوم را به صورت زیر بنویسیم:
(x−2)(x+3)7x−6=x−2A+x+3B.
(x−2)(x+3)7x−6=(x−2)(x+3)(A+B)x+3A−2B.
در مرحله بعد باید مقادیر A و B را پیدا کنیم. بدین منظور صورتهای دو معادله فوق را برابر هم قرار میدهیم:
7x−6=(A+B)x+3A−2B
چون در معادله فوق دو مجهول A و B را داریم، میتوانیم دستگاه معادلات را برای آن تشکیل دهیم.
{7=A+B−6=3A−2B
بنابراین مقادیر A و B به صورت زیر خواهد بود:
A=58
B=527
در نتیجه انتگرال را میتوانیم به صورت جمع دو انتگرال بازنویسی کنیم.
در جدول زیر مهمترین و کاربردیترین انتگرالها آورده شده است.
پاسخ
انتگرال
if(n=1) , n+1xn+1+c
∫xndx
ln∣x∣+c
∫x−1dx
ex+c
∫exdx
−cosx+c
∫sinxdx
sinx+c
∫cosxdx
tanx+c
∫sec2xdx
secx+c
∫secxtanxdx
arctanx+c
∫1+x21dx
arcsinx+c
∫1−x21dx
نتیجهگیری
تابع جزء صحیح که به اصطلاح به آن براکت نیز میگویند هر مقداری زا به کمترین عدد صحیح مجاورش تبدیل میکند. در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم که برای محاسبه انتگرالهایی که شامل تابع جزء صحیح هستند باید تابع جزء صحیح را به نحوی در بازه تعیین شده محاسبه کرد تا حاصل آن یک عدد صحیح شود، سپس آن را به شکل ضریب ثابت از انتگرال خارج کرد و انتگرال باقیمانده را با روش مناسب حل کرد. این موضوع با مثالهای متنوع در این مطلب ارائه شد.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.