میانگین هندسی — به زبان ساده

«میانگین هندسی» (Geometric Mean)، یکی از انواع میانگین‌ است که برای محاسبه متوسط نرخ رشد (رشد جمعیت یا درصد سود) استفاده می‌شود. همچنین به منظور محاسبه میانگین برای مقادیری که با مرتبه‌های متفاوت درجه‌بندی شده‌اند از میانگین هندسی استفاده می‌شود.

میانگین هندسی و محاسبه آن

اگر بخواهیم عملکرد شرکت را براساس دو پارامتر مانند حفظ محیط زیست (رتبه‌بندی از ۰ تا ۵) و شفافیت مالی (رتبه‌بندی از ۰ تا ۱۰۰) ارزیابی کنیم، باید میانگین این پارامترها را بدست آوریم تا بتوانیم عملکرد کلی شرکت را توسط یک عدد بیان کنیم. اگر از میانگین حسابی برای این کار استفاده شود، با توجه به بزرگ بودن مقادیر رتبه‌ها برای شفافیت مالی، اهمیت این پارامتر بیشتر شده و وزن بیشتری به شفافیت مالی برای محاسبه میانگین، داده خواهد شد.

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی – جامع و با مثال های مختلف در فرادرس

کلیک کنید

اگر در رتبه‌بندی شفافیت مالی شرکت کمی کاهش بوجود آید (مثلا از ۹۰ به ۸۰ تبدیل شود) تاثیر این تغییر در میانگین حسابی برای این دو پارامتر زیاد خواهد بود در حالی که تغییر بزرگ در رتبه حفظ محیط زیست (مثلا از ۲ به ۵) تاثیر ناچیزی در میانگین حسابی خواهد گذاشت. استفاده از میانگین هندسی این وزن‌ها (اهمیت‌ها) را نرمال می‌کند و هر یک از پارامترها اهمیت یکسانی در محاسبه متوسط مقادیر خواهند داشت.

شیوه محاسبه میانگین هندسی که با نماد G‌ نشان داده‌ می‌شود، به شکل زیر است:

براساس این فرمول کافی است مراحل زیر طی شود:

1. همه مقادیر در هم ضرب شوند.
2. ریشه nام حاصلضرب محاسبه شود.

به این ترتیب برای محاسبه میانگین هندسی مقادیر 1،5،8،10 بر اساس مراحلی که در بالا گفته شد، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$10 \times 8 \times 5 \times 1=400$$

که با گرفتن ریشه‌ چهارم به مقدار 4.47 خواهیم رسید. در حالیکه میانگین حسابی برای این اعداد برابر با ۶ خواهد بود. برای درک بهتر مفهوم میانگین هندسی به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال اول

حقوق ساعتی فردی در طی ۱۰ سال از 2000 تومان به ۵000 تومان رسیده است. متوسط رشد درآمد این فرد براساس میانگین هندسی محاسبه می‌شود.

ابتدا رشد را محاسبه می‌کنید.

$$R = \dfrac{5000}{2000} = 2.5$$

واضح است که صورت میزان افزایش و مخرج مبنای افزایش را نشان داده است. پس نرخ رشد در این ۱۰ سال، برابر با 2٫۵ است. حال که در ۱۰ سال این اتفاق رخ داده است، متوسط این نرخ رشد همان میانگین هندسی مقدار 2٫۵ خواهد بود.

$$G=\sqrt[\small 10]{2.5} =1.09596$$

پس اگر بخواهیم حقوق او را در سال یازدهم محاسبه کنیم، خواهیم داشت:

$$5000 \times 1.09596 = 5479.741$$

به جدول زیر توجه کنید:

همانطور که مشخص است، درصد افزایش سال بعد نسبت به قبل (ستون آخر جدول بالا)، همیشه ثابت بوده ولی میزان افزایش (برحسب تومان) متغیر است.

مثال دوم

سهام یک شرکت در سال اول ۵۰٪، در سال دوم 20٪ و در سال سوم ۹۰٪ رشد داشته است. پس در سال اول ارزش سهام شرکت ۱.۵ برابر و در انتهای سال دوم ۱.۲ برابر سال اول و در پایان سال سوم نیز ۱.۹ برابر سال دوم خواهد بود. متوسط رشد سهام این شرکت به کمک میانگین هندسی محاسبه می‌شود.

$$G=\sqrt[3]{1.5 \times 1.2 \times 1.9} =1.50637$$

این مقدار نشان می‌دهد که رشد متوسط ارزش سهام در هر سال برابر با 1.50637 است. در حالیکه با استفاده از میانگین حسابی متوسط رشد ارزش سهام برابر با 1.533 خواهد بود.

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی – جامع و با مثال های مختلف در فرادرس

کلیک کنید

حال اگر در پایان این سه سال بخواهیم ارزش سهام شرکت را محاسبه کنیم کافی است به صورت زیر عمل کنیم. فرض بر این است که در سال اول ارزش سهام ۱۰۰۰ ریال است!

ارزش سهام در پایان سال سوم = $$1.50637^3 \times 1000 = 3419.998$$

البته این محاسبه را می‌توان سالانه نیز انجام داد که نتیجه یکسانی خواهد داشت.

• ارزش سهام در انتهای سال اول = 1000 × 1.5 =  1500
• ارزش سهام در انتهای سال دوم = 1500× 1.2 = 1800
• ارزش سهام در انتهای سال سوم = 1800 × 1.9 = 3420

همانطور که در مثال‌ها دیده شد، میانگین هندسی از میانگین حسابی کمتر است که البته می‌توان ثابت کرد این موضوع همیشه برقرار است. ولی اگر همه مقدارها یکسان باشند، میانگین هندسی با میانگین حسابی برابر خواهد بود.

نکته: میانگین هندسی فقط برای اعداد مثبت قابل محاسبه است.