مشابهت در ریاضیات — مفاهیم به زبان ساده

مشابهت مفهومی است که ذهن بسیاری از افراد را درگیر خود می‌کند. چرا همه دایره‌ها فرمول محاسبه مساحت یکسانی دارند؟ چطور وقتی آن‌ها را بزرگ یا کوچک می‌کنیم، هیچ تغییری در این فرمول ایجاد نمی‌شود؟ اما در طبیعت وقتی چیزهای کوچکی مانند ذره، حشره یا کودک به چیزهای بزرگ‌تری تبدیل می‌شوند، تغییرات زیادی در ماهیتشان ایجاد می‌شود. اگر همه دایره‌ها فرمول مساحت یکسانی داشته باشند، آیا می‌توان گفت که یک زنبورعسل 100 متری نیز می‌تواند پرواز کند؟

نکته ظریفی در این جا نهفته است: شکل‌های مشابه نسخه‌های بزرگنمایی شده‌ای از همدیگر هستند. زیرا نمی‌توانیم آن‌ها را از هم جدا کنیم (در ادامه بیشتر توضیح داده شده است) آن‌ها باید فرمول‌های درونی یکسانی برای محیط، مساحت و غیره داشته باشند.

با این حال آیتم‌هایی با فرمول یکسان قابل تعویض یا همدیگر نیستند. البته همه انسان‌ها از کودک تا بازیکن بلندقد بسکتبال فرمول یکسانی به صورت فاصله بین دو دست = قد دارند؛ اما این بدان معنی نیست که بازیکن 220 سانتی‌متری بسکتبال و یک نوزاد 22 سانتی‌متری هر دو بازیکنان بسکتبال خوبی هستند.

در واقع نکته اصلی برای جداسازی فرمول اشتراک (فاصله دستان = قد) از مقیاس‌پذیری؛ در نمونه‌های متفاوت (کودک در برابر بازیکن بسکتبال) نهفته است.

چرا شیءهای مقیاس یافته فرمول یکسانی دارند؟

با کمی تفکر درمی‌یابیم که اندازه مطلق هنگام بررسی این که یک فرمول در مورد همه نمونه‌های یک شیء صدق می‌کند یا نه، اهمیتی ندارد. یکی از نتایج این تفکر آن است که «اندازه» حاصل ادراک ما به عنوان ناظر است و نه خود شکل.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه 1 در فرادرس

کلیک کنید

میدان دید

یک مثلث را روی یک تکه کاغذ تصور کنید. این مثلث بخشی از میدان بینایی شما مثلاً 30 درصد را اشغال می‌کند.

اینک اگر به کاغذ نزدیک‌تر شوید، اینک مثلث فضای بیشتری از میدان دید شما مثلاً 90% را اشغال می‌کند. چه چیزی تغییر یافته است؟ مثلث همان است؛ اما اضلاع آن بزرگ‌تر به نظر می‌رسند. می‌دانیم که مشخصات اصلی آن (محیط، مساحت و غیره) تغییری نیافته‌اند، چون در غیر این صورت باید هنگام محاسبه مساحت هر شیء فاصله ناظر از آن شیء را نیز در فرمول محاسبه خود لحاظ کنیم!

ایجاد یک لوله

این بار یک دایره کاغذی را تصور کنید. اینک آن قدر دایره خود را ضخیم تصور کنید که شبیه یک استوانه شود که با قطر مشابه دایره تا فاصله‌ای نسبتاً دور کشیده شده است. احتمالاً قطر آن بخش از استوانه که دورتر از شما قرار دارد، نصف دایره انتهایی نزدیک‌تر به شما دیده می‌شود. اما همچنان می‌دانیم که این دو یک اندازه هستند. نسبت‌های درونی آن‌ها مانند محیط به قطر، مساحت به شعاع و غیره نیز یکسان است.

