قاعده هوپیتال — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، مفهوم حد در بینهایت و حد بینهایت به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. در مثال‌های موجود در این مطالب با حدهای مبهم بینهایت به روی بینهایت ($${ \infty \over \infty }$$) و صفر به روی صفر (صفر صفرم $${ 0 \over 0 }$$) مواجه شدیم که برای حل آن‌ها از روش‌های مختلف رفع ابهام مانند فاکتورگیری و اتحادها استفاده کردیم. یکی دیگر از روش‌های رفع ابهام، استفاده از قاعده هوپیتال است که در این مطلب به صورت دقیق به بیان آن پرداخته می‌شود.

حدهای مبهم

همانطور که اشاره شد، در مطالبی مانند حد در بینهایت و حد بینهایت با کسرهایی به شکل زیر مواجه شدیم.

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 4 } \frac { { { x ^ 2 } - 16 } } { { x - 4 } } \hspace { 0.5 in } \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { 4 { x ^ 2 } - 5 x } } { { 1 - 3 { x ^ 2 } } }$$

در حد اول موجود در رابطه فوق، اگر ما عدد $$x = 4$$ را در صورت و مخرج کسر قرار دهیم، با یک عبارت $${ 0 \over 0 }$$ مواجه می‌شویم. همچنین اگر در حد دوم موجود در رابطه فوق، عبارت $$\infty$$ را در صورت و مخرج جایگذاری کنیم، کسر نشان داده شده به یک کسر مبهم، $${ \infty \over - \infty }$$ تبدیل می‌شود.

در واقع در عبارت اول، با یک کسر مواجه هستیم که صورت و مخرج آن برابر با صفر است. در این حالت جواب کلی حد به این موضوع بستگی دارد که صفر موجود در صورت کسر بر صفر موجود در مخرج غلبه می‌کند و یا صفر مخرج بر صفر صورت غلبه می‌کند.

توجه کنید که کسر دوم یک عبارت $${ \infty \over - \infty }$$ است و بررسی آن نیز مشابه کسر اول است. در واقع پاسخ آن به این نکته بستگی دارد که بینهایت موجود در صورت کسر بر بینهایت مخرج غلبه می‌کند یا بینهایت موجود در مخرج بر بینهایت صورت غلبه می‌کند. البته حالتی نیز حضور دارد که این دو بینهایت تاثیر یکسانی دارند و در نتیجه پاسخ نهایی حد به صورت یک عدد مشاهده می‌شود.

مباحثی که در بالا توضیح داده شد یکی از مشکلات اصلی حالات مبهم است. در واقع در این شرایط به صورت قطعی نمی‌توان درباره پاسخ یک کسر نظر داد و پاسخ هر کسر به صورت جداگانه باید مورد بررسی قرار بگیرد. در رابطه زیر، انواع حالات مبهم موجود در مبحث حد بیان شده است.

$${ \large \left ( 0 \right ) \left ( { \pm \ ,\infty } \right ) \hspace { 0.25 in } 1 ^ \infty \hspace { 0.25 in } { 0 ^ 0 } \hspace { 0.25 in } { \infty ^ 0 } \hspace { 0.25 in } \infty - \infty }$$

مفاهیم و قوانین مختلفی وجود دارد که به بررسی این نوع از حدها می‌پردازد و هرکدام از این روش‌ها، محدودیت‌هایی نیز دارند. این مطلب به صورت دقیق به بررسی شیوه محاسبه حدهای مبهم بیان شده، می‌پردازد. البته شیوه محاسبه برخی از حد‌های مبهم در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس مورد مطالعه قرار گرفته است. برای مثال دو حد ذکر شده در ابتدای این مطلب به صورت زیر محاسبه می‌شوند.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 4 } \frac { { { x ^ 2 } - 16 } } { { x - 4 } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to 4 } \left ( { x + 4 } \right ) = 8 }$$

در واقع کسر اول را با استفاده از نوشتن اتحاد مزدوج در صورت کسر، ساده کردیم. اتحاد مزدوج صورت کسر به صورت $${ \mathop { x ^ 2 } - 16 = ( x - 4 ) ( x + 4 ) }$$ است. همچنین کسر دوم نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { 4 { x ^ 2 } - 5 x } } { { 1 - 3 { x ^ 2 } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { 4 - \frac { 5 } { x } } }{ { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } - 3 } } = - \frac { 4 } { 3 } }$$

در محاسبه حد بالا نیز از این نکته استفاده شده که حد در بینهایت یک چند جمله‌ای، برابر با حد بزرگترین درجه و توان آن چند جمله‌ای است. در واقع برای اثبات این نکته می‌توان از عبارت $${ x ^ 2 }$$ در صورت و مخرج فاکتور گرفت. این موضوع در رابطه بالا به خوبی نشان داده شده است.

