تغییر شکل در حوزه مکانیک مواد — آشنایی با تغییر شکل، کرنش و جابجایی

در «مکانیک محیط‌های پیوسته» (Continuum Mechanics)، به دگرگونی و تبدیل یک جسم از پیکربندی اولیه به پیکربندی فعلی، «تغییر شکل» (Deformation) گفته می‌شود. پیکربندی، مجموعه نقاطی است که محل قرارگیری تمام ذرات آن را دربر می‌گیرد. تغییر شکل می‌تواند در اثر بارگذاری‌های خارجی، نیروهای داخلی (نیروی جاذبه یا نیروهای الکترومغناطیس) و یا تغییر در دما، رطوبت، واکنش‌های شیمیایی و غیره رخ دهد.

یکی از مفاهیم مهم در زمینه تغییر شکل مواد، «کرنش» (Strain) است. کرنش، تغییر شکل یک جسم را با توجه به جابجایی نسبی ذرات نمایش می‌دهد و حرکات جسم صلب را در نظر نمی‌گیرد. معادله‌های مختلفی برای تعریف «میدان کرنش» (Strain Field) ارائه شده است که انتخاب هر یک، به نحوه تعریف کرنش (با توجه به پیکربندی اولیه یا نهایی) و در نظر گرفتن «تانسور متریک» (Metric Tensor) یا «دوگان تانسور» (Dual Tensor) بستگی دارد.

میدان تغییر شکل در جسم پیوسته، بر اثر وجود میدان تنش (ناشی از نیروهای اعمالی) یا تغییرات میدان دمای درون آن جسم ایجاد می‌شود. رابطه بین تنش و کرنش القایی، با استفاده از معادلات مشخصه‌ای مانند قانون هوک برای مواد الاستیک خطی بیان می‌شود. به تغییر شکلی که بعد از حذف میدان تنش بازیابی شود، تغییر شکل الاستیک گفته می‌شود. جسم پیوسته در این حالت، به طور کامل به حالت پیکربندی اولیه خود بازمی‌گردد.

در طرف مقابل، تغییر شکل‌هایی وجود دارند که حتی پس از حذف تنش‌های اعمالی نیز قابل بازیابی نخواهند بود. یکی از انواع تغییر شکل‌های غیر قابل بازگشت، تغییر شکل پلاستیک است. تغییر شکل پلاستیک زمانی رخ می‌دهد که بیش از حد الاستیک یا تنش تسلیم به جسم نیرو وارد شده باشد. این وضعیت، موجب «لغزش» (Slip) یا «نابجایی» (Dislocation) اتم‌های درون جسم خواهد شد. یکی دیگر از انواع تغییر شکل‌های غیر قابل برگشت، «تغییر شکل ویسکوز» (Viscous Deformation) است که بخش برگشت‌ناپذیر در تغییر شکل «ویسکوالاستیک» (Viscoelastic) محسوب می‌شود. در تغییر شکل‌های الاستیک، تابع پاسخی که کرنش را به تنش متصل می‌کند، همان «تانسور انطباق» (Compliance Tensor) ماده نام دارد.

در شکل بالا، یک میله مستقیم و نازک را مشاهده می‌کنید که به شکل یک حلقه بسته درآورده شده است. در طی فرآیند تغییر شکل، طول این میله تقریباً ثابت باقی می‌ماند. این مسئله نشان دهنده کوچک بودن کرنش در جسم است. در این نوع تغییر شکل خاص، جابجایی‌های ناشی از دوران و انتقال (حرکات جسم صلب) المان‌های مواد در میله، بسیار بیشتر از جابجایی‌های مرتبط با کشش موجود در آن است. در ادامه این مقاله، به تشریح دقیق‌تر کرنش، تغییر شکل و جابجایی خواهیم پرداخت.

کرنش

کرنش، مقدار تغییر شکلی است که جابجایی بین ذرات درون یک جسم را نسبت به یک طول مرجع (طول اولیه یا طول در یک زمان مشخص) بیان می‌کند.

تغییر شکل عمومی یک جسم را می‌توان به صورت معادله زیر نوشت:

پارامتر X، موقعیت مرجع نقاط درون جسم است. در این معادله، مرز مشخصی بین حرکات جسم صلب (انتقال و دوران) و تغییرات شکل و اندازه جسم وجود ندارد. به خاطر داشته باشید که تغییر شکل دارای واحد طول است.

