«مولفه های متقارن» (Symmetrical Components)، یک روش تجزیه و تحلیل ریاضی برای نمایش مجموعه فازورها به سه مجموعه فازور مجزا و مستقل (دو مجموعه متعادل و یک مجموعه با فازورهای یکسان) است. اولین بار، «چارلز لگیت فورتسکیو» (Charles LeGeyt Fortescue) در سال ۱۹۱۸ این روش را ارائه و تحلیل سیستم‌های چندفاز را ساده کرد. فورتسکیو تبدیلی را معرفی کرد که $$2n$$ درجه آزادی و مزیت متقارن بودن را دارد.

تبدیل پایه مولفه های متقارن

یک مجموعه دلخواه $$n$$فاز را در نظر بگیرید که $$2n$$ درجه آزادی دارد؛ یعنی هر فازور،‌ یک اندازه و یک زاویه فاز مستقل دارد. در این آموزش، مجموعه سه‌فاز را بررسی می‌کنیم که در مهندسی برق مدرن بسیار کاربردی است. مجموعه ولتاژ سه‌فاز را می‌توان به‌صورت مجموع مؤلفه‌های زیر نشان داد:

$$ \large \left[ \begin {matrix} V _ { a } \\ V _ { b } \\ V _ { c } \end{matrix} \right] =
\left[ \begin {matrix} V _ { a , 0 } \\ V _ { b , 0 } \\ V _ { c , 0 } \end {matrix} \right] +
\left[ \begin {matrix} V _ { a , 1 } \\ V _ { b , 1 } \\ V _ { c , 1 } \end {matrix} \right] +
\left[ \begin {matrix} V _ { a , 2 } \\ V _ { b , 2 } \\ V _ { c , 2 } \end {matrix} \right] $$

که در آن، $$ V_{a} $$، $$V_{b}$$ و $$V_{c} $$ یک مجموعه فازور ولتاژ دلخواه (متعادل یا غیرمتعادل) هستند.

  • $$V_{a,0} $$، $$ V_{b,0} $$ و $$V_{c,0} $$ فازورهای ولتاژ توالی صفر هستند.
  • $$V_{a,۱} $$، $$ V_{b,۱} $$ و $$V_{c,۱} $$ فازورهای ولتاژ توالی مثبت هستند.
  • $$V_{a,۲} $$، $$ V_{b,۲} $$ و $$V_{c,۲} $$ فازورهای ولتاژ توالی منفی هستند.

درواقع، هر فازور اصلی را به ترکیبی خطی از سه فازور تجزیه کرده‌ایم. اما این کار سیستم را پیچیده‌تر نمی‌کند؟ پیش‌تر شش درجه آزادی (یعنی دو درجه آزادی برای هر فاز) داشتیم، اما اکنون هجده درجه آزادی داریم. پاسخ در قیودی است که برای فازورهای جدید وجود دارد:

  • فازورهای توالی مثبت، متعادل و کاملاً متقارن هستند. این بدین معنی است که می‌توان مجموعه سه‌فاز را با استفاده از فقط یک فازور مرجع (انتخاب آن اختیاری است، اما معمولاً فاز $$a$$ انتخاب می‌شود) بیان کرد. بنابراین:

$$ \large V _ { 1 } = V _ { a , 1 } = a V _ { b , 1 } = a ^ { 2 } V _ { c , 1 } $$

که در آن، $$a$$ اپراتور چرخش $$120^ \circ $$ ($$ e^{j\frac{2\pi}{3}} $$) است.

  • یک قید مشابه برای فازورهای توالی منفی وجود دارد. این فازورها نیز باید متعادل و متقارن باشند. اما توالی آن‌ها مخالف فازورهای توالی مثبت است؛ یعنی پیک فازورهای توالی منفی، با ترتیبی معکوسِ فازورهای توالی مثبت رخ می‌دهد ($$acb$$ به‌جای $$abc$$). تعبیر ریاضی این گفته به‌صورت زیر است:

$$ \large V _ { 2 } = V _ { a , 2 } = a ^ { 2 } V _ { b , 2 } = a V _ { c , 2 } $$

  • فازورهای توالی صفر، یکسان هستند:

$$ \large V _ { 0 } = V _ { a , 0 } = V _ { b , 0 } = V _ { c , 0 } $$

هرکدام از سه قید بالا، چهار درجه آزادی را حذف می‌کنند و درنهایت، سه فازور با مجموع شش درجه آزادی خواهیم داشت (مشابه فازورهای اولیه). البته مزیت فازورهای جدید، متعادل و متقارن بودن آن‌ها (و یکسان بودن در توالی صفر) است. فازورهای جدید را می‌توانیم به‌فرم ماتریسی زیر بنویسیم:

$$ \large \left [ \begin {matrix} V _ { a } \\ V _ { b } \\ V _ { c } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a ^ { 2 } & a \\
1 & a & a ^ { 2 } \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} V _ { 0 } \\ V _ { 1 } \\ V _ { 2 } \end {matrix} \right] $$

که در آن، $$ V_{a} $$، $$V_{b}$$ و $$V_{c} $$ یک مجموعه فازور ولتاژ دلخواه (متعادل یا غیرمتعادل) هستند.

