نرخ کرنش – آشنایی با خصوصیات رفتاری مواد

در اجسام صلب، اگر تمام ذرات با سرعت یکسان (در جهت یکسان) حرکت کنند و یا با زاویه یکسان تحت دوران قرار گیرند، نرخ کرنش صفر خواهد بود. در یک سیال نیوتنی همسانگرد، تنش ویسکوز دارای یک رابطه خطی با نرخ کرنش است و با استفاده از ضریب ویسکوزیته حجمی (مرتبط با نرخ انبساط) و ضریب ویسکوزیته معمولی (مرتبط با نرخ برش) تعریف می‌شود.

تعریف نرخ کرنش

«جید لَکِک» (Jade LeCocq)، متالورژیست آمریکایی، اولین تعریف نرخ کرنش را در سال 1867 ارائه کرد. بر اساس این تعریف، نرخ کرنش، نرخی است که در آن تغییر شکل رخ می دهد. در فیزیک، مشتق کرنش نسبت به زمان، نرخ کرنش را نمایش می‌دهد.

به طور کلی، تعریف دقیق این مفهوم به نحوه اندازه‌گیری کرنش بستگی دارد.

تغییر شکل ساده

در مسائل عمومی، استفاده از یک مقدار عددی برای تعریف کرنش و نرخ کرنش کفایت می‌کند. به عنوان مثال، یک نوار لاستیکی بلند و یکنواخت را در نظر بگیرید که از دو انتهای خود تحت کشش تدریجی قرار گرفته است. در این وضعیت، نسبت مقدار کشش به طول اولیه نوار، کرنش درون لاستیک را نشان خواهد داد:

$$\epsilon (t)={\frac {L(t)-L_{0}}{L_{0}}}$$

ϵ: کرنش؛ L₀: طول اولیه نوار؛ (L(t: طول نوار در لحظه t

با توجه رابطه بالا و تعریف نرخ کرنش، معادله کلی این نرخ به صورت زیر خواهد بود:

$${\displaystyle {\dot {\epsilon }}(t) = {\frac {d\epsilon}{dt}} = {\frac {d}{dt}}\left({\frac {L(t)-L_{0}}{L_{0}}}\right) = {\frac {1}{L_{0}}}{\frac {dL}{dt}}(t) = {\frac {v(t)}{L_{0}}}}$$

(v(t: سرعت دور شدن دو انتهای نوار از یکدیگر

اگر یک جسم تحت نیروی برشی موازی قرار گیرد و تغییری در حجم آن رخ ندهد نیز می‌توان نرخ کرنش را توسط یک مقدار عددی بیان کرد. فرض کنید تغییر شکل ماده به گونه‌ای باشد که بتوان آن را به صورت لغزش مجموعه‌ای از لایه‌های نازک موازی بر روی یکدیگر در جهت یکسان و بدون تغییر در فاصله بین لایه‌ها در نظر گرفت. این فرضیات، با تعاریف «جریان کوئت» (Couette Flow) و «جریان پیزول» (Poiseuille Flow) مطابقت دارند (تعریف این جریان‌ها به طور خلاصه در انتهای بخش آورده شده است).

فیلم آموزش مقاومت‌ مصالح 1 و 2 در فرادرس

کلیک کنید

در این موارد، وضعیت ماده در یک زمان مشخص، با استفاده از تعیین جابجایی هر لایه قابل توصیف خواهد بود. به این منظور، باید یک مبدأ زمانی دلخواه و یک مبدأ مکانی (وجه ثابت) را در نظر گرفت. به این ترتیب، کرنش در هر لایه به صورت حد جابجایی نسبی در زمان حال تقسیم بر فاصله بین لایه‌ها تعریف می‌شود:

$$\epsilon (y,t) = \lim _{{d\rightarrow 0}} {\frac {X(y+d,t)-X(y,t)}{d}} = {\frac {\partial X}{\partial y}}(y,t)$$

d: فاصله بین لایه‌ها؛ (X(y,t: جابجایی لایه در زمان t و در فاصله y از وجه ثابت؛ (X(y+d,t: جابجایی لایه نسبت به لایه مجاور

بنابراین، رابطه نرخ کرنش به صورت زیر به دست می‌آید:

$${\displaystyle {\dot {\epsilon }}(y,t) = \left({\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial X}{\partial y}}\right)(y,t) = \left({\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial X}{\partial t}}\right)(y,t) = {\frac {\partial V}{\partial y}}(y,t)}$$

(V(y, t: سرعت خطی ماده در زمان حال و در فاصله y از وجه ثابت

جریان کوئت: جریان یک سیال ویسکوز بین دو سطحی که به صورت مماس بر هم حرکت می‌کنند، جریان کوئت نام دارد.

جریان پیزول: به جریان آرام یک سیال نیوتنی و تراکم ناپذیر در یک لوله دایره‌ای بلند با سطح مقطع ثابت، جریان پیزول گفته می‌شود.

واحد نرخ کرنش

کرنش، نسبت دو مقدار با واحد طول را نشان می‌دهد و یک کمیت بدون بعد به حساب می‌آید. از این‌رو، واحد نرخ کرنش با توجه به تعاریف ارائه شده، معکوس زمان (مانند s^-1) است.

تانسور نرخ کرنش

تانسور نرخ کرنش را می‌توان به صورت یک ماتریس متقارن 3*3 در یک دستگاه مختصات نشان داد. این تانسور معمولاً با توجه به زمان و مکان تغییر می‌کند و یک میدان تانسوری (وابسته به زمان) محسوب می‌شود. تانسور نرخ کرنش، فقط نرخ تغییر شکل موضعی مرتبه اول را ارائه می‌دهد. با این وجود، همین اطلاعات نیز برای بسیاری از مقاصد کافی هستند (حتی اگر ویسکوزیته ماده به شدت غیر خطی باشد).