ممان اینرسی نیم دایره – به زبان ساده

ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح نیم دایره، کمیتی است که نحوه توزیع نقاط تشکیل‌دهنده مقطع‌های نیم‌دایره‌ای نسبت به یک محور مشخص را نمایش می‌دهد. این کمیت، به عنوان معیاری برای ارزیابی رفتار المان‌های دارای مقطع نیم‌دایره‌ای در برابر بارهای خمشی مورد استفاده قرار می‌گیرد. هنگام بحث راجع به مقاومت اجسام در برابر بارهای مختلف، اولین نکته‌ای که به ذهن اغلب افراد می‌رسد، جنس ماده مورد استفاده است. با وجود تاثیر بسزای جنس مواد در مقاومت مکانیکی، شکل سطح مقطع نیز در بهینه‌سازی این مقاومت تاثیر می‌گذارد. به عنوان مثال، اجسام دارای مقاطع دایره‌ای و مستطیلی، مقاومت خوبی در برابر خمش و پیچش از خود به نمایش می‌گذارند. در این مقاله، به معرفی فرمول‌های ممان اینرسی نیم دایره و دیگر شکل‌های مرتبط با آن نظیر دایره، ربع دایره و قطاع دایره می‌پردازیم.

ممان اینرسی مقطع چیست ؟

ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح، یکی از مشخصات هندسی مقاطع دوبعدی است که توزیع ماده نسبت به یک محور مشخص را نمایش می‌دهد. به عنوان مثال، نحوه توزیع نقاط یک مقطع مستطیلی را برای دو حالت زیر در نظر بگیرید.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

در هر یک از این حالت‌ها، توزیع نقاط نسبت به محورهای مبنا متفاوت است.

در شکل سمت راست، مجموع نقاط مستطیل در فاصله بیشتری نسبت به محور مبنا قرار دارند. در حالیکه در شکل سمت چپ، مجموع نقاط مستطیل، به محور مبنا نزدیک‌تر هستند. اگر هر یک از این مقاطع در راستای عمود بر محور مبنا، تحت بارگذاری قرار گیرند، مقاومت آن‌ها در برابر تنش‌های خمشی و پیچشی متفاوت خواهد بود در صورتیکه مساحت هر دوی آن‌ها یکسان است.

گشتاور دوم سطح، معیاری است که درک رفتار مقاطع تحت بارگذاری را بر اساس شکل آن‌ها کمی‌سازی می‌کند. فرمول کلی این کمیت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$I _ x = \int \int _ { A } { y ^ ۲ dA }$$

$$I _ x = \int \int _ { A } { y ^ ۲ d x d y }$$

$$I _ y = \int \int _ { A } { x ^ ۲ dA }$$

$$I _ y = \int \int _ { A } { x ^ ۲ d x d y }$$

• I_x: گشتاور دوم سطح دایره‌ای نسبت به محور مرکزی x
• y: فاصله عمودی نقاط تا محور مرکزی x
• I_y: گشتاور دوم سطح دایره‌ای نسبت به محور مرکزی y
• x: فاصله عمودی نقاط تا محور مرکزی y
• A: مساحت سطح
• dA: مقدار دیفرانسیلی مساحت سطح
• dx: اندازه دیفرانسیلی هر المان سطح در راستای x
• dy: اندازه دیفرانسیلی هر المان سطح در راستای y

ممان اینرسی سطح، با حرف انگلیسی I نمایش داده می‌شود. اندیس این حرف، بیانگر راستای محور مبنا است. به عنوان مثال، در فرمول بالا، I_x، نشان‌دهنده ممان اینرسی سطح نسبت به محور x (معمولا محور افقی گذرنده از مرکزی هندسی مقطع) است. در فرمول گشتاور دوم سطح، از مربع فاصله نقاط تا محور مبنا (y برای I_x یا x برای I_y)، بر روی تمام سطح (A)، انتگرال دوگانه گرفته می‌شود. یکای گشتاور دوم سطح، طول به توان چهار (میلی‌متر به توان چهار، سانتی‌متر به توان چهار، اینچ به توان چهار، فوت به توان چهار و غیره) است. در بخش بعدی، به معرفی فرمول ممان اینرسی نیم دایره و اثبات این فرمول از روی رابطه کلی ممان اینرسی سطح می‌پردازیم.