بزرگنمایی فتوشاپ

یک مثلث را روی صفحه رایانه تصور کنید. ما همه فرمول‌های محاسبه آن شامل محیط، مساحت و غیره را می‌دانیم. اینک این مثلث را به میزان 300% زوم می‌کنیم و دوباره اندازه‌گیری می‌کنیم. چه چیزی تغییر یافته است؟ بدیهی است که همه چیز در اندازه‌گیری ثانویه بزرگ‌تر شده است؛ اما آیا مثلث می‌داند که ما آن را زوم کرده‌ایم تا فرمول‌هایش فرق کند؟

واحد اندازه‌گیری

فرض کنید نسبت‌های یک شکل را به وسیله یک خط کش مناسب اندازه‌گیری می‌کنید. همه نسبت‌ها مانند مساحت به محیط، قطر به ضلع، و غیره را اندازه‌گیری می‌کنید. اما ناگهان متوجه می‌شوید که به جای سانتی‌متر از بخش اینچ خط کش استفاده کرده‌اید.

آیا لازم است که اندازه‌گیری‌های خود را به دلیل استفاده از واحد نادرست، تکرار کنید؟ آیا شکل اطلاع دارد که شما از چه واحدی برای اندازه‌گیری آن استفاده می‌کنید؟

ورود به قلمروی طبیعت

کل این بحث از یک کلاس زیست‌شناسی آغاز شده است. گودزیلا نمی‌تواند وجود داشته باشد، زیرا گرمای درونی آن بسیار بالا خواهد رفت. مارمولک‌های بزرگ نمی‌توانند همان کارهایی که مارمولک‌های کوچک انجام می‌دهند، اجرا کنند.

فیلم آموزش هندسه ۲ – پایه یازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

دلیل این مسئله بسیار ساده است. فرض کنید گودزیلا یک مارمولک مکعبی بزرگ باشد. اگر هر ضلع مکعب برابر با s باشد حجم آن s³ است و مساحت سطحی‌اش 6s² است.

اینک فرض کنید حرارت تولید شده متناسب با حجم باشد (در واقع متناسب با جرم است) و خنک‌سازی از طریق پوست (مساحت سطحی) صورت می‌گیرد. این مساحت سطحی معادل بخشی از پوست است که در معرض هوا قرار دارد. برای هر مقدار معین از جرم چه مقدار پوست برای تهویه هوا وجود دارد؟

می‌بینیم که برای هر حجم معینی از جرم، a=6/s واحد از مساحت سطحی، برای خنک شدن موجود است. اگر s برابر با 1 سانتی‌متر باشد در این صورت 6 سانتی‌متر مربع برای خنک‌سازی در برابر هر سانتی‌متر مکعب از جرم داریم.

اما اگر s برابر با 10 سانتی‌متر باشد. اینک 6/10 = 0.6 سانتیمتر مربع برای تهویه داریم. و اگر s برابر با 100 سانتی‌متر باشد، ما تنها 0.6 سانتی‌متر مربع برای تهویه داریم. بنابراین خنک‌سازی نمی‌تواند با میزان تولید حرارت درونی گودزیلای ما متناسب باشد و گودزیلا می‌میرد.

خلاصه نتایج به شرح زیر است:

s³، 6s² و a=6/s الگوهای مشترک در میان همه مکعب‌ها هستند و اندازه آن‌ها اهمیتی ندارد.

6/1 = 6، 6/10=0.6 و 6/100 = 0.06 نمونه‌های خاصی از نسبت سطح به حجم هستند. که برخی از آن‌ها با الزامات دفع حرارت ما مطابقت دارند و برخی دیگر ندارند.

مثال‌های دیگر

ایده یافتن الگوها در شکل‌های مشابه و جداسازی آن‌ها از مثال‌های خاص در ریاضیات و علوم کاملاً متداول است. در ادامه چند نمونه از مشابهت که غالباً بررسی می‌شود را ارائه کرده‌ایم.

