روش مقطع معادل برای تحلیل تیرهای کامپوزیتی — از صفر تا صد

«روش مقطع معادل» (Transformed-Section Method)، یکی از روش‌های تحلیل تنش‌های خمشی موجود در تیرهای کامپوزیتی است. این روش بر اساس تئوری‌ها و روابط کلی توسعه یافته و تنها برای مواد الاستیک خطی مورد استفاده قرار می‌گیرد. به دلیل یکسان بودن محدودیت‌های روش مقطع معادل با روابط کلی، نتایج حاصل از این دو تفاوتی با یکدیگر ندارند. با این وجود از نظر بسیاری از طراحان، امکان تصور راحت‌تر مسئله و کنترل بهتر محاسبات را می‌توان به عنوان مزیت روش مقطع معادل در نظر گرفت. در این روش، سطح مقطع تیر کامپوزیتی به سطح مقطع تیر متشکل از یک ماده تبدیل می‌شود. به این سطح مقطع جدید، «مقطع تبدیل یافته» (Transformed Section) یا اصطلاحاً «مقطع معادل» (Equivalent Section) می‌گویند. در مرحله بعد، رفتار تیر با سطح مقطع تبدیل یافته مورد تحلیل قرار می‌گیرد. در نهایت، تنش‌های موجود در تیرِ معادل به تنش‌های اعمال شده بر تیر اصلی تبدیل می‌شوند.

محور خنثی و مقطع معادل

اگر تیر جدید معادل تیر اصلی باشد، موقعیت قرارگیری محور خنثی و ظرفیت تحمل گشتاور خمشی دو تیر با یکدیگر تفاوتی نخواهد داشت. برای درک این مسئله، تیر کامپوزیتی زیر را در نظر بگیرید.

موقعیت قرارگیری محور خنثی سطح مقطع واقعیِ این تیر از رابطه زیر به دست می‌آید:

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

انتگرال‌های موجود در معادله بالا، به ترتیب گشتاورهای اول ماده 1 و 2 را نمایش می‌دهند. در رابطه زیر، «نسبت مدولی» (Modular Ratio) ماده 2 به ماده 1 را مشاهده می‌کنید:

با جایگذاری نسبت مدولی در معادله اول، خواهیم داشت:

معادله بالا هم‌ارز با معادله اول است؛ به همین دلیل می‌توان نتیجه گرفت که در صورت ضرب پارامتر n در هر یک از المان‌های سطح dA ماده 2، مختصات y برای المان مورد نظر تغییر نخواهد کرد. به این ترتیب، سطح مقطع جدید از دو بخش تشکیل می‌شود:

• بخش اول: مقطعی که مساحت و ابعاد آن با مساحت و ابعاد سطح 1 در سطح مقطع تیر اصلی برابر است.
• بخش دوم: مقطعی که ارتفاع آن با ارتفاع سطح 2 برابر است اما عرض آن از ضرب عرض سطح 2 در n به دست می‌آید.

سطح مقطع جدید (مقطع معادل) نمایش داده شده در شکل بالا، با فرض E₂>E₁ (در نتیجه n<1) رسم شده است. محور خنثی این سطح مقطع در محل محور خنثی سطح مقطع تیر اصلی قرار دارد. توجه داشته باشید که در حین تبدیل سطح مقطع اولیه به مقطع معادل، ابعاد در راستای عمود بر محور خنثی تغییر نمی‌کنند. در سطوح کرنش مشخص، تنش‌های اعمال شده بر یک ماده با مدول الاستیسیته آن دارای رابطه مستقیم است (σ=Eε). از این‌‌رو، با ضرب عرض ماده 2 در نسبت مدولی n=E₂/E₁، این ماده به ماده 1 تبدیل خواهد شد.

به عنوان مثال با فرض n=10، مساحت و عرض بخش دوم 10 برابر بزرگ‌تر از حالت اول می‌شود. اگر فرض کنیم که این بخش از ماده 1 تشکیل شده باشد، ظرفیت باربری آن نسبت به قبل هیچ تغییری نخواهد کرد؛ چراکه مدول الاستیسیته بخش دوم به اندازه 10 برابر کوچک‌تر و در عین حال، مساحت آن 10 برابر بزرگ‌تر شده است. بنابراین، سطح مقطع جدید تنها از ماده 1 تشکیل شده است.