  • $$V_{0} $$ مؤلفه فازورهای ولتاژ توالی صفر هستند.
  • $$V_{1} $$ فازورهای ولتاژ توالی مثبت هستند.
  • $$V_{2} $$ فازورهای ولتاژ توالی منفی هستند.
  • $$a$$ اپراتور چرخش $$120^ \circ $$ ($$ e^{j\frac{2\pi}{3}} $$) است.

معکوس تبدیل بالا، به‌صورت زیر است:

$$ \large \left [ \begin {matrix} V _ { 0 } \\ V _ { 1 } \\ V _ { 2 } \end {matrix} \right ] = \frac { 1 } { 3 } \left [ \begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & a ^ { 2 } \\
1 & a ^ { 2 } & a \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix} V _ { a } \\ V _ { b } \\ V _ { c } \end {matrix} \right ] $$

نمایش تصویری

فرض کنید یک مجموعه ولتاژ سه‌فاز نامتعادل داریم که شکل‌موج آن‌ها در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل ۱
شکل ۱

شکل زیر، نمودار فازوری فازورهای اصلی و مؤلفه‌های متقارن آن‌ها را نشان می‌دهد.

شکل ۲
شکل ۲

شکل‌موج فازورهای توالی مثبت، منفی و صفر در حوزه زمان مطابق شکل‌های زیر هستند.

شکل ۳
شکل ۳
شکل ۴
شکل ۴
شکل ۵
شکل ۵

نمودارهای زمانی بالا به‌خوبی تفاوت بین توالی‌های مثبت و منفی را نشان می‌دهند. در نمودار توالی مثبت، پیک‌های شکل‌موج به این ترتیب رخ می‌دهد: $$V_a$$ (قرمز)، $$V_b$$ (سبز)، $$V_c$$ (آبی). در نمودار توالی منفی، ترتیب رخ دادن پیک‌ها در شکل‌موج‌، به‌صورت $$V_a$$ (قرمز)، $$V_c$$ (آبی) و $$V_b$$ (سبز) است.

نمادها

برای خلاصه‌نویسی می‌توان فازورهای نامتعادل اصلی و مؤلفه‌های متقارن آن‌ها را با نمادهای اختصاری زیر نشان داد.

فازورهای نامتعادل اصلی با $$ V_{abc} $$ نمایش داده می‌شوند:

$$ \large V _ { a b c } = \left [ \begin {matrix} V _ { a } \\ V _ { b } \\ V _ { c } \end {matrix} \right ] $$

فازورهای مؤلفه متقارن نیز با نماد $$ V_{012} $$ مشخص می‌شوند:

$$ \large V _ { 0 1 2 } = \left [ \begin {matrix} V _ { 0 } \\ V _ { 1 } \\ V _ { 2 } \end {matrix} \right ] $$

ماتریس‌های تبدیل نیز به‌صورت زیر هستند:

$$ \large A = \left [ \begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a ^ { 2 } & a \\
1 & a & a ^ { 2 } \end {matrix} \right] $$

$$ \large A ^ { – 1 } = \left [ \begin {matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a & a ^ { 2 } \\
1 & a ^ { 2 } & a \end {matrix} \right ] $$

بنابراین، تبدیلات مؤلفه متقارن به‌فرم ماتریسی زیر خواهد بود:

$$ \large V_{abc} = A V_{012} $$

$$ \large V_{012} = A^{-1} V_{abc} $$

ولتاژها، جریان‌ها و امپدانس‌ها

تبدیل یک شبکه سه‌فاز نامتعادل به مؤلفه‌های متقارن، برای ولتاژ، جریان و امپدانس در ادامه آمده است.

ولتاژ و جریان

فازورهای ولتاژ و جریان با تبدیل پایه‌ای که در بالا گفته شد، قابل تبدیل به مؤلفه‌های متقارن است:

$$ \large V_{012} = A^{-1} V_{abc} $$

$$ \large I_{012} = A^{-1} I_{abc} $$

امپدانس

امپدانس را نمی‌توان مستقیماً به مؤلفه‌های متقارن تبدیل کرد، زیرا ولتاژ، جریان و امپدانس با قانون اهم به یکدیگر مرتبط می‌شوند. بنابراین، با استفاده از قانون اهم می‌توان مؤلفه‌های متقارن امپدانس را از معادلات زیر به‌دست آورد:‌

$$ \large V _ { a b c } = Z _ { a b c } I _ { a b c } \\ \large
A V _ { 0 1 2 } = Z _ { a b c } A I _ { 0 1 2 } \\ \large
V _ { 0 1 2 } = A ^ { – 1 } Z _ { a b c } A I _ { 0 1 2 } $$