بنابراین برای رفع ابهام حدهای مبهم مختلف، نیاز به استفاده از الگوهای مشخصی داریم. یکی از این الگوها و روش‌ها برای رفع ابهام حالت‌های مختلف، قاعده هوپیتال است که در بخش بعدی به صورت مفصل مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

قاعده هوپیتال چیست؟

در بسیاری از مثال‌ها و حدهایی که مشابه دو حد بیان شده در بخش قبل هستند، می‌توان از روش‌های ارائه شده استفاده کرد. اما این روش‌ها برای حدهایی به شکل زیر، روش‌های کارامدی نیستند.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 0 } \frac { { \sin x } } { x } \hspace { 0.5 in } \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { x ^ 2 } } } }$$

کسر اول یک حالت مبهم صفر صفرم ( $${ 0 \over 0 }$$ ) و کسر دوم یک حالت مبهم بینهایت به روی بینهایت ( $${ \infty \over \infty }$$ ) را نشان می‌دهد. برای مثال ما نمی‌توانیم عبارتی مانند $${ x ^ 2 }$$ را در صورت کسر دوم فاکتور بگیریم. بنابراین محاسبه آن به صورت فاکتورگیری رایج، امکان پذیر نیست و برای محاسبه آن می‌توان از قاعده هوپیتال استفاده کرد. این قاعده به شکل زیر قابل بیان است.

فرض کنید که یکی از دو حالت مختلف حدهای مبهم زیر را داشته باشیم.

$${ \large \begin {align*} \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \frac { { f \left ( x \right ) } } { { g \left ( x \right ) } } & = \frac { 0 } { 0 } \\ \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \frac { { f \left ( x \right ) } } { { g \left ( x \right ) } } & = \frac { { \pm \,\infty } } { { \pm \,\infty } } \end {align*} }$$

در روابط بالا، a می‌تواند هر عدد حقیقی، مثبت بینهایت و منفی بینهایت را در بر بگیرد. بنابراین تحت شرایط داده شده، رابطه زیر برقرار است.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \frac { { f \left ( x \right ) } } { { g \left ( x \right ) } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to a } \frac { { f ^ \prime \left ( x \right ) } } { { g ^ \prime \left ( x \right ) } } }$$

توجه کنید که شرط مشتق‌پذیری توابع f و g در همسایگی محذوف نقطه a باید رعایت شود. بر این اساس و طبق رابطه بالا، قاعده هوپیتال بیان می‌کند که اگر ما با یکی از حالات مبهم صفر صفرم ( $${ 0 \over 0 }$$ ) یا بینهایت به روی بینهایت ( $${ \infty \over \infty }$$ ) مواجه شدیم، تنها کافی است که از صورت و مخرج مشتق بگیریم و حد را دوباره محاسبه کنیم.

نکته بسیار مهم دیگر این است که اگر بعد از اعمال قاعده هوپیتال، دوباره به حالت‌های مبهم صفر صفرم ( $${ 0 \over 0 }$$ ) یا بینهایت به روی بینهایت ( $${ \infty \over \infty }$$ ) رسیدیم، کافی است که یک بار دیگر قاعده هوپیتال را اعمال و حد را محاسبه کنیم. این عمل را تا محاسبه نهایی حد و رفع ابهام کامل انجام می‌دهیم.

در ادامه به کمک چند مثال، کاربرد قاعده هوپیتال به صورت دقیق مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

مثال 1

حد نشان داده شده در رابطه زیر را در نقطه صفر محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 0 } \frac { { \sin x } } { x } }$$

همانطور که مشاهده می‌شود، با قرار دادن مقدار صفر در صورت و مخرج رابطه فوق، کسر به صورت یک عبارت صفر صفرم در می‌آید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 0 } \frac { { \sin x } } { x } = { 0 \over 0} }$$

بنابراین برای رفع ابهام حد فوق، از قاعده هوپیتال استفاده می‌کنیم و یک بار از صورت و مخرج آن مشتق می‌گیریم و حد را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to 0 } \frac { { \sin x } } { x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to 0 } \frac { { \cos x } } { 1 } = \frac { 1 } { 1 } = 1 }$$

همانطور که مشاهده می‌شود، رفع ابهام به کمک قاعده هوپیتال و به صورت کامل انجام شد و پاسخ حد موجود در صورت سوال به دست آمد.