کشف عدد پی

عدد پی مشهورترین نمونه از مشابهت است. همه دایره‌ها نسبت‌های (سطح/حجم = پی) یکسانی دارند. در این مورد نیز اهمیت ندارد که چه قدر دایره را بزرگ یا کوچک بگیریم، چون هر دایره‌ای همان مختصات بنیادی را دارد.

مشخصات کُره‌ها

کُره از لحاظ اشغال فضا بهینه‌ترین شکل محسوب می‌شود. در واقع کره بیشترین نسبت حجم به سطح را دارد. مهم نیست که حبوان مورد نظر فیل باشد یا گربه؛ در هر صورت وقتی به شکل یک توپ دربیاید، بیشترین حرارت را دفع می‌کند.

سیاره‌ها و قطره‌های باران به دلیل همین مشخصات منحصر به فرد به شکل کُره هستند، گرچه مقیاس هر یک از آن‌ها تفاوت عظیمی با هم دارد.

مثلثات

سینوس، کسینوس، و دیگر اعضای تابع‌های مثلثاتی برحسب زاویه اندازه‌گیری می‌شوند و زاویه نیز بهترین معیار مشابهت است، زیرا در آن اندازه اهمیتی ندارد. برای مثال برای این که زاویه‌ای 45 درجه باشد، هیچ اهمیتی ندارد که دو ضلع آن چه قدر طول داشته باشند.

از آنجا که مثلث‌های دارای زوایای یکسان، مشابه محسوب می‌شوند، می‌توانیم از این نسبت‌های درونی برای بزرگ کردن مقیاس در مقاصد مورد نیاز استفاده کنیم.

زمان اجرای الگوریتم

زمان اجرای الگوریتم‌ها، (O(n)، O(n*log(n))، O(n² و غیره بر اساس یافتن یک «معیار مشابهت» برای توصیف زمان اجرا است. یک الگوریتم که در مدت (O(n² اجرا می‌شود، وقتی تعداد ورودی‌ها دو برابر شود، 4 برابر کندتر اجرا می‌شود.

با این حال در نمونه‌های خاص، ممکن است الگوریتم مطلوب متفاوت باشد. برای نمونه 10 ورودی برای الگوریتم با زمان اجرای (O(n³ می‌تواند سریع‌تر از اجرای 10 میلیون ورودی با زمان اجرای (O(n باشد.

برنامه‌نویسی شیءگرا

در برنامه‌نویسی اعضای یک کلاس مشابه ممکن است فرمول‌های مشترکی مانند مساحت = π r2 داشته باشند. با این وجود هر نمونه از آن کلاس می‌تواند مقدار متفاوتی از r داشته باشد. این کلاس الگوهای کلی را ارائه می‌کند در حالی که نمونه‌های منفرد جزییات را عرضه می‌کنند.

سخن پایانی

در این بخش چند مورد از مشاهدات خود را جمع‌بندی می‌کنیم:

• در موضوع مشابهت، باید فرمول مشترک را از نمونه‌های منفرد یک شکل تمییز دهیم. همه دایره‌ها مشابه هستند؛ اما یک پیتزای بزرگ‌تر بهتر از پیتزای کوچک‌تر است.
• قیاس برای به‌خاطرسپاری مفید است. برای مثال مقایسه بازیکن بسکتبال و نوزاد یا مکعب گودزیلایی موجب می‌شود که مفهوم «الگو در برابر مثال» روشن‌تر شود.
• ایده مشابهت وسیع‌تر از هندسه است. مشابهت همه مواردی که مشخصات درونی یکسانی داشته باشند را شامل می‌شود.

تعریف واقعی مشابهت پیچیدگی بیشتری دارد، می‌توانید آن را معکوس کنید و بگویید دو شکل زمانی مشابه هستند که صرف‌نظر از اندازه‌شان، فرمول‌های یکسانی داشته باشند (یعنی به طور یکنواختی بزرگ یا کوچک شوند).

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی ۱
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
• ریاضی را با اپلیکیشن به کودکان بیاموزید
• آموزش جامع هندسه دبیرستان

==