اکنون می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large Z_{012} = A^{-1} Z_{abc} A $$

امپدانس $$ Z_{abc} $$ یک ماتریس $$ 3 \times 3 $$ متقارن از امپدانس‌های خودی روی قطر اصلی و امپدانس‌های متقابل (بین فازها) در درایه‌های غیرقطری است:

$$ \large Z _ { a b c } = \left [ \begin {matrix}
Z _ { a a } & Z _ { a b } & Z _ { a c } \\
Z _ { b a } & Z _ { b b } & Z _ { b c } \\
Z _ { c a } & Z _{ c b } & Z _ { c c } \end {matrix} \right] $$

قانون اهم برای مؤلفه‌های متقارن به‌صورت زیر است:

$$ \large \left [ \begin {matrix}
V _ { 0 } \\
V _ { 1 } \\
V _ { 2 } \end {matrix} \right ] = \left [ \begin {matrix}
Z _ { 0 0 } & Z _ { 0 1 } & Z _ { 0 2 } \\
Z _ { 1 0 } & Z _ { 1 1 } & Z _ { 1 2 } \\
Z _ { 2 0 } & Z _ { 2 1 } & Z _ { 2 2 } \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix}
I _ { 0 } \\
I _ { 1 } \\
I _ { 2 } \end {matrix} \right ] $$

از معادله بالا مشخص است که بین مؤلفه‌های متقارن کمیت‌های شبکه تزویج متقابل وجود دارد. برای مثال، ولتاژ توالی صفر $$V_0$$ برابر با مجموع وزن‌دار توالی‌های مثبت، منفی و صفر جریان است:

$$ \large V _ { 0 } = Z _ { 0 0 } I _ { 0 } + Z _ { 0 1 } I _ { 1 } + Z _ { 0 2 } I _ { 2 } $$

امپدانس‌های متعادل

یک حالت خاص که در سیستم‌هایی با امپدانس متعادل رخ می‌دهد، ماتریس امپدانس $$ Z_{abc} $$ به‌فرم زیر است:

$$ \large Z _ { a b c } = \left [ \begin {matrix}
Z & M & M \\
M & Z & M \\
M & M & Z \end {matrix} \right ] $$

در چنین سیستم‌هایی، ماتریس امپدانس $$ Z_{012} $$ قطری خواهد بود:

$$ \large Z _ { 0 1 2 } = \left [ \begin {matrix}
Z _ { 0 } & 0 & 0 \\
0 & Z _ { 1 } & 0 \\
0 & 0 & Z _ { 2 } \end {matrix} \right ] $$

از آن‌جایی که درایه‌های غیرقطری برابر با صفر هستند، ولتاژ و جریان توالی مثبت، منفی و صفر مستقل از یکدیگر خواهند بود؛ یعنی کاملاً دکوپله و مجزا هستند، جملات مشترک ندارند و می‌توان آن‌ها را با معادله‌هایی جدا نوشت:‌

$$ \large \begin {align*} \left [ \begin {matrix}
V _ { 0 } \\
V _ { 1 } \\
V _ { 2 } \end {matrix} \right ] = & \left [ \begin {matrix}
Z _ { 0 } & 0 & 0 \\
0 & Z _ { 1 } & 0 \\
0 & 0 & Z _ { 2 } \end {matrix} \right ] \left [ \begin {matrix}
I _ { 0 } \\
I _ { 1 } \\
I _ { 2 } \end {matrix} \right] \\
= & \left [ \begin {matrix}
Z _ { 0 } I _ { 0 } \\
Z _ { 1 } I _ { 1 } \\
Z _ { 2 } I _ { 2 } \end {matrix} \right ] \end {align*}$$

به‌عنوان جمع‌بندی می‌توان گفت در یک سیستم متعادل،‌ مؤلفه‌های متقارن کمیت‌های شبکه، مجموعه‌ای از معادلات مجزا را تشکیل می‌دهند. این دستگاه معادلات مجزا، معمولاً برای تشکیل شبکه‌های توالی به‌کار می‌رود.

این نتیجه، اساس بسیاری از تحلیل‌های مورد استفاده در مؤلفه‌های متقارن است. برای مثال، در تحلیل خطای غیرمتعادل، ابتدا فرض می‌کنیم سیستم قبل از خطا متعادل است. با این فرض، می‌توانیم شبکه‌های توالی سیستم را به‌صورت دستگاهی با معادلات مجزا تشکیل دهیم. وقتی عدم تعادل که در محل خطا اتفاق می‌افتد (مثلاً خطای فاز به زمین)، شبکه دکوپله یا مجزای قبلی با آن ترکیب شده و سیستم نامتعادل را تشکیل می‌دهند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

سید سراج حمیدی (+)

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 13 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *