تابع گرین – به زبان ساده

در این مطلب می‌خواهیم تابعی را معرفی کنیم که می‌توان از آن در حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن استفاده کرد. این تابع تحت عنوان تابع گرین شناخته می‌شود. هم‌چنین مطالعه مطالب معادلات دیفرانسیل و تقلب نامه (Cheat Sheet) معادلات دیفرانسیل نیز خالی از لطف نخواهند بود.

تابع گرین

تابع گرین مفهومی است که در قرن نوزدهم توسط «جرج گرین» (George Green)، دانشمندِ بریتانیایی ارائه شد. از این تابع به‌منظور حل معادلات دیفرانسیلی به‌صورت زیر استفاده می‌شود.

$$\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t ) + g ( t )$$

توجه داشته باشید که دو تابع $$f$$ و $$g$$ در بازه‌ای مشخص تعریف می‌شوند.

شکل تابع

به منظور معرفی تابع گرین در ابتدا معادله‌ای را به‌صورت زیر در نظر بگیرید. این عبارت نشان‌دهنده یک معادله دیفرانسیل است. دلیل این امر این است که $$L$$ نشان‌دهنده اوپراتوری دیفرانسیلی است.

$$\large L y = g$$

تابع گرینِ مربوط به اوپراتور خطی $$L$$ یا همان $$G ( t , s )$$ در معادله زیر صدق می‌کند.

$$\large \displaystyle L G ( t , s ) = \delta ( t - s )$$

در حقیقت $$G$$ تابعی است که با اثر کردن $$L$$ روی آن، تابع دلتای دیراک حاصل می‌شود. توجه داشته باشید که در رابطه فوق، $$\delta ( t - s )$$ نشان‌دهنده تابع دلتای دیراک است. معادله اولیه را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

$$\large \displaystyle L y ( t ) = g ( t )$$
$$\large \displaystyle L y ( t ) = \int \delta ( t - s ) g ( s ) d s$$
$$\large \displaystyle L y ( t ) = \int L G ( t , s ) g ( s ) d s$$
$$\large \displaystyle L y ( t ) = L \int G ( t , s ) g ( s ) d s$$
$$\large \displaystyle y ( t ) = \int G ( t , s ) g ( s ) d s$$

در حقیقت تابع گرین، نقش کرنل انتگرال را در حل معادله $$L y = g$$ بازی می‌کند.

معادلات خطی غیرهمگن

یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن مرتبه اول به‌صورت زیر است.

$$\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t) + g ( t )$$

معادله فوق را می‌توان با استفاده از شرط اولیه $$y ( t _ 0 ) = 0$$، به صورت‌ زیر حل کرد.

$$\large \displaystyle \frac { d } { d t } \left ( y ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^{ t } - f } \right ) = \frac { d y } { d t } e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } - f } - y ( t ) f ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f }$$
$$\large \displaystyle \frac{d}{dt}\left( y(t) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f } \right ) = g ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } - f }$$
$$\large \displaystyle y(t) e^{\int _ { t _0 } ^ { t } - f } = \int_{t_0}^{t} g(\xi) e^{\int_{t_0}^{\xi} -f} d\xi$$
$$\large \displaystyle y ( t ) = \int _ { t_ 0 } ^{ t } g ( \xi ) e^{\int _ { t_ 0 } ^ {t } f - \int_{ t _ 0 } ^ { \xi } f } d \xi$$
$$\large \displaystyle y ( t ) = \int _ { t _0 } ^{ t } g ( \xi ) e^{\int_{\xi}^{t} f} d \xi$$

تابع گرین در معادلات دیفرانسیل خطی غیرهمگن

تابع گرین مربوط به یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن خطی می‌تواند در رابطه زیر قرار گیرد.

$$\large \displaystyle \frac { d } { d t } G ( t , s ) - f ( t ) G ( t , s ) = \delta ( t - s )$$

با توجه به پاسخ بدست آمده در بالا، تابع $$G ( t , s )$$ را می‌توان در بازه $$t _ 0 < s < t$$ به‌صورت زیر بدست آورد.

$$\large \displaystyle G ( t , s ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t } \delta ( \xi - s ) e ^ { \int _ { \xi } ^ { t } f } d \xi$$

$$\large \displaystyle G ( t , s ) = e ^ { \int _ { s } ^ { t } f }$$

مثال 1

تابع گرین مربوط به معادله دیفرانسیل زیر را بدست آورده و نهایتا پاسخ معادله دیفرانسیل را بیابید.

$$\large \displaystyle y ^ { \prime } = y + 1$$

رابطه کلی مربوط به تابع گرین را در بالا به‌صورت زیر بیان کردیم.

$$\large \displaystyle G ( t , s ) = e ^ { \int _ { s } ^ { t } f } = e ^ { t - s }$$

شکل این تابع دومتغیره در ادامه ترسیم شده‌ است.

