فیلتر پایین گذر پسیو — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، کلیاتی را درباره فیلترهای الکترونیکی بیان کردیم. گفتیم که فیلترها مدارهایی برای اصلاح، تغییر شکل یا حذف بخشی از فرکانس‌های ناخواسته یک سیگنال الکتریکی یا همه آن‌ و عبور سیگنال‌های مورد نظر هستند. همچنین، دیدیم فیلترهای پسیو (Passive filters)، از اجزای پسیوی مانند مقاومت‌ها، خازن‌ها، سلف‌ها تشکیل می‌شوند و عناصر تقویت‌کننده‌ای مانند ترانزیستور، تقویت‌کننده و… ندارند. بنابراین، سطح خروجی آن‌ها همیشه کمتر از ورودی است. در این آموزش، درباره فیلتر پایین گذر پسیو بحث خواهیم کرد.

فیلتر پایین گذر مرتبه اول

یک فیلتر پایین گذر RC پسیو یا LPF را می‌توان به‌سادگی و با اتصال سری یک مقاومت و یک خازن ساخت. شکل زیر مدار LPF‌ را نشان می‌دهد.

فیلم آموزش طراحی فیلتر و سنتز مدار در فرادرس

کلیک کنید

در این فیلتر، سیگنال ورودی ($$V_{IN}$$)، به ترکیب سری (مقاومت و خازن با هم) اعمال می‌شود، اما سیگنال خروجی ($$V_{OUT}$$) از خازن گرفته می‌شود.

این نوع فیلتر، به‌عنوان «فیلتر مرتبه اول» (first-order filter) یا «فیلتر تک قطبی» (one-pole filter) نیز شناخته می‌شود. اما چرا مرتبه اول یا تک قطبی؟ زیرا فقط «یک» عنصر راکتیو در مدار وجود دارد (خازن).

همان‌گونه که در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس گفته شد، راکتانس یک خازن، رابطه عکس با فرکانس دارد، در حالی که مقدار مقاومت با تغییر فرکانس ثابت می‌ماند. در فرکانس‌های پایین، راکتانس خازنی ($$X_C$$) خازن، در مقایسه با اندازه مقامت R بسیار بزرگ است. این بدین معنی است که ولتاژ دو سر خازن ($$V_C$$) بسیار بزرگتر از ولتاژ دو سر مقاومت ($$V_R$$) است. در فرکانس‌های بالا، عکس این مورد صادق است؛ یعنی ولتاژ خازن کوچک و ولتاژ مقاومت بزرگ است.

مدار شکل بالا، علاوه بر اینکه یک فیلتر پایین گذر RC است، می‌توان آن را به‌عنوان یک مقسم ولتاژ متغیر وابسته به فرکانس در نظر گرفت. برای مثال، ولتاژ خروجی مقاومت R2 در یک مدار مقسم ولتاژ شامل مقاومت‌های R1 و R2 به‌صورت زیر است:

همان‌طور که می‌دانیم، راکتانس خازنی یک خازن در مدارهای AC با رابطه زیر بیان می‌شود:

در مدارهای AC، مقاوت در برابر جریان، امپدانس (Z) نامیده می‌شود و برای یک مدار سری شامل مقاومت و خازن، امپدانس مدار به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

 با جایگذاری این رابطه، در معادله تقسیم ولتاژ داریم:

بنابراین، می‌توانیم ولتاژ خروجی یک فیلتر RC را در هر فرکانسی محاسبه کنیم.

مثال

مدار یک فیلتر پایین گذر، از یک مقاومت $$4.7k\Omega$$ سری با یک خازن $$47nF$$ تشکیل شده که با یک منبع سینوسی 10v تغذیه می‌شود. ولتاژ خروجی ($$V_{OUT}$$) را در فرکانس‌های 100Hz و 10kHz محاسبه کنید.

فیلم آموزش الکترونیک ۳ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

حل: ولتاژ خروجی در فرکانس 100Hz به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

برای فرکانس 10kHz نیز داریم:

از نتایج بالا در می‌یابیم که اگر فرکانس اعمالی به مدار RC‌ زیاد شود، ولتاژ خروجی مدار کاهش می‌یابد.

با رسم ولتاژ خروجی بر حسب فرکانس‌های مختلف ورودی، منحنی پاسخ فرکانسی یا نمودار بُد (Bode Plot) فیلتر پایین گذر به‌دست می‌آید که مطابق شکل زیر است:

نمودار بُد بالا، پاسخ فرکانسی فیلتر را نشان می‌دهد که در فرکانس‌های پایین، تقریباً تخت است و مستقیماً همه ورودی‌ها را به خروجی عبور می‌دهد. در این حالت، بهره آن حدود ۱ یا واحد است. بهره فیلترها را برحسب دسی‌بل تعریف می‌کنند که تابعی از نسبت خروجی به ورودی است:

در فرکانس‌های بزرگتر از فرکانس قطع ($$f_c$$)، پاسخ مدار با شیب $$-20dB/Decade$$ یا $$-6dB/Octave$$ کاهش می‌یابد و به صفر می‌رسد. لازم به ذکر است که زاویه شیب $$-20dB/Decade$$ برای هر ترکیب RC ثابت است.