ممان اینرسی نیم دایره چگونه بدست می آید ؟

یک مقطع نیم‌دایره‌ای به شعاع r را مطابق با تصویر زیر در نظر بگیرید. این مقطع، در دستگاه مختصات x-y نمایش داده شده است.

فیلم آموزش ایستایی (استاتیک) – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

محورهای x و y، از مرکز هندسی نیم‌دایره عبور می‌کنند.

اگر محور مرکزی x را به عنوان محور مبنای محاسبه گشتاور دوم سطح انتخاب کنیم، فرمول ممان اینرسی نیم دایره توپر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$I _ x = \left ( \frac { \pi }{ ۸ } - \frac { ۸ }{ ۹ \pi } \right ) r ^ ۴$$

• I_x: گشتاور دوم سطح نیم دایره نسبت به محور مرکزی x
• r: شعاع نیم‌دایره

در صورت انتخاب محور مرکزی y به عنوان محور مبنای محاسبه گشتاور دوم سطح، فرمول ممان اینرسی نیم دایره توپر به شکل زیر درمی‌آید:

$$I _ y = \frac { \pi r ^ ۴}{ ۸ }$$

• I_y: گشتاور دوم سطح نیم دایره نسبت به محور مرکزی y
• r: شعاع نیم‌دایره

مثال ۱: محاسبه ممان اینرسی سطح نیم دایره ای

ممان اینرسی یک نیم‌دایره توپر به شعاع ۹ سانتی‌متر را به دست بیاورید. عدد پی را برابر با ۳/۱۴ در نظر بگیرید.

برای به دست آوردن ممان اینرسی نیم دایره، ابتدا فرمول‌های آن و مقادیر معلوم را می‌نویسیم:

$$I _ x = \left ( \frac { \pi }{ ۸ } - \frac { ۸ }{ ۹ \pi } \right ) r ^ ۴$$

$$I _ y = \frac { \pi r ^ ۴}{ ۸ }$$

• I_x: گشتاور دوم سطح نیم دایره نسبت به محور مرکزی x
• I_y: گشتاور دوم سطح نیم دایره نسبت به محور مرکزی y
• r: شعاع نیم‌دایره برابر با ۹ سانتی‌متر

برای ممان اینرسی مقطع حول محور مرکزی x داریم:

$$I _ x = \left ( \frac { \pi }{ ۸ } - \frac { ۸ }{ ۹ \pi } \right ) \times ۹ ^ ۴$$

$$I _ x = \left ( \frac { \pi }{ ۸ } - \frac { ۸ }{ ۹ \pi } \right ) \times ۶۵۶۱$$

$$I _ x = \frac { \pi \times ۶۵۶۱ }{ ۸ } - \frac { ۸ \times ۶۵۶۱ }{ ۹ \pi }$$

$$I _ x = \frac { ۳/۱۴ \times ۶۵۶۱ }{ ۸ } - \frac { ۸ \times ۶۵۶۱ }{ ۹ \times ۳/۱۴ }$$

$$I _ x = \frac { ۲۰۶۰۱/۵۴ }{ ۸ } - \frac { ۵۲۴۸۸ }{ ۲۸/۲۶ }$$

$$I _ x = ۲۵۷۵/۱۹ - ۱۸۵۷/۳۲$$

$$I _ x = ۷۱۷/۸۷$$

برای ممان اینرسی مقطع حول محور مرکزی y نیز داریم:

$$I _ y = \frac { ۳/۱۴ \times ۹ ^ ۴}{ ۸ }$$

$$I _ y = \frac { ۳/۱۴ \times ۶۵۶۱ }{ ۸ }$$

$$I _ y = \frac { ۲۰۶۰۱/۵۴ }{ ۸ }$$

$$I _ y = ۲۵۷۵/۱۹$$

در نتیجه، ممان اینرسی نیم دایره حول x برابر با ۷۱۷/۸۷ سانتی‌متر به توان چهار و حول محور y‌ برابر با ۲۵۷۵/۱۹ سانتی‌متر به توان چهار است. این اعداد، بیانگر پراکندگی بیشتر نقاط نیم‌دایره نسبت به محور مرکزی y در مقایسه با محور مرکزی x‌ هستند. به عبارت دیگر، اگر این مقطع، در راستای عمود بر محور y تحت بارگذاری قرار گیرد، مقاومت خمشی بیشتری را از خود به نمایش می‌گذارد.

فیلم آموزش ایستایی (استاتیک) – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید