صفحات فضایی در ریاضی — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس نحوه بدست آوردن معادلات صفحه را توضیح دادیم. در همین راستا در این مطلب قصد داریم تا صفحات فضایی در ریاضیات را معرفی کرده و معادلات مربوط به هرکدام از آن‌ها را تحلیل کنیم. در این راستا پیشنهاد می‌کنیم، مطلب معادله صفحه را مطالعه فرمایید.

صفحات فضایی

یک صفحه یا رویه در ریاضیات به مجموعه پاسخ‌های معادله‌ای به صورت $$F ( x , y , z ) = 0$$ در فضای $$R ^ 3$$ گفته می‌شود. برای نمونه معادله‌ای به‌صورت $$a x + b y + c z + d = 0$$ نشان‌دهنده صفحه‌ای تخت است که از مبدا مختصات نیز عبور می‌کند. صفحه تخت ساده‌ترین شکل ممکن از یک رویه فضایی است. در این مطلب سطوحی را بررسی خواهیم کرد که معادله و البته شکل آن‌‌ها به نسبت صفحه تخت پیچیده‌تر هستند.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

کره

کره $$S$$ به مجموعه نقاطی از فضای $$R ^ 3$$ گفته می‌شود که فاصله تمامی آن‌ها از نقطه‌ای ثابت هم‌چون $$( x , y , z )$$ برابر با $$r$$ است. معادله چنین کره‌ای برابر است با:

$$\large S = \lbrace \, ( x , y , z ) : \, ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } = r ^ { 2 } \, \rbrace$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از نماد‌گذاری برداری می‌توان رابطه زیر را نیز برای یک کره بیان کرد.

$$\large S = \lbrace \, \textbf{x}: \, ||{\textbf{x} - \textbf { x } _ {0 } } || = r \, \rbrace$$

توجه داشته باشید که $$\textbf{x} = ( x , y , z )$$ و $$\textbf { x } _ { 0 } = ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } )$$ بردار محسوب می‌شوند. شکل زیر دو کره با دو مرکز متفاوت را نشان می‌دهد.

همان‌طور که در شکل فوق نیز نشان داده شده، سطح مقطع برخورد یک کره با صفحه‌ تخت، نشان‌دهنده یک دیسک است. در ادامه مثالی ارائه شده که مطالعه آن را توصیه می‌کنیم.

مثال ۱

معادله تقاطع دو سطحِ $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 169$$ و $$z=12$$ را یافته و شکل آن را تعیین کنید.

پاسخ: به منظور به‌دست آوردن تقاطع دو سطح، کافی است معادله یکی از آن‌ها را در دیگری قرار داد. از معادله کره می‌توان دید که مرکز آن نقطه $$( 0 , 0,0 )$$ بوده و شعاع آن نیز برابر با $$13 = \sqrt { 169 }$$ است. با قرار دادن $$z=12$$ در معادله کره، مقطع بدست آمده در صفحه $$x-y$$ برابر می‌شود با:

$$\large \begin{align*} \nonumber x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 12 ^ { 2 } & = 169 \\[5pt] \nonumber x ^ { 2 } + y ^ { 2 } &= 169 - 144 = 25 = 5 ^ { 2 } \end {align*}$$

رابطه فوق، نشان‌دهنده دایره‌ای به شعاع $$5$$ و با مرکز $$(0,0,12)$$ است. بدیهی است که این صفحه موازی صحفه $$x-y$$ است. در ادامه تصویر کره، صفحه و تقاطع آن‌ها نشان داده شده‌اند.

اگر معادله بیان شده در بالا را به‌صورت کلی بنویسیم، خواهیم داشت:

$$\large x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + a x + b y + c z + d = 0$$

توجه داشته باشید که با برقرار بودن رابطه‌ای ویژه میان ضرایب، می‌توان ادعا کرد که معادله مذکور، کره را توصیف می‌کند. البته در ادامه در مورد حالت‌های دیگر ضرایب نیز بحث خواهیم کرد. اما شما باید بتوانید به‌منظور تشخیص یک کره، معادله کلی آن را به‌صورت جمع ترم‌های توان دوم بیان کنید.

مثال ۲

معادله زیر، چه شکلی را نمایش می‌دهد؟

$$2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } - 8 x + 4 y - 16 z + 10 = 0$$

با تقسیم کردن طرفین معادله فوق به عدد $$2$$ به عبارت زیر خواهیم رسید.

$$\nonumber x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 4 x + 2 y - 8 z + 5 = 0$$
$$\nonumber ( x ^ { 2 } - 4 x + 4 ) + ( y ^ { 2 } + 2 y + 1 ) + ( z ^ { 2 } - 8 z + 16 ) + 5 - 4 - 1 - 16 = 0$$
$$\nonumber ( x - 2 ) ^{ 2 } + ( y + 1 ) ^ { 2 } + ( z - 4 ) ^ { 2 } = 16$$

همان‌طور که دیدید با بازنویسی رابطه فوق، می‌توان دید که معادله بدست آمده، یک کره را توصیف می‌کند. شعاع و مرکز این کره به‌ترتیب برابرند با $$r = 4$$ و $$( 2 , - 1 , 4 )$$ هستند.

