تبدیل پارک — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با تبدیل کلارک آشنا شدیم. در این آموزش، تبدیل پارک (Park Transform) را معرفی خواهیم کرد. تبدیل پارک که تبدیل مستقیم-عمود-صفر یا $$\mathrm{dq0}$$ نیز نامیده می‌شود، تبدیل برداری فضایی سه‌ فاز حوزه زمان از یک دستگاه مختصات با فاز ساکن ($$\mathrm{ABC}$$) به دستگاه مختصات چرخان ($$\mathrm{dq0}$$) است.

تبدیل پارک

تبدیلی که به ولتاژهای حوزه زمان در قاب خنثی (یعنی $$u_a$$، $$u_b$$ و $$u_c$$) اعمال می‌شود، به صورت زیر است:

$$\large \begin{bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ u _ { 0 } \end{bmatrix} = \frac { 2 } { 3 } \begin{bmatrix} \cos ( \theta ) & \cos ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & \cos ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) \\ - \sin ( \theta ) & - \sin ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & - \sin ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ a \\ u_b\\ u_c \end {bmatrix}$$

فیلم آموزش ماشین های الکتریکی 2 در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$\theta = \omega t + \delta_{A}$$ زاویه بین دستگاه مختصات چرخان و ثابت در زمان $$t$$، و $$\delta _A$$ جابه‌جایی فاز اولیه ولتاژ است.

تبدل معکوس از قاب $$\mathrm{dq0}$$ به قاب $$\mathrm{abc}$$ خنثی به صورت زیر است:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { a } \\ u _ { b } \\ u _ { c } \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \cos ( \theta ) & - \sin ( \theta ) & 1 \\ \cos ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & - \sin ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & 1 \\ \cos ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) & - \sin ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) & 1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ d \\ u _ q \\ u _ o \end {bmatrix}$$

مشابه تبدیل کلارک، مؤلفه صفر بالا، مانند توالی صفر در تبدیل مؤلفه‌های متقارن است. برای مثال، مؤلفه توالی صفر برای هر دو تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ و مؤلفه‌های متقارن، برابر با $$\frac{1}{3} \left( U_{a} + U_{b} + U_{c} \right)$$ است.

سابقه پیدایش تبدیل پارک

هرچند تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ قبل از تبدیل کلارک در سال ۱۹۲۹ توسط «رابرت اچ. پارک» (Robert H. Park) معرفی شده بود، اما این تبدیل، اساساً تعمیمی از تبدیل کلارک است که با اعمال تبدیل زاویه، یک قاب مرجع ساکن را به یک قاب چرخان سنکرون تبدیل می‌کند. قاب مرجع سنکرون را می‌توان به‌گونه‌ای تنظیم کرد که با ولتاژ (مثلاً در مبدل‌های منبع ولتاژ) یا با جریان (مثلاً در مبدل‌های منبع جریان) بچرخد.

تبدیل $$\huge \mathrm{dq0}$$ در سیستم‌های متعادل

در ادامه تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ را برای سیستم‌های ولتاژ و جریان سه‌ فاز بیان می‌کنیم.

فیلم آموزش بررسی سیستم های قدرت 1 در فرادرس

کلیک کنید

تبدیل $$\Large\mathrm{dq0}$$ ولتاژهای سه‌ فاز متعادل

معادلات زیر، بر یک ولتاژ مربعی دوفاز در قاب ساکن اعمال شده و آن را به یک قاب سنکرون دوفاز (با یک قاب مرجع هم‌راستا با ولتاژ) تبدیل می‌کنند:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ u _ { 0 } \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } & 0 \\ - \sin { \theta } & \cos { \theta } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ { \alpha } \\ u _ { \beta } \\ u _ { 0 } \end {bmatrix}$$

توجه کنید که مؤلفه صفر در قاب $$\mathrm{dq0}$$، مشابه قاب $$\alpha \beta 0$$ است. علاوه بر این، همان‌طور که در تبدیل کلارک اشاره کردیم، مؤلفه صفر سیستم‌های سه‌ فاز متعادل برابر با صفر است. در نتیجه، در ادامه، از مؤلفه صفر چشم‌پوشی می‌کنیم.

یک ولتاژ‌ سه‌ فاز متعادل با مؤلفه‌های $$\alpha \beta 0$$ به صورت زیر است:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { \alpha } \\ u _ { \beta } \\ u _ { 0 } \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} U _ { m } \cos ( \omega t ) \\ U _ { m } \sin ( \omega t ) \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ ولتاژ برابر است با:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ - \sin { \theta } & \cos { \theta } \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ { \alpha } \\ u _ { \beta } \\ \end {bmatrix}$$

فرض کنید از یک قاب مرجع ولتاژ‌ استفاده و قاب سنکرون را با ولتاژ‌ هم‌راستا می‌کنیم. بنابراین، $$\theta = \omega t$$ و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align*} \begin {bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ \end {bmatrix} =& \begin {bmatrix} U _ { m } \sin { \omega t } \sin ( \omega t ) + U _ { m } \cos { \omega t } \cos ( \omega t ) \\ U _ { m } \cos { \omega t } \sin ( \omega t ) - U _ { m } \sin { \omega t } \cos ( \omega t ) \\ \end {bmatrix} \\ =& \begin {bmatrix} U _ { m } \\ 0 \\ \end {bmatrix} \end {align*}$$

مشاهده می‌کنیم که به‌دلیل هم‌راستا بودن چرخش قاب سنکرون با ولتاژ، مؤلفه $$\mathrm{d}$$ متناظر با اندازه ولتاژ‌ و مؤلفه $$\mathrm{q}$$ برابر با صفر است. تبدیل یک ولتاژ‌ از قاب $$\alpha \beta$$ ساکن به قاب $$\mathrm{dq}$$ در شکل زیر نشان داده شده است.

