مجانب تابع — به زبان ساده

مُجانب در لغت به‌معنی «دور شونده» است و به‌خاطر همین، آن را معادل واژه انگلیسی Asymptote قرار داده‌اند. در فرهنگ فارسی معین این تعریف برای مجانب آمده است: «در هندسه، خط مستقیمی را مجانب یک منحنی می‌گویند که چون نقطه‌ای در روی منحنی حرکت کند و به سمت بی‌نهایت رود، فواصل این نقطه از این خط مرتب کم شود و میل به صفر کند». در این آموزش، با انواع مجانب‌ها آشنا شده و نحوه به‌دست آوردن آن‌ها را بیان می‌کنیم.

مجانب چیست؟

مجانب، خط راستی است که منحنی یا خمی در بی‌نهایت به آن نزدیک می‌شود. شکل زیر، این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که می‌بینیم، فاصله منحنی و مجانب با میل منحنی به بی‌نهایت، کم‌ و کم‌تر می‌شود.

انواع مجانب‌ها

مجانب قائم

خط راست $$x=a$$‌ را مجانب قائم یک منحنی گوییم اگر وقتی $$y$$ به بی‌نهایت میل کند، فاصله منحنی با خط $$x=a$$ به صفر برسد.

به بیان ریاضی، خط قائم $$x=a$$ یک مجانب قائم برای نمودار تابع $$y=f(x)$$ نامیده می‌شود، اگر یکی از چهار شرط زیر برقرار باشد:

مجانب افقی

خط $$y=b$$ مجانب افقی منحنی است، اگر وقتی $$x$$ به بی‌نهایت (یا منفی بی‌نهایت) میل کند، فاصله منحنی با مقدار ثابت $$b$$ به صفر میل کند.

به بیان ریاضی، خط افقی $$y=b$$، مجانب افقی منحنی $$y=f(x)$$ نامیده می‌شود، اگر یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

مجانب مایل

خط $$y=mx+c$$، مجانب مایل است، اگر وقتی $$x$$ به بی‌نهایت (یا منفی بی‌نهایت) میل کند، فاصله منحنی و خط به صفر متمایل شود. به عبارت دیگر، خط $$y=mx+c$$، مجانب مایل تابع $$f(x)$$ است، اگر

چند نکته

• یک منحنی، می‌تواند تعداد نامتناهی مجانب قائم داشته باشد، اما حداکثر دو مجانب افقی دارد.
• مجانب‌های افقی، رفتار سمت چپ و راست منحنی را توصیف می‌کنند.
• اغلب، یک منحنی، با مجانب قائم برخورد نمی‌کند، در حالی که ممکن است از مجانب افقی عبور کند.
• مجانب افقی،‌ نوعی مجانب مایل است که در آن، $$m=0$$.

فیلم آموزش ریاضی 2 – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مجانب توابع کسری

تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:

• مجانب‌های قائم منحنی تابع $$y=f(x)$$، مقادیری از $$x$$ خواهد بود که به‌ازای آن‌ها مخرج برابر با صفر شود.
• منحنی $$y=f(x)$$، حداکثر یک مجانب افقی دارد که به‌صورت زیر می‌توان آن را تعیین کرد:
  1. اگر $$m>n$$ (درجه مخرج، بزرگ‌تر از درجه صورت باشد)، آن‌گاه منحنی $$y=f(x)$$ در $$y=0$$ (یعنی محور $$x$$) یک مجانب افقی خواهد داشت.
  2. اگر $$m=n$$ (درجه مخرج، برابر با درجه صورت باشد)، آن‌گاه منحنی تابع $$y=f(x)$$، یگ مجانب افقی در $$y=\dfrac{a_n}{b_m}$$ خواهد داشت.
  3. اگر $$m$$ (درجه صورت بزرگ‌تر از درجه مخرج باشد)، آن‌گاه منحنی $$y=f(x)$$، هیچ مجانب افقی نخواهد داشت.
• اگر $$n=m+1$$، مجانب مایل تابع را می‌توان به‌صورت $$mx+c+\dfrac{r(x)}{q(x)}$$ تعیین کرد که در آن، درجه $$r$$ کوچک‌تر از درجه $$q$$ است. اگر $$x \to \infty$$، می‌بینیم که همان شرطی که برای وجود مجانب مایل بیان کردیم، برقرار خواهد بود. مجانب مایل را می‌توان از تقسیم چندجمله‌ای صورت بر مخرج به‌دست آورد.

مجانب توابع رادیکالی

وقتی $$x \to \pm \infty$$، می‌توان از هم ارزی‌های زیر برای توابع رادیکالی استفاده کرد:

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین، می‌توان مجانب‌ها را (در صورت وجود) برای توابعی به‌دست آورد که شامل توابع رادیکالی هستند.

مثال‌های زیر، برای آشنایی بیش‌تر با نحوه تعیین مجانب‌‌های توابع، راه‌گشا خواهد بود.

مثال 1

مجانب‌های افقی و قائم تابع زیر را پیدا کنید:

حل: مجانب‌های قائم، در مقادیری از $$x$$ واقع هستند که مخرج تابع برابر با صفر شود:

بنابراین، منحنی، دو مجانب قائم در $$x=2$$ و $$x=-2$$ دارد.

مشاهده می‌کنید که درجه صورت از درجه مخرج بزرگ‌تر است. بنابراین، منحنی، یک مجانب افقی در $$y=0$$ خواهد داشت. منحنی تابع به‌صورت زیر است:

حدهای مربوط به تابع، به‌صورت زیر هستند:

مثال 2

مجانب‌های تابع زیر را به‌دست آورید:

حل: از آن‌جایی که درجه صورت بزرگ‌تر از درجه مخرج است،‌ تابع فوق، مجانب افقی ندارد. اگر بخواهیم مجانب قائم تابع را به‌دست آوریم، باید مخرج آن را برابر صفر قرار داده و مقداری را پیدا کنیم که به‌ازای آن،‌ تابع به بی‌نهایت میل می‌کند. با توجه به تابع، می‌بینیم که با $$x \to 1$$، تابع به بی‌نهایت همگرا می‌شود، در نتیجه، $$x=1$$، مجانب قائم تابع است.

با توجه به اینکه درجه صورت، به‌اندازه یک واحد از درجه مخرج بزرگ‌تر است، مجانب مایل وجود دارد. گفتیم که برای به‌دست آوردن مجانب مایل تابع، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم. بنابراین، داریم:

با توجه به تقسیم، می‌توانیم تابع را به‌صورت زیر بنویسیم:

می‌بینیم که اگر $$x \to \infty$$، کسر صفر شده و تابع به خط $$y=-3x-3$$ میل می‌کند. شکل زیر میل تابع به مجانب را به‌خوبی نشان می‌دهد. خطوط قرمز رنگ، مجانب‌های قائم و مایل تابع هستند.

مثال 3

مجانب‌های تابع زیر را به‌دست آورید:

حل: طبق هم‌ارزی که برای توابع رادیکالی در بی‌نهایت بیان کردیم، داریم:

بنابراین، با میل $$x$$‌ به بی‌نهایت، به دو مجانب مایل زیر می‌رسیم: