برهان خلف – به زبان ساده

روش‌های مختلفی برای اثبات قضایا و حکم‌ها در ریاضیات و هندسه وجود دارد. در یکی آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره اثبات با استفاده از استقرای ریاضی بحث کردیم. در این آموزش، برهان خلف را معرفی می‌کنیم. گادفری هارولد هاردی در کتاب «دفاعیه یک ریاضی‌دان» برهان خلف را یکی از بهترین سلاح‌های ریاضی‌دانان معرفی می‌کند. برهان در لغت به معنی اثبات و استدلال است. برای واژه خُلف نیز معانی «دروغ گفتن» و «نادرست» بیان شده است. همچنین عبارت انگلیسی معادل برای برهان خلف، «Proof by Contradiction» به معنی «اثبات با رسیدن به تناقض» است. معنی این عبارت، به‌نوعی تعریف آن نیز هست.

برهان خلف، نوعی استدلال است که در آن، به‌جای آنکه مستقیماً از فرض شروع کنیم و به حکم برسیم، فرض می‌کنیم حکم درست نباشد و با استفاده از این فرضِ خلف (نادرست بودن حکم)، به یک تناقض یا نتیجه غیرممکن می‌رسیم. در این صورت، نتیجه می‌گیریم که فرض خلف اشتباه بوده و حکم نمی‌تواند نادرست باشد (چون با فرض نادرست بودن حکم، به تناقض رسیده‌ایم)، در نتیجه درستی حکم اثبات می‌شود. به بیان ساده، اگر بخواهیم قضیه یا گزاره‌ای را با استفاده از برهان خلف اثبات کنیم، سه گام اصلی زیر را انجام می‌دهیم:

1. فرض می‌کنیم آن قضیه یا گزاره نادرست باشد.
2. با فرض نادرست بودن قضیه یا گزاره، به یک تناقض یا نتیجه غیرممکن می‌رسیم.
3. از تناقض نتیجه می‌گیریم که فرض نادرست بودن حکم، اشتباه بوده و حکم اثبات می‌شود.

برهان خلف، یک تکنیک ریاضی قوی است که می‌گوید اگر می‌خواهید X را اثبات کنید، فرض کنید X نادرست است و از آن نتایجی به‌دست آورید. اگر نتایجی که به دست آمد، با دانسته‌‌های شما متناقض بود، فرضتان اشتباه بوده و در نتیجه X باید درست باشد. گاهی استفاده از روش اثبات برهان خلف مشکلاتی را ایجاد می‌کند. چیزی که اتفاق می‌افتد، این است که اثبات با منطق شروع می‌شود، ولی در ادامه در پیچ‌وخم قرار می‌گیرد. طی ارائه برهان خلف، ممکن است به تناقض‌هایی برسیم، اما این تناقض‌ها ربطی به فرض اولیه نداشته باشد و از اشتباه ما ناشی شود. بنابراین، باید هنگام استفاده از برهان خلف، دقت لازم را داشته باشیم.

در ادامه، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

نشان دهید $$\sqrt{2}$$ عددی گنگ است.

فیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم در فرادرس

کلیک کنید

حل: اثبات مستقیم این مسئله کار آسانی نیست. به همین دلیل، از روش اثبات غیرمستقیم یا برهان خلف استفاده می‌کنیم. گفتیم که برای اثبات با استفاده از برهان خلف، باید سه مرحله را طی کنیم: رد حکم، رسیدن به تناقض با رد حکم و نتیجه‌گیری برقراری حکم به دلیل رسیدن به تناقض.

برای اثبات حکم این مثال، ابتد فرض می‌کنیم، حکم درست نباشد، بنابراین فرض می‌کنیم $$\sqrt{2}$$ گنگ نباشد و عددی گویا باشد. در نتیجه می‌توان آن را به‌صورت $$p/q$$ نوشت که در آن، $$p$$ و $$q$$ اعداد صحیحی هستند که نسبت به هم اول‌اند. حال دو طرف تساوی اخیر را به توان ۲ می‌رسانیم: $$2 = p^{2}/q^{2}$$.

بنابراین، $$2q^2 = p^2$$ و می‌توان گفت $$p^2$$ عددی زوج است (چون، ضریبی از عدد ۲ است). از زوج بودن $$p^2$$ نتیجه می‌گیریم $$p$$ نیز زوج است و می‌توان آن را به‌صورت $$p=2m$$ نوشت که در آن، $$m$$ یک عدد صحیح است. بنابراین، $$p^2 =4m^2$$ و در نتیجه $$2q^2 = 4m^2$$. اگر دو طرف تساوی اخیر را بر ۲ تقسیم کنیم، داریم: $$q^2=2m^2$$. بنابراین $$q^2$$ و در نتیجه $$q$$ باید زوج باشند.

