ارتعاشات مکانیکی — بخش دوم: ارتعاشات اجباری

همان‌طور که در بخش اول مبحث «ارتعاشات مکانیکی» بیان کردیم، در حالت کلی ارتعاشات به دو دسته آزاد و اجباری تقسیم‌بندی می‌شوند. اکنون و در ادامه در مورد نوع دیگری از ارتعاشات صحبت خواهد شد که در واقعیت بیشتر با آن مواجه هستیم.

منبع ارتعاشات می‌تواند یک نیروی ثابت و یا نیرویی باشد که به صورت متغیر به سیستم وارد می‌شود. در این حالت ارتعاشات از نوع اجباری است. در بخش اول، معادله دیفرانسیل مربوط به یک سیستم جرم و فنر را حل کردیم. این معادله در پایین ذکر شده است. در آن حالت، عبارت سمت راست معادله ((F(t) برابر با صفر در نظر گرفته شد. در این بخش قصد داریم تا در مورد حالتی صحبت کنیم که عبارت مذکور غیرصفر باشد. از نظر فیزیکی یعنی اینکه نیرویی هارمونیک، به سیستم در حال ارتعاش وارد می‌شود. معادله مرتبط با چنین سیستمی به‌صورت زیر است.

در عمل این حالت معمولاً در شرایط زیر اتفاق خواهد افتاد.

1. اعمال نیروی خارجی متغیر
2. جابجایی نوسانی پایه سیستم
3. نیروی ناشی از دوران جرمی که روی سیستم قرار گرفته

این حالات در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند.

توجه داشته باشید در فرضیاتی که در این بخش انجام خواهیم داد، تحریکات صورت گرفته به‌شکل هارمونیک در نظر گرفته خواهند شد. به عنوان نمونه در حالتی که نیروی خارجی متغیر به سیستم وارد می‌شود، آن را به‌صورت در نظر می‌گیریم.

یا در حالتی که بستر سیستم در حال نوسان باشد، تغییرات آن، در قالب فرمول زیر بیان می‌شود.

هم‌چنین در تمامی این مدل‌سازی‌ها جابجایی و سرعت اولیه، به عنوان شرایط اولیه و به شکل زیر در نظر گرفته می‌شوند.

معادلات حرکت برای ارتعاش اجباری سیستم جرم و فنر

در این قسمت معادلات مربوط به ارتعاش اجباری را در سه حالت مختلف مورد بررسی قرار می‌دهیم.

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

1- اعمال نیروی خارجی متغیر

در بخش اول، معادلاتی را تحلیل می‌کنیم که در آن، سیستم جرم و فنر تحت تاثیر یک نیروی متغیر خارجی قرار گرفته است. شکل زیر نیروهای وارد شده به چنین سیستمی را نشان می‌دهد. با توجه به این نیروها قانون دوم نیوتن برای جرم m به‌صورت زیر بیان می‌شود.

به منظور ساده‌سازی، این معادله را به شکل زیر مرتب می‌کنیم.

این رابطه یک معادله دیفرانسیل ODE از مرتبه دوم است. ابتدا به ساکن به منظور حل این معادله، متغیرهای زیر را تعریف می‌کنیم.

با توجه به مقادیر تعریف شده، معادله مفروض را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

معادله بالا شکل نهایی رابطه سیستم جرم و فنری است که نیروی متغیر (F(t به آن وارد می‌شود. در ادامه در مورد نحوه حل این معادله بحث خواهیم کرد.

2- پایه متحرک

مطابق شکل زیر سیستمی را در نظر بگیرید که پایه آن با الگوی مشخصی نوسان می‌کند. این نوسان، منجر به ایجاد نیرویی دوره‌ای خواهد شد که به سیستم وارد می‌شود. توجه داشته باشید که در این حالت، مقدار تغییر طول خالص فنر، برابر با (x-y) و نیروی ایجاد شده در فنر برابر با k$$\dot x-\dot y$$ است. با مشتق گیری از این تغییر طول نسبت به زمان، سرعت تغییر برابر با $$\dot x-\dot y$$ به‌دست می‌آید. بنابراین قانون دوم نیوتن را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

در ادامه به‌منظور آسان کردن حل مسئله، ثابت‌های زیر تعریف می‌شوند.

با توجه به این مقادیر، معادله در قالب رابطه زیر قابل بازنویسی است.

توجه داشته باشید که در این مسئله، معادله نوسان به صورت زیر در نظر گرفته شده است، اما ارتعاش پایه سیستم را می‌توان به هر شکلی بیان کرد.

3- معادله حرکت سیستم در حالت نوسان جرم متصل به آن

مطابق شکل زیر سیستمی را در نظر بگیرید که جرمی به آن متصل شده و با یک سرعت زاویه‌ای ثابت دوران می‌کند. دوران این جرم، منجر به وارد شدن نیرویی نوسانی به آن خواهد شد.

با اعمال قانون دوم نیوتن در جهت افقی، برای هر دو جرم، می‌توان نوشت.

با ترکیب این دو معادله و حذف عبارت H داریم:

برای استانداردسازی نیز ضرایب سختی، فرکانس طبیعی و میرایی به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند.

با جایگذاری این ثابت‌ها، معادله نهایی به صورت زیر خواهد بود.

هم‌چنین با توجه به شکل زیر، نوسان جرم قرار گرفته روی سیستم، مطابق با رابطه زیر در نظر گرفته می‌شود.

در این معادله، Y₀ برابر با طول شفت است. بنابراین همانند دو حالت قبل، این معادله نیز یک ODE مرتبه دوم محسوب می‌شود.

پاسخ گذرا و پایا

همان‌طور که بارها بیان شد، معادلات مربوط به این سه حالت، همگی از نوع مرتبه دوم و با ضرایب ثابت هستند. از آنجایی که در آن‌ها، نیروی (F(t مخالف صفر در نظر گرفته می‌شود، بنابراین تمامی این معادلات از نوع غیرهمگن نیز محسوب می‌شوند. بنابراین با توجه به مطالب بیان شده در بخش معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، پاسخ ارتعاشی یک سیستم، شامل دو بخش خصوصی و عمومی خواهد بود.

پاسخ سیستم در حالتی که زمان به بینهایت میل کند، «پاسخ پایا» (ُSteady State Response) نامیده می‌شود. از طرفی، زمان شروع تا هنگامی که سیستم به حالت پایا برسد را «پاسخ گذرا» (Transient Response) می‌نامند. در اکثر مسائل کاربردی و مهندسی پاسخ پایا از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.

در ادامه و در قالب ریاضیات در مورد این پاسخ‌ها بحث خواهیم کرد. در حالت کلی جواب این معادلات به صورت (x(t)=x_h(t)+x_p(t در نظر گرفته می‌شوند. (x_h(t همان پاسخ خصوصی معادله است که با گذشت زمان به صفر میل می‌کند؛ هم‌چنین (x_p(t به عنوان پاسخ خصوصی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین در مسائل ارتعاشات اجباری این (x_p(t است که به دنبال یافتنش هستیم.

پاسخ پایای معادلات مربوط به ارتعاش اجباری

حال وقت آن رسیده که پاسخ معادلات ارائه شده در سه حالت ارتعاش اجباری (که در بالا به آن اشاره شده) را مورد بررسی قرار دهیم.

فیلم آموزش مکانیک تحلیلی ۲ (حل تست کنکور کارشناسی ارشد) (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

1- اعمال نیروی خارجی متغیر

همان‌طور که در بالا نیز ذکر شد، معادله سیستم جرم و فنر در حالتی که نیروی هارمونیک (F(t به آن وارد شود، به صورت زیر است.

پاسخ عمومی این معادله به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود. با جایگذاری این قالب کلی در معادله اصلی، می‌توان ثوابت Φ و X₀ را به شکل زیر بدست آورد.

در این معادله مقدار دامنه (X₀) بسیار مهم است. در واقع می‌توان با انتخاب ترکیب‌های مختلف از ξ ،ω_n و k، سیستم را به نحوی طراحی کرد که در هنگام ارتعاش اجباری کم‌ترین جابجایی ممکن ایجاد شود. معمولاً تحلیل‌های صورت گرفته برای دامنه ارتعاش اجباری، بر اساس دو مقدار ξ و r=ω/ω_n انجام می‌شوند. دو نمودار زیر دامنه و اختلاف فاز را بر حسب این مقادیر نشان می‌دهند.

همان‌طور که در نمودار مربوط به دامنه مشاهده می‌کنید، در حالتی که فرکانس نوسان و فرکانس طبیعی برابر باشند (r=1)، دامنه نوسان بسیار زیاد خواهد شد. به این حالت «تشدید» (Resonance) گفته می‌شود. از نظر مهندسی این پدیده بسیار مهم است به نحوی که بایستی اثر آن را در طراحی سیستم‌هایی لحاظ کرد که با ارتعاش در ارتباط هستند.

پل «تاکوما ناروز» در سال 1940 توسط بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت به ارتعاش درآمد. در واقع یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل، پدیده تشدید، افزایش دامنه نوسان پل و نهایتاً تخریب آن را در پی داشت.

2- پایه متحرک

معادله نوسان اجباری سیستمی با پایه متحرک به صورت زیر بدست آمد.

ثابت‌های در نظر گرفته شده نیز به شکل زیر تعریف شدند.

اگر پاسخ پایا برای این معادله را به صورت زیر در نظر بگیریم. Y₀ و X₀ برابر با مقادیر زیر خواهند بود.

احتمالاً متوجه شده‌اید که تغییرات، مشابه با حالتی است که نیروی هارمونیک به سیستم وارد می‌شود. بنابراین تشدید در این حالت هم در r=1 اتفاق می‌افتد.

3- نوسان جرم متصل به سیستم

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، معادله سیستمی که جرم m متصل به آن، در حال دوران باشد، به صورت زیر است.

ثوابت استاندارد نیز برای این معادله به‌شکل زیر تعریف شدند.

همانند دو مسئله قبل با در نظر گرفتن پاسخی هارمونیک برای این معادله، ثوابت به صورت زیر بدست خواهند آمد.

همانند دو حالت قبل، تشدید در این شکل از ارتعاش نیز در حالتی اتفاق خواهد افتاد که فرکانس طبیعی و تحریک با یکدیگر برابر باشند. در بخش آینده در مورد کاربرد عملی این نوع از ارتعاشات بحث خواهیم کرد.

^^