معادله کرنش را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

در معادله بالا، I، تانسور همانی است. از این‌رو، کرنش پارامتری بدون بعد به حساب می‌آید و معمولاً به صورت کسر اعشاری، درصد یا بخش در واحد اندازه‌گیری (مانند یک در هزار) بیان می‌شود. کرنش، میزان اختلاف یک تغییر شکل معین در یک محل خاص را نسبت به تغییر شکل جسم صلب نشان می‌دهد.

کرنش به طور کلی یک کمیت تانسور محسوب می‌شود. برای داشتن یک تصویر ذهنی مناسب از کرنش، می‌توان آن را به دو مؤلفه نرمال و برشی تجزیه کرد. در یک جسم تغییر شکل یافته، میزان کشش یا فشار وارده در راستای المان‌های خطی یا الیاف یک جسم، کرنش نرمال است. از سوی دیگر، میزان انحراف ناشی از لغزش لایه‌های مختلف جسم بر روی یکدیگر، به عنوان کرنش برشی شناخته می‌شود. اگر ماده‌ای در حین بارگذاری افزایش طول پیدا کند، از عبارت کرنش کششی برای بیان نوع کرنش نرمال استفاده می‌شود. در طرف مقابل و در صورت وجود تراکم یا کاهش طول در ماده، عبارت کرنش فشاری برای بیان نوع کرنش نرمال به کار برده می‌شود.

تعاریف کرنش

بر اساس میزان کرنش یا تغییر شکل موضعی در یک جسم، تجزیه و تحلیل تغییر شکل را می‌توان به سه نظریه زیر تقسیم‌بندی کرد:

• «نظریه تنش محدود» (Finite Strain Theory): این نظریه با عناوینی همچون «نظریه کرنش بزرگ» (Large Strain Theory) و «نظریه تغییر شکل بزرگ» (Large Deformation Theory) نیز شناخته می‌شود و با تغییر شکل‌هایی سر و کار دارد که کرنش و چرخش در جسم مقدار بزرگی باشد. در این وضعیت، تفاوت قابل توجهی بین پیکربندی‌های تغییر شکل یافته و بدون تغییر در جسم پیوسته وجود خواهد داشت و مرز بین این دو حالت کاملاً قابل تشخیص خواهد بود. این نظریه بیشتر برای مواد الاستومتر، موادی با تغییر شکل پلاستیک، سیالات و بافت‌های نرم بیولوژیکی کاربرد دارد.
• «نظریه کرنش بی‌نهایت کوچک» (Infinitesimal Strain Theory): این نظریه با عناوینی همچون «نظریه کرنش کوچک» (Small Strain Theory)، «نظریه تغییر شکل کوچک» (Small Deformation Theory) و «نظریه جابجایی کوچک» (Small Displacement Theory) نیز شناخته می‌شود که در آن، کرنش و چرخش درون جسم مقدار کوچکی است. در این شرایط می‌توان پیکربندی‌های تغییر شکل یافته و بدون تغییر را یکسان در نظر گرفت. برای تجزیه و تحلیل تغییر شکل موادی با رفتار الاستیک از جمله فولاد و بتن که در مهندسی مکانیک و عمران به کار می‌روند، نظریه کرنش بی‌نهایت کوچک مورد استفاده قرار می‌گیرد.
• «نظریه جابجایی بزرگ» (Large- Displacement Theory): این نظریه با عنوان «نظریه چرخش بزرگ» (Large-Rotation Theory) نیز شناخته می‌شود و در آن، تنش‌ها کوچک اما جابجایی‌ها و چرخش‌ها کوچک هستند.

در هر یک از نظریه‌های بالا، کرنش به صورت متفاوتی تعریف می‌شود. مفهوم «کرنش مهندسی» (Engineering Strain)، رایج‌ترین مفهومی است که در حوزه مهندسی مکانیک و سازه مورد استفاده قرار می‌گیرد. در حوزه‌های اشاره شده، مقدار تغییر شکل‌های مورد بررسی بسیار کوچک است. از سوی دیگر، برای موادی از قبیل الاستومرها و پلیمرها که در معرض تغییر شکل‌های بزرگ قرار دارند، مفهوم کرنش مهندسی (کرنش‌های مهندسی بالاتر از 1 درصد) قابل استفاده نیست. در این موارد، از مفاهیم پیچیده‌تری مانند «کشش» (Stretch)، کرنش لگاریتمی، «کرنش گرین» (Green Strain) و «کرنش آلمانسی» (Almansi strain) استفاده می‌شود.