اگر $$p$$ و $$q$$ هر دو زوج باشند، عامل مشترک آن‌ها ۲ است و این موضوع، با فرض اول بودن آن‌ها نسبت به هم که بیان کردیم، تناقض دارد. از این تناقض نتیجه می‌گیریم که رد حکم، اشتباه بوده و $$\sqrt{2}$$ عددی گنگ است.

مثال ۲

ثابت کنید اگر $$a$$ و $$b$$ اعداد صحیحی باشند، آن‌گاه $$a^2-4b \neq2$$.

حل: در گام اول فرض می‌کنیم قضیه فوق نادرست است. از اینجا به بعد، با این فرض نادرست بودن پیش می‌رویم. نادرست بودن عبارت بالا، به این معنی است که اگر $$a$$ و $$b$$ اعداد صحیحی باشند، تساوی $$a^2-4b=۲$$ برقرار است. تساوی اخیر را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$a^2=4b+2=2(2b+1)$$

اگر کمی به عبارت بالا دقت کنیم، می‌بینیم که $$a^2$$ ضریبی از عدد ۲ است و این یعنی $$a^2$$ عددی زوج است.

می‌دانیم اگر مجذور عددی زوج باشد، خود آن عدد نیز زوج است. بنابراین عدد صحیح $$a$$ نیز زوج است. به تعبیر ریاضی $$a=2c$$ که در آن، $$c$$ عددی صحیح است. اکنون که مقدار $$a$$ را در اختیار داریم، آن را در عبارت $$a^2-4b=2$$ جایگذاری می‌کنیم. بنابراین داریم:

$$(2c)^2-4b=2$$

و در نتیجه:

$$4c^2-4b=2$$

اگر عبارت بالا را بر ۲ تقسیم کنیم، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$۲c^2-۲b=۱$$

حال از ۲ فاکتور می‌گیریم، در نتیجه داریم:

$$1=2(c^2-b)$$

از قبل می‌دانیم که اعداد $$b$$ و $$c$$ اعدادی صحیح هستند. پس حاصل عبارت $$(c^2-b)$$ نیز عددی صحیح است. حال، نگاهی به عبارت بالا بیندازید. این تساوی می‌گوید حاصل‌ضرب عدد ۲ در یک عدد صحیح برابر با ۱ است. واضح است که هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که تساوی فوق را برآورده کند. بنابراین، رابطه اخیر اشتباه است. اما مشکل کجاست؟ بعد از فرضی که بیان کردیم، همه عملیات ریاضی و گفته‌های ما درست بود. این‌جا فقط یک جمله می‌توانیم بگوییم و آن این است که به اشتباه فرض کردیم قضیه نادرست است. بنابراین، قضیه این مثال کاملاً صحیح است و اثبات آن کامل می‌شود.

مثال ۳

ثابت کنید بزرگ‌ترین عدد صحیح زوج وجود ندارد.

حل: فرض کنید جمله بالا صحیح نباشد و عکس آن درست باشد. بنابراین، فرض می‌کنیم N بزرگ‌ترین عدد صحیح زوج باشد. در نتیجه، برای هر عدد صحیح n داریم:

$$N \ge n$$

اکنون، فرض کنید $$M=N+2$$. واضح است که $$M$$ نیز یک عدد صحیح زوج است (زیرا حاصل مجموع دو عدد صحیح زوج است). همچنین می‌دانیم $$M>N$$ (زیرا $$M=N+2$$). بنابراین، $$M$$ یک عدد صحیح بزرگ‌تر از بزرگ‌ترین عدد صحیح $$N$$ است. این جمله با عبارت $$N \ge n$$ که برای هر عدد صحیح بیان کردیم تناقض دارد. بنابراین فرض ما اشتباه بوده و صحت قضیه اثبات می‌شود.

در صورتی که مباحث بیان شده برای شما مفید بوده و می‌خواهید درباره موضوعات مرتبط، مطالب بیشتری یاد بگیرید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

• گزاره ها و سورهای منطقی — به زبان ساده
• ترکیب گزاره های منطقی — به زبان ساده
• اصل لانه کبوتر — به زبان ساده

^^