هر سیگنال فرکانس بالایی که به مدار فیلتر پایین گذر اعمال شود و فرکانس آن بزرگتر از فرکانس قطع باشد،‌ شدیداً تضعیف خواهد شد. دلیل این امر آن است که در فرکانس‌های بالا، راکتانس خازن بسیار کم شده و و مانند اتصال کوتاه عمل می‌کند، در نتیجه ولتاژ خروجی صفر خواهد بود.

ناحیه‌ای از محدوده فرکانسی فیلتر که فرکانس‌ها را از خود عبور می‌دهد، ناحیه باند عبور یا گذر (Pass band) نامیده می‌شود.این باند عبور، پهنای باند (Bandwidth) فیلتر نام دارد. محدوده فرکانس‌های بالاتر از نقطه قطع، باند توقف (Stop band) نامیده می‌شود که سیگنال‌های آن محدوده فرکانسی، بسیار ضعیف خواهند شد.

این فرکانس قطع، گوشه یا شکست، نقطه‌ای است که در آن، راکتانس خازنی و مقدار مقاومت با هم برابر هستند: $$R=X_C=4.7k\Omega$$. در این حالت، سیگنال خروجی، به اندازه $$70.7 \%$$ یا $$-3dB$$ ($$20log(Vout/Vin)$$) مقدرا سیگنال ورودی، تضعیف می‌شود. اگرچه در فرکانس قطع، $$R=X_C$$، اما سیگنال خروجی نصف سیگنال ورودی نسیت، زیرا جمع باید به‌صورت برداری انجام شود و به همین دلیل، خروجی، $$0.707$$ ورودی است.

از آن‌جایی که فیلتر دارای خازن است، زاویه فاز ($$\phi$$)‌ سیگنال خروجی، در فرکانس قطع $$-3dB$$، به اندازه $$45^\circ$$ نسبت به ورودی پس‌فاز است. فرکانس ورودی بالاتر، خازن را بیشتر از قبل پیش‌فاز خواهد کرد.

زاویه جابه‌جایی فاز را می‌توان با استفاده از معادله زیر پیدا کرد:

در مثال بالا، فرکانس قطع برابر $$720Hz$$ است که در آن، خروجی، $$70.7\%$$ ورودی با مقدار جابه‌جایی فاز $$-45^\circ$$ است.

فیلتر پایین گذر مرتبه دوم

دیدیم که یک فیلتر پایین گذر مرتبه اول را می‌توان از اتصال سری یک خازن و یک مقاومت ساخت. در این فیلتر، برای فرکانس‌های بزرگتر از فرکانس $$f_{-3dB}$$، سیگنال خروجی با شیب $$-20dB/decade$$ تضعیف می‌شود.

فیلم آموزش طراحی فیلتر و سنتز مدار در فرادرس

کلیک کنید

اما، گاهی اوقات شیب $$-20dB/decade$$ ممکن است برای حذف سیگنال‌های ناخواسته کافی نباشد و باید آن‌ها را در دو مرحله فیلتر کرد. شکل زیر مدار فیلتر پایین گذر مرتبه دوم را نشان می‌دهد.

مدار بالا، از دو فیلتر پایین گذر مرتبه اول پسیو تشکیل شده که به‌صورت آبشاری (cascaded) و به فرم یک شبکه دوقطبی یا مرتبه دوم به هم متصل شده‌اند. می‌بینیم که با اتصال دو فیلتر مرتبه اول، می‌توانیم یک فیلتر مرتبه دوم بسازیم. این کار را می‌توانیم به فیلترهای مرتبه بالاتر نیز تعمیم دهیم.

اگر n مدار RC را به‌صورت آبشاری به یکدیگر متصل کنیم، مدار فیلتر RC، یک فیلتر مرتبه n نامیده می‌شود که با شیب $$n\times -20dB/decade$$ کاهش می‌یابد. برای مثال، شیب یک فیلتر مرتبه دوم، برابر $$-40dB/decade$$ است. می‌توان نتیجه گرفت که هرچه مرتبه فیلتر افزایش پیدا کند، شیب تندتر و باند توقف ایده‌آل‌تر می‌شود.