با بدست آمدن تابع گرین، تابع $$y$$ نیز به‌صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \displaystyle y ( t ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t } e ^ { t - s } g ( s ) d s$$

$$\large \displaystyle y ( t ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t } e ^ { t - s } d s$$

$$\large \displaystyle y ( t ) = e ^ { t - t _ 0 } - 1$$

مثال ۲

تابع گرین مربوط به مسئله مقدار مرزی زیر بیابید.

$$\large \begin {align} Lu & = u ^ { \prime \prime } + k ^ 2 u = f ( x ) \\ u ( 0 ) & = 0 \ \ \ , \quad u\left ( \tfrac { \pi } { 2 k } \right ) = 0 \end {align}$$

با توجه به معلوم بودن اوپراتور ارائه شده‌ در سمت چپ معادله فوق، عبارت زیر را می‌توان بر حسب تابع گرین بیان کرد:

$$\large g ^ { \prime \prime } ( x , s ) + k ^ 2 g ( x , s ) = \delta ( x - s )$$

در عبارت فوق زمانی که $$x \ne s$$ باشد، تابع دلتای دیراک برابر با صفر بدست خواهد آمد. بنابراین پاسخ عمومی معادله در این حالت برابر است با:

$$\large g ( x , s ) = c _ 1 \cos k x + c _ 2 \sin k x$$

برای حالتی که $$x < s$$ باشد نیز شرایط مرزی در $$x=0$$، مقدار تابع گرین در صفر را برابر می‌کند با:

$$g ( 0 , s ) =c _ 1 \cdot 1 + c _ 2 \cdot 0 = 0 , \quad c _ 1 = 0$$

در حالتی دیگر اگر $$x > s$$ و $$x = \tfrac { \pi } { 2 k }$$ باشد، در این صورت مقدار اولیه تابع گرین در این نقطه نیز برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*} g \left ( \tfrac { \pi } { 2 k } , s \right ) & = c _ 3 \cdot 0 + c _ 4 \cdot 1 = 0 , \quad c _ 4 = 0 \end {align*}$$

به همین صورت مقدار تابع در $$g ( 0 , s ) = 0$$ نیز یافت می‌شود. نتایج بدست آمده را می‌توان نهایتا با استفاده از تابع دو ضابطه‌ای زیر خلاصه کرد.

$${ \displaystyle g ( x , s ) = { \begin{cases} c _ { 2 } \sin k x , &{\text{for } } x < s ,\\ c _ { 3 } \cos k x ,& {\text{for }}s<x \end {cases} } }$$

در قدم‌های بعدی باید ضرایب $$c _ 2$$ و $$c _ 3$$ نیز تعیین شوند. با استفاده از شرط پیوستگی می‌توان رابطه زیر را در نقطه $$x = s$$ بیان کرد:

$$\large c _ 2 \sin k s = c _ 3 \cos k s$$

با انتگرال‌گیریِ تابع گرین در بازه $${ \displaystyle x = s-\varepsilon }$$ تا $${ \displaystyle x = s+\varepsilon }$$ و برابر قرار دادن آن با $$۱$$ رابطه زیر بدست می‌آید.

$${ \displaystyle c _ { 3 }\cdot ( - k \sin k s ) - c _ { 2 } \cdot ( k \cos k s ) = 1 }$$

از این رو ثابت‌های $$c _ 2$$ و $$c _ 3$$ نیز برابر خواهند بود با:

$$\large c _ 2 = -\frac { \cos k s } { k } \quad;\quad c _ 3 = - \frac { \sin k s } { k }$$

بنابراین تابع گرین در این مسئله برابر است با:

$${ \displaystyle g ( x , s ) = { \begin {cases} - { \frac { \cos k s } { k } } \sin k x , & x < s \\ - { \frac { \sin k s } { k } } \cos k x , & s < x \end {cases} } }$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• قضیه دیورژانس (Divergence Theorem) — به زبان ساده
• مشتق - به زبان ساده
• قضیه گرین (Green Theorem) — به زبان ساده

^^