کرنش مهندسی

«کرنش کوشی» (Cauchy strain) یا کرنش مهندسی به صورت نسبت تغییر شکل کل جسم تحت بارگذاری به ابعاد اولیه آن تعریف می‌شود. برای المان‌های خطی مواد یا الیافی که به طور محوری تحت بارگذاری قرار گرفته‌اند، کرنش نرمال مهندسی (e) به صورت تغییرات طول (ΔL) نسبت به طول اولیه (L) آن المان‌های خطی یا الیاف تعریف می‌شود. این کرنش را با عناوین دیگری از جمله «کرنش کششی مهندسی» (Engineering Extensional Strain) و «کرنش اسمی» (Nominal Strain) نیز معرفی می‌کنند. در صورتی که الیاف ماده کشیده شوند، علامت کرنش نرمال مثبت و در صورت فشرده شدن این الیاف، علامت کرنش نرمال منفی خواهد بود. به این ترتیب، کرنش نرمال را می‌توان با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد:

e: کرنش نرمال مهندسی؛ L: طول اولیه الیاف جسم؛ l: طول نهایی الیاف

توجه: اندازه‌گیری کرنش معمولاً به صورت بخش در میلیون یا میکروکرنش بیان می‌شود.

دو المان خطی در یک ماده را در نظر بگیرید که در پیکربندی اولیه (بدون تغییر شکل) به صورت عمود بر هم قرار گرفته‌اند. حال در صورت بررسی میزان تغییرات زاویه بین این دو المان، می‌توان کرنش برشی واقعی ماده را به دست آورد. کرنش برشی مهندسی، به صورت تانژانت زاویه مذکور تعریف می‌شود و برابر است با طول تغییر شکل ماکسیمم تقسیم بر طول عمودی در صفحه‌ای که نیرو اعمال می‌شود. استفاده از این روش در برخی از مواقع محاسبات را ساده‌تر می‌کند. در بخش‌های بعدی، توضیحات بیشتری را راجع به محاسبه کرنش نرمال و برشی ارائه خواهیم کرد.

نسبت کشش

«نسبت کشش» (Stretch Ratio یا Extension Ratio)، معیاری برای اندازه‌گیری کرنش کششی یا نرمال یک المان خطی است که می‌تواند برای هر دو پیکربندی تغییر شکل یافته و بدون تغییر تعریف شود. این پارامتر، نسبت طول نهایی (l) به طول اولیه ماده (L) است.

رابطه نسبت کشش با کرنش مهندسی به صورت زیر است:

بر اساس معادله بالا، در صورتی که نسبت کشش برابر با یک باشد، کرنش نرمال صفر می‌شود و هیچ تغییر شکلی در ماده وجود نخواهد داشت.

نسبت کشش برای تجزیه و تحلیل موادی مانند الاستومترها به کار می‌رود که تغییر شکل‌های بزرگی را از خود به نمایش می‌گذارند و می‌توانند نسبتی بین 3 یا 4 را پیش از رسیدن به نقطه شکست خود تحمل کنند. در طرف مقابل، شکست مواد رایج در مهندسی مکانیک و سازه (فولاد و بتن)، در نسبت‌های بسیار پایین‌تری رخ می‌دهد.

کرنش واقعی

کرنش لگاریتمی (ε)، با عناوین دیگری مانند کرنش واقعی یا «کرنش هِنکی» (Hencky Strain) نیز شناخته می‌شود.

یک کرنش تفاضلی مانند معادله زیر را در نظر بگیرید:

کرنش لگاریتمی را می‌توان با انتگرال‌گیری از این کرنش افزایشی (مانند معادله زیر) محاسبه کرد:

در معادله بالا، e، کرنش مهندسی است. هنگامی که یک سری کرنش تدریجی بر روی یک جسم اعمال می‌شود، کرنش لگاریتمی می‌تواند با در نظر گرفتن تأثیر مسیر کرنش، مقدار دقیق کرنش نهایی را محاسبه کند.