البته باید توجه داشت معایبی نیز در اتصال تعداد زیاد مدارهای مرتبه اول وجود دارد و آن این است که بهره و دقت فیلتر نهایی کاهش می‌یابد. مقدار بهره فیلتر در فرکانس قطع با فرمول زیر به دست می‌آید که در آن، n تعداد فیلترهای RC مدار است:

بنابراین، برای یک فیلتر پایین گذر مرتبه دوم پسیو، بهره در فرکانس گوشه $$f_C$$ برابر $$0.7071\times 0.7071=0.5V_{in} (-6dB)$$ است.

فرکانس گوشه یک فیلتر پایین گذر مرتبه دوم پسیو که از ترکیب مقاومت-خازن ساخته شده، با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

از آن‌جایی که تعداد طبقات RC و در نتیجه شیب پاسخ فرکانسی در مدار مرتبه دوم نسبت به مدار مرتبه اول بیشتر است، نقطه فرکانس $$-3dB$$ و در نتیجه فرکانس باند عبور، نسبت به مقدار اصلی تغییر کرده و با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

که در آن، $$f_C$$ فرکانس قطع محاسبه شده، n مرتبه فیلتر و $$f_{-3dB}$$ باند عبور $$-3dB$$ جدید به علت افزایش مرتبه فیلتر است.

پاسخ فرکانسی (نمودار بُد) یک فیلتر پایین گذر مرتبه دوم در شکل زیر نشان داده شده است:

در عمل، ساخت دقیق فیلترهای مرتبه بالا با اتصال پشت سر هم یا آبشاری فیلترهای پسیو کاری مشکل است، زیرا امپدانس دینامیکی هر فیلتر، بر مدار مجاور اثر خواهد گذاشت. هرچند برای کاهش اثر بار می‌توان امپدانس هر طبقه پیش‌رو را به‌اندازه 10 برابر طبقه قبلی در نظر گرفت. بنابراین، $$R2=10\times R1$$ و $$C2=0.1C1$$. فیلترهای مرتبه دوم، معمولاً در مدارهای فیدبک تقویت کننده‌های عملیاتی برای ساخت فیلترهای اکتیو یا در شبکه‌های جابه‌جایی یا شیفت فاز در مدارهای تشدید RC به‌کار می‌روند.

در حالت کلی، فیلترهای پایین گذر پسیو، در تقویت‌کننده‌های صوتی و سیستم‌های بلندگو برای هدایت سیگنال‌های فرکانس پایین و و حذف نویزهای فرکانس بالا مورد استفاده قرار می‌گیرند.

دیدیم که فرکانس قطع ($$f_C$$) فیلترها، حاصل‌ضرب مقاومت (R) در ظرفیت (C) مدار است و با تغییر این دو عنصر، می‌توان فرکانس قطع را تغییر داد. ترکیب R و C، اثر شارژ و دشارژ خازن را نشان می‌دهد که به‌عنوان ثابت زمانی (Time constant)‌ یا $$\tau$$ مدار شناخته می‌شود. ثابت زمانی ($$\tau$$) طبق معادله زیر با فرکانس قطع $$f_C$$ مرتبط است:

ولتاژ خروجی $$V_{OUT}$$ به ثابت زمانی و فرکانس سیگنال ورودی بستگی دارد. برای یک سیگنال سینوسی که به‌آرامی تغییر می‌کند، مدار به‌عنوان یک فیلتر پایین‌ گذر مرتبه اول ساده عمل می‌کند. اما اگر سیگنال ورودی فیلتر، مربعی باشد چه اتفاقی می‌افتد؟

انتگرال‌گیر اساساً یک فیلتر پایین گذر است که با توجه به شارژ و دشارژ خازن، ورودی پله موج مربعی را به یک شکل موج خروجی مثلثی تبدیل می‌کند. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینیم، ثابت زمانی RC در مقایسه با دوره تناوب شکل موج ورودی بزرگ است و در نتیجه، شکل موج خروجی، مثلثی خواهد بود. هرچه فرکانس سیگنال ورودی بیشتر باشد، دامنه خروجی از ورودی کوچکتر خواهد بود.

این مدار برای تبدیل سیگنال‌های الکترونیکی از نوعی به نوع دیگر در مدارهای مولد شکل موج کاربرد دارد.

اگر مطالب بیان شده برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مرتبط با آن هستید، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش‌های زیر مراجعه کنید:

• مجموعه آموزش‌های مهندسی برق
• مجموعه آموزش‌های نرم‌افزارهای برق و الکترونیک
• مجموعه آموزش‌های دروس مهندسی برق
• تقویت کننده های الکترونیکی — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس
• عناصر پسیو در مدارهای الکتریکی — آشنایی به زبان ساده
• شکل موج AC — به زبان ساده

^^