رابطه بین میانگین حسابی، هندسی و همساز

در محاسبه میانگین برای انواع مقادیر، ممکن است از میانگین حسابی، میانگین هندسی یا میانگین همساز کمک گرفت. درک تفاوتی که شیوه محاسبه هر یک از این میانگین‌ها دارد، کمک می‌کند تا به شکل درست از آنها استفاده شود. در ادامه خصوصیات و ویژگی‌های هر یک از انواع میانگین را بررسی و رابطه بین میانگین حسابی، هندسی و همساز را مرور می‌کنیم.

میانگین حسابی

اگر داده‌ها به صورت تصاعد حسابی باشند، «میانگین حسابی» (Arithmetic Mean- AM) با نقطه وسط داده‌ها (میانه) برابر است. به همین علت نام این نوع میانگین را حسابی گذاشته‌اند زیرا با تصاعد حسابی در رابطه است.

همچنین از نظر هندسی میانگین حسابی دو عدد a و b، شعاع دایره‌ای با قطر a+b است. از نظر دیگر میانگین حسابی را می‌توان نقطه‌ای در نظر گرفت که متوسط فاصله نقاط از آن برابر با صفر باشد.

مثال

متوسط فاصله مقدارهای ۱،۴،3،0 از میانگینشان برابر با صفر است. زیرا اگر میانگین را با $$\bar x$$ نشان دهیم، $$\bar x = 2$$ و اگر فاصله از میانگین محاسبه شود، داریم:  2-=2-0، 1=2-3، 2=2-4، 1-=2-1 که مجموعشان برابر با صفر است در نتیجه متوسط فاصله نسبت به میانگین برابر با صفر خواهد شد.

نکته: برای محاسبه فاصله، از تفاضل استفاده شده است.

این موضوع فقط مربوط به مثال ما نیست و این قاعده همیشه صادق است:

متوسط فاصله داده‌ها از میانگینشان برابر با صفر است.

خصوصیات

با افزایش یا کاهش مقدار ثابت از داده‌ها،‌ میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و به همان میزان، افزایش یا کاهش می‌یابد. بنابراین اگر داده‌ها را با x نشان دهیم و y=a+x‌ باشد میانگین y برحسب میانگین x قابل محاسبه است:

$$\bar y = a + \bar x$$

با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین حسابی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین y‌ برحسب میانگین x به صورت زیر خواهد بود.

$$\bar y = b \bar x$$

پس می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس یا مکان روی داده‌ها، میانگین آن‌ها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد. پس اگر y=a+b.x، رابطه بین میانگین x و y‌ به شکل زیر در خواهد آمد:

$$\bar y = a + b \bar x$$

مثال

اگر میانگین وزن ۱۰ نفر برحسب کیلوگرم برابر با ۸۵ باشد، میانگین وزن آن‌ها در زمانی که همگی یک وزنه 5 کیلوگرمی به دست دارند برحسب گرم برابر 90،000 گرم خواهد بود (a = 5000 , b = 1000). در این مثال ۵ کیلوگرم وزنه باعث جابجایی وزن همه افراد شده و تغییر مقیاس از کیلوگرم به گرم باعث تاثیر ضریب ثابت در محاسبه شده است. دقت کنید که میزان افزایش وزن نیز برحسب گرم در نظر گرفته شده است.

توجه

استفاده از میانگین حسابی برای داده‌هایی که به صورت تناوبی هستند، صحیح نیست. برای مثال میانگین دو زاویه ۱ و ۳۵۹ درجه، براساس میانگین حسابی برابر با ۱۸۰ درجه خواهد بود،‌ در حالیکه به دو دلیل این مقدار صحیح نیست:

1. این دو زاویه ممکن است به فرم ۱ و ۱- درجه و یا ۳61 و 719 نیز نوشته شوند که میانگین آن‌ها برابر با ۱۸۰ درجه نخواهد بود.
2. از آنجایی که میانگین به عنوان نقطه‌ای در نظر گرفته می‌شود که فاصله مقدارها حول آن، باید صفر باشد پس ۱۸۰ میانگین مناسبی نیست زیرا هر دو نقطه دارای فاصله ۱۷۹ درجه نسبت به ۱۸۰ درجه هستند.

بنا به دلایل بالا، انتخاب زاویه صفر درجه برای میانگین دو زاویه 1 و ۳۵۹ درجه به جای زوایه ۱۸۰ درجه مناسب به نظر می‌رسد.