رابطه گشتاور-انحنا

رابطه گشتاور-انحنا برای تیر معادل باید با رابطه مربوط به تیر اصلی برابر باشد. به منظور تأیید صحت این مسئله، به خاطر داشته باشید که تنش‌های موجود در تیر معادل (متشکل از ماده 1) از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شود:

فیلم آموزش مقاومت مصالح 1 و 2 – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از رابطه بالا و همچنین روند تشریح شده در مبحث «تنش‌های نرمال موجود در تیرها»، رابطه گشتاور-انحنا برای تیر معادل به دست می‌آید:

یا

معادله بالا مشابه با معادله معرفی شده در مبحث «مبانی تحلیل تیرهای کامپوزیتی» است. به این ترتیب، صحت فرض برابر بودن رابطه گشتاور-انحنا تیر معادل با تیر اصلی تأیید می‌شود.

تنش‌های نرمال

به دلیل واحد بودن ماده تشکیل‌دهنده تیر معادل، می‌توان مقدار تنش‌های نرمال و همچنین تنش‌های خمشی موجود در آن را با استفاده از رابطه پیچش محاسبه کرد. بنابراین، تنش‌های اعمال شده به این تیر از رابطه زیر به دست می‌آید:

I_T: ممان اینرسی مقطع معادل نسبت به محور خنثی

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

با جایگذاری مختصات محور خنثی، مقدار گشتاور خمشی و ممان اینرسی در رابطه بالا می‌توانید میزان تنش‌های اعمال شده بر هر نقطه دلخواه در تیر معادل را محاسبه کنید. اگر رابطه بین ممان اینرسی مقطع معادل و ممان اینرسی مقطع اولیه را به صورت زیر در نظر بگیریم:

سپس، عبارت‌های رابطه I_T را درون رابطه بالا قرار دهیم، خواهیم داشت:

این رابطه با رابطه اول پیچش برای تیرهای کامپوزیتی برابر است. در نتیجه، مقدار تنش‌های موجود در ماده 1 (تیر اصلی) با تنش‌های موجود در بخش متناظر آن در تیر معادل تفاوتی نخواهد داشت. این نکته، صحت رابطه تنش‌های نرمال موجود در تیر معادل را تأیید می‌کند. توجه داشته باشید که تنش‌های موجود در ماده 2 (تیر اصلی) با تنش‌های موجود در بخش متناظر آن در تیر معادل برابر نیستند. برای انجام محاسبات در این بخش باید تنش‌های تیر معادل را در نسبت مدولی n ضرب کنیم تا تنش‌های تیر اصلی به دست آید:

به منظور تأیید صحت رابطه بالا، عبارت‌های موجود در رابطه I_T را درون آن قرار می‌دهیم:

این رابطه با رابطه دوم پیچش برای تیرهای کامپوزیتی برابر است.

نکات تکمیلی

در مطالب ارائه شده راجع به نحوه به کارگیری روش مقطع معادل، تیر اصلی را به یک تیر متشکل از ماده 1 تبدیل کردیم. توجه داشته باشید که امکان تبدیل تیر اصلی به یک تیر متشکل از ماده 2 نیز وجود دارد. در این حالت، تنش‌های موجود در ماده 2 تیر اصلی با تنش‌های موجود در بخش متناظر آن در تیر معادل برابر خواهد بود. اگرچه، برای تعیین تنش‌های موجود در ماده 1 تیر اصلی باید تنش‌های بخش متناظر را در نسبت مدولی n ضرب کنیم. رابطه نسبت مدولی در این حالت برابر n=E₁/E₂ است.