کرنش گرین

«کرنش گرین» (Green Strain) به صورت معادله زیر تعریف می‌شود:

کرنش آلمانسی

مقدار «کرنش اویلر-آلمانسی» (Euler-Almansi) را می‌توان با استفاده از رابطه زیر به دست آورد:

کرنش نرمال و برشی

کرنش‌ها را می‌توان به دو دسته نرمال و برشی تقسیم‌بندی کرد. کرنش نرمال، به صورت عمود بر یک المان و کرنش برشی، به صورت موازی با آن رخ می‌دهد. این تعاریف برای تنش‌های نرمال و برشی نیز صادق هستند.

کرنش نرمال

تغییر شکل هندسی یک المان بی‌نهایت کوچک از ماده مورد تحلیل

وجود تنش نرمال در مواد همسانگردی که از قانون هوک پیروی می‌کنند، کرنش نرمال را به وجود می‌آورد. کرنش‌های نرمال، باعث رخ دادن پدیده‌ای با عنوان «اتساع» (Dilation) می‌شوند. یک المان دوبعدی بسیار کوچک با ابعاد d_x * d_y را در نظر بگیرید که پس از تغییر شکل به شکل یک لوزی درمی‌آید (شکل بالا). با توجه به هندسه این المان داریم:

و

در معادله بالا، برای تغییرات بسیار کوچک، عبارت آخر قابل اغماض است. از این‌رو، طول ab به صورت زیر خواهد بود:

کرنش نرمال در جهت x المان مستطیلی شکل به صورت زیر تعریف می‌شود:

به همین شکل، می‌توان کرنش نرمال در جهت y و z را نیز به دست آورد:

کرنش برشی

کرنش برشی مهندسی (γ_xy)، به صورت تغییرات زاویه بین خطوط AC و AB تعریف می‌شود. به این ترتیب داریم:

با توجه به شکل بالا، می‌توان روابط زیر را به دست آورد:

برای تغییرات جابجایی کوچک، قواعد زیر حاکم هستند:

برای چرخش‌های کوچک (α و β کوچک‌تر از 1) نیز روابط زیر برقرار است:

بنابراین:

با جایگذاری x و y با u_x و u_y، می‌توان نشان داد که:

به همین صورت، معادله‌های زیر برای صفحات y_z و x_z به دست خواهد آمد:

مؤلفه‌های تانسوری تنش برشی برای تانسور تنش بی‌نهایت کوچک را می‌توان با استفاده از تعریف کرنش مهندسی (γ) به صورت زیر بیان کرد:

مفهوم تغییر شکل

تغییر شکل، تغییر در ابعاد یک جسم پیوسته است. فرض کنید که محل اولیه و نهایی قرارگیری یک جسم را با استفاده از خطوطی مشخص کنیم. در این وضعیت، تغییر شکل می‌تواند باعث تغییر در اندازه این خطوط شود. به حالتی که هیچ تغییری در طول خطوط مشاهده نشود، جابجایی جسم صلب گفته می‌شود.

در تحلیل تغییر شکل‌ها، استفاده از یک پیکربندی مرجع یا وضعیت هندسی اولیه، بررسی پیکربندی و تغییرات بعدی را راحت‌تر می‌کند. معمولاً پیکربندی جسم در t=0 را به عنوان پیکربندی مرجع، κ₀(B)، در نظر می‌گیرند.

برای تجزیه و تحلیل تغییر شکل، پیکربندی مرجع، با عنوان پیکربندی بدون تغییر و پیکربندی فعلی، با عنوان پیکربندی تغییریافته شناخته می‌شود. علاوه بر این، در هنگام تحلیل تغییر شکل، پارامتر زمان در نظر گرفته نمی‌شود. از این‌رو، پیکربندی‌های موجود در بین حالت تغییر یافته و بدون تغییر، مد نظر قرار نمی‌گیرند.

به مؤلفه‌های X_i در بردار مکان X برای یک ذره با پیکربندی و سیستم مختصات مرجع، مختصات مادی یا مختصات مرجع گفته می‌شود. در طرف مقابل، مؤلفه‌های x_i در بردار مکان x برای یک ذره با پیکربندی تغییر یافته و سیستم مختصات فضایی مرجع را مختصات فضایی می‌گویند.

دو روش برای تجزیه و تحلیل تغییر شکل در محیط‌های پیوسته وجود دارد. یکی از این روش‌ها، بر اساس مختصات مادی یا مرجع تعریف شده است که به آن «توصیف مادی» (Material Description) یا «توصیف لاگرانژی» (Lagrangian Description) گفته می‌شود. روش دوم، بر اساس مختصات فضایی المان مورد تحلیل تعریف شده است که به آن «توصیف فضایی» (Spatial Description) یا «توصیف اویلری» (Eulerian Description) می‌گویند.

در حین تغییر شکل یک محیط پیوسته، جسم مورد نظر همیشه دارای پیوستگی است. دلایل این امر را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

• نقاطی از ماده که در هر لحظه از زمان تشکیل یک منحنی بسته را می‌دهند، در زمان‌های بعدی نیز همیشه یک منحنی بسته را تشکیل خواهند داد.
• نقاطی از ماده که در هر لحظه از زمان تشکیل یک سطح بسته را می‌دهند، در زمان‌های بعدی نیز همیشه یک سطح بسته را تشکیل خواهند داد. به علاوه، مواد موجود در این سطح، همیشه درون محدوده آن باقی خواهند ماند.

تغییر شکل آفین

«تغییر شکل آفین» (Affine Deformation)، تغییر شکلی است که بتوان آن را توسط یک «تبدیل آفین» (Affine Transformation) توصیف کرد. این تبدیل، ترکیبی از تبدیل خطی (دوران، برش، کشش و فشارش) و انتقال جسم صلب است.

به تغییر شکل آفین، تغییر شکل همگن نیز گفته می‌شود. این تغییر شکل، دارای رابطه‌ای به شکل زیر است:

x: موقعیت قرارگیری یک نقطه در پیکربندی تغییر یافته؛ X: موقعیت در پیکربندی مرجع؛ t: پارامتر مرتبط با زمان؛ F: مبدل خطی؛ c: تابع انتقال

بر اساس یک پایه متعامد، می‌توان فرم ماتریسی تغییر شکل آفین را به صورت زیر نمایش داد:

اگر در ماتریس بالا، F=F(X,t) یا c=c(X,t) باشد، تغییر شکل به صورت غیر آفین یا ناهمگن خواهد بود.

حرکت جسم صلب

یکی از حالت‌های خاص تغییر شکل آفین، حرکت جسم صلب است که در آن هیچ برش، کشش یا فشارشی رخ نمی‌دهد. از آنجایی که ماتریس تبدیل F، ماتریس متعامد مناسبی برای اعمال چرخش بدون تقارن است. حرکت جسم صلب را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

که در آن:

ماتریسی رابطه‌های بالا به صورت زیر است:

جابجایی

در یک جسم پیوسته، جابجایی منجر به تغییر پیکربندی خواهد شد. جابجایی یک جسم، دارای دو مؤلفه جابجایی جسم صلب و تغییر شکل است. در جابجایی جسم صلب، انتقال و چرخش جسم به صورت هم‌زمان و بدون تغییر در شکل و اندازه آن رخ می‌دهد. تغییر شکل یک جسم، تغییر در شکل و یا اندازه آن از پیکربندی اولیه یا بدون تغییر κ₀(B) به پیکربندی فعلی یا تغییر یافته κ_t(B) را نشان می‌دهد (شکل زیر).

در صورتی که پس از جابجایی یک محیط پیوسته، بین ذرات یک جابجایی نسبی مشاهده شود، تغییر شکل رخ داده است. از طرف دیگر، اگر پس از جابجایی یک محیط پیوسته، جابجایی نسبی بین ذرات صفر باشد، هیچ تغییر شکلی ایجاد نشده و جابجایی جسم صلب رخ داده است. به برداری که موقعیت‌های مکانی یک ذره (P) در پیکربندی بدون تغییر و پیکربندی تغییر یافته را به هم متصل می‌کند، بردار جابجایی u(X,t) = u_ie_i در توصیف لاگرانژی یا U(x,t) = U_JE_J در توصیف اویلری گفته می‌شود.