مثال ۳

معادله‌ای پارامتری را به‌صورت $$x = 3 + t \ , \ y = 1 + 2t \ , \ z = 3 - t$$ در نظر بگیرید. نقاط تقاطع این خط را با کره ارائه شده در مثال ۲ بیابید.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با قرار دادن رابطه پارامتری خط در معادله $$\nonumber ( x - 2 ) ^{ 2 } + ( y + 1 ) ^ { 2 } + ( z - 4 ) ^ { 2 } = 16$$، معادله‌ای بر حسب $$t$$، به شکل زیر بدست خواهد آمد.

$$\begin{align*} \nonumber (3 + t - 2 ) ^ { 2 } + (1 + 2t + 1 ) ^ { 2 } + (3 - t - 4 ) ^ { 2 } & = 16 \\ \nonumber (t + 1) ^ { 2 } + (2t + 2 ) ^ { 2 } + (-t - 1)^{2} & = 16 \\ \nonumber 6 t ^ { 2 } + 12 t -10 &= 0 \end{align*}$$

با حل معادله فوق، نهایتا دو مقدارِ $$~ t = -1 \pm \dfrac { 4 } {\sqrt { 6 } }$$ بدست می‌آیند. با قرار دادن این مقادیر از $$t$$ در رابطه پارامتری خط، مختصات نقاط تقاطع برابر می‌شوند با:

$$\large \begin {align*} \nonumber \left ( 2 + \frac { 4 } { \sqrt { 6 } }, -1 + \frac { 8 } { \sqrt { 6 } } , 4 - \frac { 4 } { \sqrt { 6 } } \right ) \text { and } \left ( 2 - \frac { 4 } { \sqrt { 6 } } , -1 - \frac { 8 } { \sqrt { 6 } } , 4 + \frac { 4 } { \sqrt { 6 } } \right ) \end {align*}$$

حالتی دیگر زمانی است که دو کره به هم برخورد می‌کنند. در چنین مواردی محل تقاطع آن‌ها یک نقطه یا دایره خواهد بود.

مثال ۴

محل تقاطع دو کره زیر را بیابید.

$$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 25$$
$$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z - 2 ) ^ { 2 } = 16$$

برای هر نقطه‌ای که روی هر دو سطح قرار گرفته است، می‌توان عبارات زیر را بیان کرد:

$$\begin{align*} \nonumber x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25 &\Rightarrow x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25 - z ^ { 2 }, \text{and}\\ \nonumber x ^ { 2 } + y ^ { 2} + (z - 2 ) ^{ 2 } = 16 &\Rightarrow x^{2} + y^{2} = 16 - (z - 2)^{2}, \text{so} \\ \nonumber 16 - (z - 2)^{2} = 25 - z ^ { 2 } & \Rightarrow 4z - 4 = 9 \Rightarrow z = 13/4 \\ \nonumber & \Rightarrow x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25 - (13/4) ^ { 2 } = 231/16 \end{align*}$$

بنابراین تقاطع دو سطح، دایره‌‌ی $$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 231 } { 16 }$$ به شعاع $$\frac{\sqrt{231}}{4} \approx 3.8$$ و مرکز $$( 0 , 0 , \frac { 13 } { 4 } )$$ است.

استوانه

در این قسمت قصد داریم تا نحوه بدست آوردن معادلات استوانه را توضیح دهیم. یک استوانه با حرکت دادن یک دایره در راستای یک خط ایجاد می‌شود. توجه داشته باشید که این خط باید همواره به دایره عمود باشد. از این رو معادله یک استوانه مشابه معادله دایره است با این تفاوت که در سه‌ بعد نوشته می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه معادله استوانه در سه حالت ارائه شده‌اند.

برای نمونه معادله استوانه‌ای که منحنی پایه آن، دایره‌ای در صفحه $$x-y$$ و مرکز آن نقطه $$( a , b , 0 )$$ است، مطابق با رابطه زیر توصیف می‌شود.

$$\large (x - a ) ^ 2 + ( y - b ) ^ 2 = r ^ 2$$

همان‌طور که می‌بینید مقادیر $$z$$ به عددی خاص محدود نشده‌اند. دقیقا معادله فوق را برای استوانه‌های قرار گرفته در دیگر صفحات مختصات نیز می‌توان بیان کرد. در این حالت صفحه‌ای که محور استوانه بر آن عمود است، در معادله وجود نخواهد داشت. همان‌طور که مشاهده می‌کنید معادله کلی هر دو شکلِ کره و استوانه به‌صورت زیر است.

$$A x ^ 2 + B y ^ 2 + C z ^ 2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0$$

به ازای ثابت‌های قرار گرفته در رابطه فوق، اگر هیچ یک از مواردِ خط، صفحه، کره یا استوانه بدست نیاید، در این صورت صفحه بدست آمده را سطحِ درجه دوم می‌نامند.