مثال 2

حد زیر را در نقطه $${ t = 1 }$$ محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { t \to 1 } \frac { { 5 { t ^ 4 } - 4 { t ^ 2 } - 1 } } { { 10 - t - 9 { t ^ 3 } } } }$$

در ابتدا برای محاسبه حد داده شده، مقدار $${ t = 1 }$$ را در صورت و مخرج کسر جایگذاری می‌کنیم. بنابراین داریم:

$${ \large { \displaystyle \mathop { \lim } \limits _ { t \to 1 } \frac { { 5 { t ^ 4 } - 4 { t ^ 2 } - 1 } } { { 10 - t - 9 { t ^ 3 } } } } = { { 5 - 4 - 1 } \over { 10 - 1 - 9 } } = { 0 \over 0 } }$$

همانطور که مشاهده می‌شود، با قرار دادن مقدار $${ t = 1 }$$ در رابطه صورت سوال، حد داده شده به صورت مبهم صفر صفرم در می‌آید. بنابراین برای رفع ابهام کسر فوق از قاعده هوپیتال استفاده می‌شود.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { t \to 1 } \frac { { 5 { t ^ 4 } - 4 { t ^ 2 } - 1 } } { { 10 - t - 9 { t ^ 3 } } } = \mathop { \lim } \limits _ { t \to 1 } \frac { { 20 { t ^ 3 } - 8 t } } { { - 1 - 27 { t ^ 2 } } } = \frac { { 20 - 8 } } { { - 1 - 27 } } = - \frac { 3 } { 7 } }$$

مثال 3

حد در بینهایت زیر را محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } }{ { { x ^ 2 } } } }$$

ابتدا مقدار بینهایت را در صورت و مخرج حد فوق جایگذاری می‌کنیم. بنابراین داریم:

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } }{ { { x ^ 2 } } } = { \infty \over \infty } }$$

حد فوق، یک حد مبهم است و برای رفع ابهام آن از قاعده هوپیتال استفاده می‌کنیم. بر این اساس از صورت و مخرج مشتق می‌گیریم و حد را دوباره به شکل زیر محاسبه می‌کنیم.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { x ^ 2 } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } }{ { 2 x } } = { \infty \over \infty } }$$

همانطور که مشاهده می‌شود، با استفاده از قاعده هوپیتال، همچنان حد فوق به صورت بینهایت به روی بینهایت ($${ \infty \over \infty }$$) است. بنابراین همانطور که در نکات موجود در درسنامه بیان شد، در این حالت یک بار دیگر از قاعده هوپیتال برای رفع ابهام حد داده شده استفاده می‌کنیم. بر این اساس از صورت و مخرج کسر فوق مشتق می‌گیریم و حد را مورد محاسبه قرار می‌دهیم. بنابراین داریم:

$${ \large \mathop {\lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { x ^ 2 } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { 2 x } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { 2 } = \infty }$$

در نهایت همانطور که در رابطه بالا نشان داده شده، پاسخ حد فوق برابر با $${ \infty }$$ می‌شود.

رفع ابهام سایر حدهای مبهم

همانطور که اشاره شد، روش و قاعده هوپیتال برای رفع ابهام حدهای مبهم به شکل صفر صفرم ($${ 0 \over 0 }$$) یا بینهایت به روی بینهایت ($${ \infty \over \infty }$$) به خوبی عمل می‌کند. اما همانطور که در ابتدای مطلب بیان شد، حالات مبهم دیگری نیز در مبحث حد، حضور دارند. در ادامه‌ی این مطلب به بررسی شیوه رفع ابهام سایر حدهای مبهم پرداخته می‌شود.

حالت مبهم $${ ( 0 ) ( \pm \infty ) }$$

ابتدا با شیوه رفع ابهام حد مبهم صفر ضرب در بینهایت ($${ ( 0 ) ( \pm \infty ) }$$) شروع می‌کنیم. بنابراین در این قسمت، ابتدا باید توجه کنیم که اگر دو تابع f و g در یکدیگر ضرب شده باشند، رابطه زیر برقرار است.

$${ \large f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) = \frac { { g \left ( x \right ) } } { { { } ^ { 1 } / { } _ { { f \left ( x \right ) } } } } }$$

$${ \large f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) = \frac { { f \left ( x \right ) } } { { { } ^ { 1 } / { } _ { { g \left ( x \right ) } } } } }$$

در واقع با استفاده از دو رابطه بالا، می‌توان یک حد به شکل $${ ( 0 ) ( \pm \infty ) }$$ را با یک حد به شکل $${ 0 \over 0 }$$ یا $${ \infty \over \infty }$$ جایگزین کرد و در نهایت با استفاده از قاعده هوپیتال، رفع ابهام را انجام داد. این روند در مثال‌های زیر به خوبی نشان داده شده است.