علاوه بر نکته بالا، امکان تبدیل تیر اصلی به یک تیر متشکل از ماده‌ای با هر مدول الاستیسیته دلخواه نیز وجود دارد. در این حالت، ابعاد تمام بخش‌های تیر به ابعاد تیر جدید تبدیل می‌شوند. اگرچه، با تبدیل مواد به یکی از مواد موجود در تیر، محاسبات مورد نیاز ساده‌تر خواهند بود. با کمی خلاقیت و ابتکار می‌توان از روش مقطع معادل برای تحلیل تیرهای کامپوزیتی متشکل مواد بیشتر نیز استفاده کرد.

مثال‌های کاربردی

در این بخش به منظور آشنایی با نحوه به کارگیری روش مقطع معادل برای تحلیل تیرهای کامپوزیتی، دو مثال کاربردی را به طور کامل تشریح می‌کنیم.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

مثال 1

شکل زیر، سطح مقطع یک تیر کامپوزیتی متشکل از یک بخش چوبی با ابعاد 4.0in*6.0in و یک صفحه فولادی با ابعاد 4.0in*0.5in را نمایش می‌دهد. با فرض اعمال گشتاور خمشی مثبت M=60kip-in، حداکثر تنش فشاری و کششی موجود در بخش چوبی (ماده 1) و تنش‌های کششی ماکسیمم و مینیمم موجود در بخش فولادی (ماده 2) را محاسبه کنید (مدول الاستیسیته چوب و فولاد را به ترتیب برابر با E₁=1500ksi و E₂=30000ksi در نظر بگیرید).

مقطع معادل

برای تحلیل تیر بالا توسط روش مقطع معادل باید تیر اصلی را به تیر معادل تبدیل کنیم. به این منظور، ابتدا نسبت مدولی دو ماده تشکیل‌دهنده تیر را به دست می‌آوریم:

با تبدیل تیر اصلی به تیر معادل، بخش متشکل از چوب تغییری نخواهد کرد اما عرض بخش متشکل از فولاد در نسبت مدولی ضرب خواهد شد. بنابراین، عرض مقطع تیر در بخش فولادی برابر است با:

محور خنثی

از آنجایی که تیر معادل فقط از یک ماده تشکیل شده است، محور خنثی آن از مرکز هندسی سطح مقطع می‌گذرد. اگر سطح بالایی مقطع عرضی را به عنوان خط مرجع و مقادیر مثبت پارامتر y_i را رو به پایین در نظر بگیریم، فاصله h₁ تا مرکز هندسی مقطع معادل به صورت زیر به دست خواهد آمد:

علاوه بر این، فاصله سطح پایینی تا مرکز هندسی نیز برابر است با:

به این صورت، محل قرارگیری محور خنثی (محور z در شکل زیر) تعیین می‌شود.

ممان اینرسی مقطع معادل

با استفاده از «قضیه محورهای موازی» (Parallel Axis Theorem) می‌توانیم ممان اینرسی I_T برای کل مقطع معادل نسبت به محور خنثی را محاسبه کنیم:

تنش‌های موجود در بخش چوبی (ماده 1)

تنش‌های اعمال شده بر تیر معادل در بخش بالایی سطح مقطع (A) و سطح اتصال بین دو بخش (C) با تنش‌های تیر اصلی یکسان هستند. مقادیر این تنش‌ها را می‌توان با استفاده از رابطه پیچش به دست آورد:

مقادیر بالا، بیشترین تنش‌های فشاری و کششی اعمال شده بر بخش چوبی را نمایش می‌دهند. تنش σ1A از نوع فشاری و σ1C از نوع کششی است.

تنش‌های موجود در بخش فولادی (ماده 2)

تنش‌های ماکسیمم و مینیمم اعمال شده بر صفحه فلزی با ضرب نسبت مدولی n در تنش‌های متناظر تیر معادل تعیین می‌شوند. تنش ماکسیمم در لبه پایینی سطح مقطع (B) و تنش مینیمم در سطح اتصال (C) رخ می‌دهد:

هر دو تنش به دست آمده از نوع کششی هستند (به دلیل قرارگیری صفحه فلزی در زیر محور خنثی).