سطوح درجه دوم

یکی از سطوح درجه دوم بیضی‌گون نام دارد.

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

در شکل زیر نمونه‌ای از یک بیضی‌گون نشان داده شده است.

معادله چنین سطحی به‌صورت زیر است.

$$\large \frac { x ^ 2 } { a ^ 2 } + \frac { y ^ 2 } { b ^ 2 } + \frac { z ^ 2 } { c ^ 2 } = 1$$

در حالتی که ضرایب $$a = b = c$$ با یکدیگر برابر باشند، سطح فوق به‌صورت کره در خواهد آمد. احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید که بیضی‌گون از دوران یک بیضی حول یکی از محور‌هایش بدست می‌آید. نمونه‌ دیگر سطوح، تحت عنوان سطوح هذلولی‌گون شناخته می‌شوند. معادله و شکل این سطوح در ادامه ارائه شده‌اند.

$$\large \frac { x ^ 2 } { a ^ 2 } - \frac { y ^2 } { b ^ 2 } - \frac { z ^ 2 } { c ^ 2 } = 1$$

برای هذلولی‌گونی یکپارچه، تمامی مسیر‌های قرار گرفته در صفحات موازی با صفحه $$x-y$$ به‌صورت بیضی هستند. هم‌چنین مسیر‌ها در سطوح موازی با صفحات $$x-z$$ و $$y-z$$ به‌صورت سهمی هستند. این در حالی است که برای هذلولی‌گون دو‌بخشی، تمامی مسیر‌های موازی صفحات $$x-y$$ یا $$x-z$$ به‌صورت هذلولی هستند. هم‌چنین توجه داشته باشید که مسیری در صفحه‌ $$y-z$$ قرار ندارد.

نوع دیگری از این سطوح تحت عنوان سهمی‌گون شناخته می‌شوند. شکل و معادله مربوط به این سطوح در ادامه ارائه شده‌اند.

$$\large \frac { x ^ 2 } { a ^ 2 } + \frac { y ^ 2 } { b ^ 2 } = \frac { z } { c }$$

مسیر‌های موازی با سطوح قرار گرفته در صفحه $$x-y$$ برای این سطح، به‌صورت بیضی هستند. تصویر فوق حالتی را نشان می‌دهد که در آن مقدار $$c$$ مثبت است ($$c > 0$$). زمانیکه مقدار $$c$$ منفی باشد، جهت سطح به سمت پایین خواهد بود. هنگامی که مقادیر $$a=b$$ برابر باشند، مقاطع افقی سطح سهمی‌گون (مقاطع موازی صفحه x-y) به‌صورت دایره در خواهند آمد.

نوع دیگری از سطوح فضایی در ریاضی، سطوحِ سهمی‌گون هذلولی هستند. رابطه مربوط به این سطوح و شکل آن‌ها در ادامه ارائه شده‌اند.

$$\large \dfrac { y ^ 2 } { a ^ 2 } - \dfrac { x ^ 2 } { b ^ 2 } = \dfrac { z } { c }$$

همان‌طور که می‌بینید منحنی‌های موازی با صفحه $$y-z$$ و $$x-z$$ به‌صورت سهمی هستند. هم‌چنین منحنی‌های موازی صفحه $$x-y$$ نیز به‌ شکل خطوط راست هستند. توجه داشته باشید که به‌منظور حدس زدن شکل سهمی، در حالت‌های مختلف هریک‌ از متغیر‌ها را ثابت در نظر گرفته و شکل منحنی‌های ثابت را حدس بزنید. برای نمونه فرض کنید در معادله ارائه شده برای هذلولی سهمی‌گون، $$x$$ در یک نقطه ثابت شود ($$x=x_0$$). در این صورت رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\large \dfrac { y ^ 2 } { a ^ 2 } - \dfrac { {x_0} ^ 2 } { b ^ 2 } = \dfrac { z } { c }$$

همان‌طور که رابطه فوق نشان می‌دهد در یک مقدار ثابت از $$z$$ رابطه بین $$y$$ و $$z$$ به‌صورت یک سهمی در خواهد آمد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• تابع برداری — به زبان ساده
• توابع چند متغیره — به زبان ساده
• انتگرال سطحی — از صفر تا صد

^^