مثال 1

حد زیر را محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } x \ln x }$$

توجه کنید که در این مثال ما مجبور هستیم که تنها حد راست عبارت فوق را در نقطه $${ x = 0 }$$ محاسبه کنیم. دلیل این موضوع این است که دامنه عبارت لگاریتمی، تنها اعداد مثبت را در بر می‌گیرد. دامنه و برد توابع مختلف در مطلب «دامنه و برد تابع — به زبان ساده» از مجموعه مطالب ریاضی وبلاگ فرادرس به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفته است.

بنابراین با قرار دادن مقدار $${ x = 0 }$$ در رابطه صورت سوال، حالت مبهم $${ ( 0 ) ( - \infty ) }$$ به دست می‌آید. توجه کنید که قاعده هوپیتال در حالت ضرب کارایی ندارد و تنها در حالتی که یک کسر گویا داریم می‌توانیم از این قاعده استفاده کنیم.

طبق توضیحات داده شده، می‌توانیم حالت $${ ( 0 ) ( - \infty ) }$$ را به صورت یک کسر $${ - \infty \over { \infty } }$$ نمایش دهیم. این موضوع در رابطه زیر به خوبی بیان شده است.

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } x \ln x = \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } \frac { { \ln x } } { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } }$$

حال این رابطه به یک حد مبهم $${ - \infty \over { \infty } }$$ تبدیل شده است. در این حالت می‌توانیم از قاعده هوپیتال برای رفع ابهام آن استفاده کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } x \ln x = \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } \frac { { \ln x } } { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } } = \mathop {\lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } \frac { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } } { { - { } ^ { 1 } / { } _ { { { x ^ 2 } } } } } }$$

این عبارت را می‌توان به شکل زیر ساده کرد.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } x \ln x = \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } \frac { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } } { { - { } ^ { 1 } / { } _ { { { x ^ 2 } } } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to { 0 ^ + } } \left ( { - x } \right ) = 0 }$$

بنابراین رفع ابهام بیان شده به صورت کامل و با استفاده از روند بالا انجام شد.

مثال 2

حد زیر را محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } x { { \bf { e } } ^ x } }$$

همانطور که مشاهده می‌شود با قرار دادن مقدار بینهایت در این حد، پاسخ آن به صورت یک حالت مبهم $${ \left ( \infty \right ) \left ( 0 \right ) }$$ در می‌آید. بنابراین با استفاده از روشی که در این بخش بیان شد، این عبارت را به صورت یک عبارت $${ 0 \over 0 }$$ بازنویسی می‌کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } x { { \bf { e } } ^ x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { }^ { 1 } / { } _ { x } } } }$$

بنابراین کسر فوق به صورت یک حالت مبهم صفر صفرم $${ 0 \over 0 }$$ بازنویسی شد و برای رفع ابهام آن می‌توانیم از قاعده هوپیتال استفاده کنیم.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } x { { \bf { e } } ^ x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { - { } ^ { 1 } / { } _ { { { x ^ 2 } } } } } = { 0 \over 0 } }$$

حد فوق همچنان به صورت مبهم است. بنابراین یک بار دیگر از قاعده هوپیتال استفاده می‌کنیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

$$\large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { - { } ^ { 1 } / { } _ { { { x ^ 2 } } } } } = { \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { { } ^ { 2 } / { } _ { { { x ^ 3 } } } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { { { { \bf { e } } ^ x } } } { { - { } ^ { 6 } / { } _ { { { x ^ 4 } } } } } = \cdots }$$

همانطور که مشاهده می‌شود، در رابطه بالا، بارها از قاعده هوپیتال استفاده شده است و هر دفعه همچنان حالت مبهم وجود دارد. اما اگر حالت عکس را انجام می‌دادیم یعنی $${ x }$$ را در صورت و معکوس $${ e ^ x }$$ را در مخرج قرار می‌دادیم، حد به یک بینهایت به روی بینهایت به شکل زیر تبدیل می‌شود.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } x { { \bf { e } } ^ x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { x } { { { } ^ { 1 } / { } _ { { { { \bf { e } } ^ x } } } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { x } { { { { \bf { e } } ^ { - x } } } } }$$