توجه: تیر مورد تحلیل در این مثال با تیر نمایش داده شده در مثال 1 مبحث «مبانی تحلیل تیرهای کامپوزیتی» یکسان است. با مقایسه نتایج این دو مثال می‌توان مشاهده کرد که تنش‌های به دست آمده از روش مقطع معادل با تنش‌های حاصل از روش کلی تفاوتی ندارند.

مثال 2

شکل زیر، سطح مقطع یک تیر پیش‌ساخته بتنی را نمایش می‌دهد که به منظور نگهداری تیرهای کفی مورد استفاده قرار می‌گیرد. ابعاد تیر برابر b_w=200mm ،b=500mm ،d=600mm و t_f=100mm است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

تقویت‌کننده فولادی موجود در این تیر از چهار میله با قطر 25 میلی‌متر تشکیل می‌شود. مدول الاستیسیته بتن Ec=25GPa، مدول الاستیسیته فولاد E_S=200GPa، تنش مجاز در بتن σ_ac=9.3MPa و تنش مجاز در فولاد σ_as=137MPa است. با توجه به اطلاعات مسئله،

• الف) از روش مقطع معادل برای تعین حداکثر گشتاور مجاز استفاده کنید (از اعمال کشش بر روی بتن صرف‌نظر شده و میله‌های تقویت‌کننده به بتن تبدیل شوند).
• ب) بخش الف سؤال را با چرخش 180 درجه‌ای تیر در نظر گرفته و محاسبه کنید.

الف) تیر پیش‌ساخته بتنی

تحلیل تیر مورد نظر را با تعیین محل قرارگیری محور خنثی آن در مقطع معادل شروع می‌کنیم. این محور در فاصله y نسبت به سطح بالایی تیر قرار دارد. اگر گشتاور اول سطح بتنی تحت فشار (b_w*y) را برابر با گشتاور اول سطح فولاد تحت کشش (n*A_s) در نظر بگیریم، یک معادله درجه دوم به دست می‌آید. با حل این معادله برحسب y می‌توانیم موقعیت محور خنثی را محاسبه کنیم:

که در آن:

در نتیجه:

اکنون با استفاده از رابطه I_T، ممان اینرسی مقطع معادل را به دست می‌آوریم:

در نهایت، با حل روابط σ_x1 (جایگذاری حداکثر تنش مجاز در بتن) و σ_x2 (جایگذاری حداکثر تنش مجاز در فولاد) نسبت به پارامتر M، ظرفیت باربری تیر در مقابل اعمال گشتاور را تعیین می‌کنیم:

بر اساس نتایج بالا، حداکثر تنش مجاز در فولاد به عنوان پارامتر کنترل‌کننده طراحی انتخاب می‌شود.

ب) تیر دوران یافته

اگر یک چرخش 180 درجه‌ای را به تیر اعمال کنیم، بال آن (با ضخامت t_f) در بخش بالایی قرار خواهد گرفت (شکل زیر). اکنون فرض می‌کنیم که فاصله محور خنثی (y) از ضخامت t_f بیشتر است.

با تقسیم ناحیه تحت فشار بتن به سه مستطیل و برابر قرار دادن گشتاور اول سطح بتن تحت فشار با سطح معادل فولاد (n*A_s)، معادله تعیین پارامتر y به دست می‌آید. این پارامتر، محل قرارگیری محور خنثی را نمایش می‌دهد:

با حل معادله بالا داریم:

همان طور که در ابتدای حل مسئله فرض کردیم؛ مقدار y از t_f بیشتر است. به این ترتیب، ممان اینرسی سطح معادل به صورت زیر تعیین خواهد شد:

در نهایت، با تکرار فرآیند تعیین حداکثر گشتاور خمشی مجاز، داریم:

در اینجا نیز مانند بخش الف مثال، حداکثر تنش مجاز فولاد باید در طراحی‌ها مد نظر قرار گیرد. از آنجایی که تنش مجاز میله‌های تقویت‌کننده به عنوان پارامترهای کنترلی در هر دو تیر انتخاب شدند، ظرفیت خمشی هر دو تقریباً با هم برابر شد.

^^