میانگین هندسی

اگر داده‌ها به صورت تصاعد هندسی باشند، «میانگین هندسی» (Geometric Mean- GM) آن‌ها با نقطه وسط داده‌ها (میانه)‌ برابر خواهد بود. به همین علت این میانگین را هندسی می‌نامند. برای مثال اگر تصاعد هندسی ما به شکل 2، 4، 8، 16، 32 باشد میانگین هندسی برابر با $$\sqrt[5] {2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32} = 8$$ خواهد بود.

فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی – حل تمرین و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

میانگین هندسی مقادیر $$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$$ را می‌توان به کمک میانگین حسابی لگاریتم این مقدارها نیز بدست آورد، زیرا رابطه‌ زیر بین میانگین هندسی و میانگین حسابی وجود دارد.

 $$\mbox{log}\;GM= log (a_1a_2a_3 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}(log a_1 + log a_2 + log a_3 + \cdots + log a_n)$$

از طرفی بر اساس هندسه نیز این میانگین قابل تفسیر است. طبق تشابه بین دو مثلث قائم‌الزاویه (برابری زاویه‌های مثلث‌ها) مشخص می‌شود که

$$\frac{h}{p} = \frac{q}{h}$$

پس $$h^2=pq$$.‌ به این ترتیب میانگین هندسی برای دو عدد p و q برابر با h خواهد بود.

مثال

محدوده فرکانس در خطوط تلفنی بین ۳۰۰ تا ۳۳۰۰ هرتز است. با توجه به لگاریتمی بودن مقیاس فرکانس انتقال خطوط تلفن، میانگین این دو مقدار بر اساس میانگین هندسی محاسبه می‌شود که برابر با $$\sqrt{3300 \times 300} = 995$$ هرتز خواهد بود، در حالیکه میانگین حسابی برای آن‌ها 1800 هرتز است.

خصوصیات

با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین هندسی نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین هندسی y‌ برحسب میانگین هندسی x به صورت زیر خواهد بود.

$$GM_y = b GM_x$$

پس می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس روی داده‌ها، میانگین هندسی آن‌ها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد.

مثال

اگر فاصله مولکولی در آب ^9- 10×0.275 و ارتفاع قله اورست برابر با  10³ × 8.8 متر باشد،‌ میانگین هندسی این دو برابر است با:

$$\sqrt{0.275 \times 10^{-9} \times 8.8 \times 10^3}= \sqrt{2.42 \times 10^{-6}}= 0.0016 m$$

متوسط هفته‌های کاری طبق محاسبه میانگین همساز مقدار 41.75642 هفته خواهد شد و بر این اساس از تقسیم ۸۰۰۰ ساعت بر این میانگین (41.75662) متوسط ساعت کاری در هفته (191.5873056 ساعت) نیز استخراج می‌شود.

خصوصیات

با ضرب یا تقسیم داده‌ها در مقدار ثابت، میانگین همساز نیز تحت تاثیر قرار گرفته و در همان مقدار ضرب یا تقسیم خواهد شد. پس اگر y=b.x باشد، میانگین همساز y‌ برحسب میانگین همساز x به صورت زیر خواهد بود.

$$HM_y = b HM_x$$

بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که با تغییر مقیاس روی داده‌ها، میانگین همساز آن‌ها نیز به همان شکل تغییر می‌یابد. در نتیجه اگر در مثال قبل به جای تعداد هفته، تعداد روزهای کاری را قرار می‌دادیم، (5=b، به این معنی که هر هفته شامل ۵ روز کاری باشد)، میانگین همساز برای روزهای کاری برابر با 5×41.75662= 208.7821 روز می‌شد.

ترتیب میانگین‌ها

با توجه به شیوه محاسبه این سه نوع میانگین می‌توان نشان داد که میانگین همساز تمایل دارد که به سمت مقادیر کوچکتر نزدیک شود،‌ در نتیجه اگر میانگین حسابی را با AM و میانگین هندسی را با GM و در آخر میانگین همساز را با HM نشان دهیم، رابطه ترتیبی بین این سه میانگین به صورت زیر خواهد بود:

$$HM \leq GM \leq AM$$

و زمانی که همه مقدارها،‌ برابر باشند هر سه میانگین یکسان می‌شوند؛ البته به شرط مثبت بودن.