توجه کنید که برای نوشتن رابطه بالا از این نکته استفاده کردیم که معکوس یک عبارت نمایی برابر با توان منفی آن عبارت نمایی است. رابطه زیر به خوبی به بیان این موضوع می‌پردازد.

$${ \large \frac { 1 } { { { { \bf { e } } ^ x } } } = { { \bf { e } } ^ { - x } } }$$

حال این عبارت بینهایت به روی بینهایت را با استفاده از قاعده هوپیتال رفع ابهام می‌کنیم.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } x { { \bf { e } } ^ x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { x } { { { { \bf { e } } ^ { - x } } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to - \infty } \frac { 1 } { { - { { \bf { e } } ^ { - x } } } } = 0 }$$

در واقع همانطور که مشاهده شد، زمانی که ما حاصل ضرب $${ ( 0 ) ( \pm \infty ) }$$ داشته باشیم، می‌توانیم با کمی خلاقیت، حد را به حالت مبهمی مانند صفر صفرم یا بینهایت به روی بینهایت تبدیل کنیم که قاعده هوپیتال در آن کاربرد داشته باشد. در واقع همانطور که در مثال بالا مشاهده کردیم، در برخی از حدها باید چند حالت مختلف را برای رسیدن به پاسخ صحیح در نظر بگیریم.

حالت مبهم $${ {1 ^ \infty } \hspace { 0.25 in } { 0 ^ 0 } \hspace { 0.25 in } { \infty ^ 0 } }$$

در ادامه به بررسی سه نوع از حالات مبهم دیگر پرداخته می‌شود. روند کلی این حد را می‌توان با استفاده از مثال زیر به خوبی مورد بررسی قرار داد.

مثال

حد زیر را محاسبه کنید.

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } { x ^ { \frac { 1 } { x } } } }$$

در ابتدا مقدار بینهایت را در متغیر این عبارت قرار می‌دهیم. بنابراین عبارت بالا به صورت یک حالت مبهم به شکل زیر در می‌آید.

$${ \large { \infty ^ 0 } }$$

برای رفع ابهام این گونه از حالات مبهم عبارت حد صورت سوال را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم.

$${ \large y = { x ^ { \frac { 1 } { x } } } }$$

در ادامه از طرفین رابطه فوق، لگاریتم طبیعی ($${ \ln }$$) می‌گیریم. بنابراین رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.

$${ \large \ln \left ( y \right ) = \ln \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { x } } } } \right ) = \frac { 1 } { x } \ln x = \frac { { \ln x } } { x } }$$

حال برای محاسبه حد صورت سوال، از طرفین رابطه فوق، حد در بینهایت می‌گیریم. بنابراین داریم:

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \ln \left ( y \right ) = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { \ln x } } { x } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \frac { { { } ^ { 1 } / { } _ { x } } } { 1 } = 0 }$$

توجه کنید که برای محاسبه حد بالا از قاعده هوپیتال استفاده شده است. در ادامه به رابطه زیر توجه کنید. این رابطه یک رابطه رایج در ریاضیات است.

$${ \large { { \bf { e } } ^ { \ln \left ( y \right ) } } = y }$$

در ادامه، برای محاسبه حد صورت سوال باید توجه کنید که $${ x ^ { \frac { 1 } { x } } }$$ برابر با y و عبارت y برابر با $${ { \bf { e } } ^ { \ln \left ( y \right ) } }$$ است. بنابراین رابطه زیر را داریم:

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } { x ^ { \frac { 1 } { x } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } y = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } { { \bf { e } } ^ { \ln \left ( y \right ) } } }$$

همچنین حد تابع $${ \ln \left ( y \right ) }$$ را در قسمت قبل محاسبه کردیم. بنابراین داریم:

$${ \large \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } { x ^ { \frac { 1 } { x } } } = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } y = \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } { { \bf { e } } ^ { \ln \left ( y \right ) } } = { { \bf { e } } ^ { \mathop { \lim } \limits _ { x \to \infty } \ln \left ( y \right ) } } = { { \bf { e } } ^ 0 } = 1 }$$

بنابراین همانطور که در مثال‌های مختلف این مطلب مشاهده می‌شود، با استفاده از قاعده هوپیتال می‌توان بسیاری از حدهای مبهم را مورد محاسبه قرار داد.