تبدیل معکوس به صورت زیر است:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { \alpha } \\ u _ { \beta } \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} \cos { \theta } & - \sin { \theta } \\ \sin { \theta } & \cos { \theta } \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ \end {bmatrix}$$

تبدیل $$\Large\mathrm{dq0}$$ جریان‌های سه‌ فاز متعادل

تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ را می‌توان مشابه ولتاژ، به جریان نیز اعمال کرد. معادلات زیر، یک جریان مربعی دوفاز در قاب ساکن ($$\alpha \beta 0$$) نشان می‌دهد ($$\delta$$ زاویه در جایی است که جریان عقب‌تر از ولتاژ است):

$$\large \begin {bmatrix} I _ { \alpha } \\ I _ { \beta } \\ I _ { 0 } \\ \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} I _ { m } \cos ( \omega t - \delta ) \\ I _ { m } \sin ( \omega t - \delta ) \\ 0 \\ \end {bmatrix}$$

این سیستم جریان را به یک قاب دوفاز سنکرون ($$\mathrm{dq0}$$) تبدیل می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} \begin {bmatrix} i _ { d } \\ i _ { q } \\ \end {bmatrix} = & \begin {bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ - \sin { \theta } & \cos { \theta } \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} i _ { \alpha } \\ i _ { \beta } \\ \end {bmatrix} \\ = & \begin {bmatrix} \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ - \sin { \theta } & \cos { \theta } \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} I _ { m } \sin ( \omega t - \delta ) \\ I _ { m } \cos ( \omega t - \delta ) \\ \end {bmatrix} \\ = & \begin {bmatrix} I _ { m } \cos ( \delta ) \\ - I _ { m } \sin ( \delta ) \\ \end {bmatrix} \end {align*}$$

توان لحظه‌ای در قاب $$\Large \mathrm{dq0}$$

توان اکتیو و راکتیو لحظه‌ای یک مجموعه از ولتاژها و جریان‌های دوفاز ($$\mathrm{dq}$$) را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large \begin {align*} p &= u _ { d } i _ { d } + u _ { q } i _ { q } \\ q &= u _ { q } i _ { d } - u _ { d } i _ { q } \end {align*}$$

قبلاً دیدیم که وقتی قاب سنکرون بر ولتاژ‌ منطبق باشد، مؤلفه مربعی $$u_q$$ برابر با صفر است. بنابراین، معادلات توان به روابط زیر کاهش می‌یابد:

$$\large \begin {align*} p & = u _ { d } i _ { d } \\ q & = - u _ { d } i _ { q } \end {align*}$$

معادلات بالا نشان می‌دهند که کنترل توان اکتیو و راکتیو با کنترل مؤلفه‌های جریان $$\mathrm {dq}$$ ($$i_d$$ و $$i_q$$) امکان‌پذیر است.

خلاصه تبدیل $$\Large \mathrm{dq0}$$ در سیستم‌های متعادل

مزایای تبدیل $$\mathrm {dq0}$$ در سیستم‌های سه‌ فاز متعادل به‌شرح زیر است:

1. تبدیل $$\mathrm {dq0}$$، مقادیر AC سه‌ فاز (برای مثال $$u_a$$، $$u_b$$ و $$u_c$$) را به دو کمیت DC (مثلاً $$u_d$$ و $$u_q$$) کاهش می‌دهد. در سیستم‌های متعادل، مؤلفه صفر، برابر با صفر است. مقادیر DC، فیلتر کردن و کنترل را آسان‌تر می‌کنند.
2. توان اکتیو و راکتیو را می‌توان مستقلاً و با کنترل مؤلفه‌های $$\mathrm{dq}$$ کنترل کرد.

فرمول‌بندی ناوَردای توان

تبدیل پارک کلاسیک، ناوردای توان نیست، یعنی توان لحظه‌ای محاسبه‌شده متغیرها در قاب $$\mathrm{dq0}$$، با توان محاسبه‌شده در قاب مرجع مختصات خنثی برابر نیست. یک فرمول ناوردای توان تبدیل $$\mathrm{dq0}$$ به صورت زیر است:

$$\large \begin {bmatrix} u _ { d } \\ u _ { q } \\ u _ { 0 } \end {bmatrix} = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \begin {bmatrix} \cos ( \theta ) & \cos ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & \cos ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) \\ - \sin ( \theta ) & - \sin ( \theta - \frac { 2 \pi } { 3 } ) & - \sin ( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } ) \\ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } & \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } & \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \end {bmatrix} \begin {bmatrix} u _ a \\ u _ b \\ u _ c \end {bmatrix}$$

فیلم آموزش دینامیک سیستم های قدرت 1 در فرادرس

کلیک کنید