میدان جابجایی، میدان برداری تمام بردارهای جابجایی برای ذرات موجود در جسم مورد بررسی است. این میدان، پیکربندی تغییر یافته را به پیکربندی بودن تغییر ارتباط می‌دهد. در تحلیل تغییر شکل یا حرکت یک جسم، استفاده از میدان جابجایی کار را راحت‌تر می‌کند. به طور کلی، رابطه میدان جابجایی را با توجه به مختصات مادی می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

یا

در صورت بازنویسی روابط بالا با توجه به مختصات فضایی، خواهیم داشت:

یا

α_Ji: کسینوس هادی بین سیستم‌های مختصات مادی و فضایی با بردارهای یکه E_J و e_i

به این ترتیب، داریم:

رابطه بین u_i و U_J به صورت زیر خواهد بود:

یا

با دانستن رابطه زیر:

خواهیم داشت:

معمولاً، سیستم‌های مختصات برای پیکربندی‌های تغییر یافته و بدون تغییر بر روی هم قرار داده می‌شوند. از این، b=0 می‌شود و کسینوس‌های هادی نیز به «دلتای کرونکر» (Kronecker Delta) تبدیل خواند شد:

بنابراین، خواهیم داشت:

یا

و در حالت مختصات فضایی نیز خواهیم داشت:

یا

تانسور گرادیان جابجایی

با مشتق‌گیری جزئی بردار جابجایی نسبت به مختصات مادی می‌توان تانسور گرادیان جابجایی ماده (_XU∇) را به دست آورد. به این ترتیب، داریم:

یا

در روابط بالا، F، تانسور گرادیان تغییر شکل است. با مشتق‌گیری جزئی بردار جابجایی نسبت به مختصات فضایی نیز تانسور گرادیان جابجایی فضایی (xU∇) به دست می‌آید. به این ترتیب، داریم:

یا

نمونه‌هایی از تغییر شکل

تغییر شکل‌های همگن یا آفین کاربرد مناسبی در بیان رفتار مواد دارد. برخی از تغییر شکل‌های همگن مهم عبارت‌اند از:

• «کشش یکنواخت» (Uniform Extension)
• «اتساع خالص» (Pure Dilation)
• «کشش دومحوره» (Equibiaxial Tension)
• «برش ساده» (Simple Shear)
• «برش خالص» (Pure Shear)
• «تغییر شکل صفحه‌ای» (Plane Deformation)

تغییر شکل صفحه‌ای بیشتر برای مقاصد آزمایشگاهی مورد بررسی قرار می‌گیرد. در ادامه، به توضیح این نوع تغییر شکل می‌پردازیم.

تغییر شکل صفحه‌ای

تغییر شکل صفحه‌ای با عنوان کرنش صفحه‌ای نیز شناخته می‌شود و زمانی رخ می‌دهد که تغییر شکل به یکی از صفحات پیکربندی مرجع محدود شده باشد. در صورتی که تغییر شکل، به صفحه‌ای با بردارهای پایه e₁ و e₂ محدود شده باشد، گرادیان تغییر شکل به صورت زیر خواهد بود:

فرم ماتریسی معادله بالا به شکل زیر است:

بر اساس نظریه تجزیه قطبی، گرادیان تغییر شکل را می‌توان به یک کشش و یک چرخش تجزیه کرد. از آنجایی که تمام تغییر شکل‌ها درون یک صفحه رخ می‌دهند، می‌توان نوشت:

Θ: زاویه دوران؛ λ₁ و λ₂: کشش‌های اصلی

تغییر شکل صفحه‌ای با حجم ثابت

اگر تغییر شکل با حجم ثابت باشد، det(F)=1 خواهد بود. به این ترتیب، خواهیم داشت:

این رابطه را می‌توان به صورت زیر نیز نوشت:

برش ساده

یک تغییر شکل صفحه‌ای با حجم ثابت را در نظر بگیرید. اگر هیچ تغییری در طول و جهت‌گیری مجموعه‌ای از المان‌های خطی با یک جهت‌گیری مرجع مشخص رخ ندهد، تغییر شکل برش ساده اتفاق افتاده است. در صورتی که e₁، جهت مرجع ثابت در المان‌های خطی بدون تغییر باشد، λ₁ = 1 و F.e₁ = e₁ خواهد بود. بنابراین:

از آنجایی که تغییر شکل با حجم ثابت است، داریم:

و

به این ترتیب، گرادیان تغییر شکل در برش ساده را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

در این صورت، داریم:

از آنجایی که رابطه زیر برقرار است:

می‌توانیم گرادیان تغییر شکل را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد. اگر به یادگیری موضوعات مشابه علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• مجموعه آموزش های مهندسی عمران
• مجموعه آموزش های مهندسی مکانیک
• آموزش مقاومت مصالح
• آموزش استاتیک
• مجموعه مقالات آشنایی با مفاهیم مقاومت مصالح و خواص مکانیکی مواد

^^