معادلات دیفرانسیل ناهمگن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس در مورد اصول کلی معادلات دیفرانسیل و معادلات مرتبه اول و دوم بحث شد. در این مطلب قصد داریم تا نوعی دیگر از معادلات دیفرانسیل، تحت عنوان معادلات دیفرانسیل ناهمگن را توضیح دهیم. توجه داشته باشید که در این مطلب نحوه بدست آوردن پاسخ خصوصی توضیح داده می‌شود. از این رو جهت یادگیری نحوه بدست آوردن پاسخ کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دو می‌توانید به این مطلب مراجعه کنید.

پاسخ عمومی و خصوصی

حال زمان آن رسیده که معادلات دیفرانسیل ناهمگن و روش حل آن‌ها را توضیح دهیم. یک معادله دیفرانسیل مرتبه دومِ ناهمگن به صورت زیر است.

$$ \large \begin{equation}y^ {\prime\prime} + p\left( t \right)y^ {\prime} + q\left( t \right)y = g\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{equation} $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در رابطه فوق، (g(t تابعی غیرصفر محسوب می‌شود. توجه داشته داشید که در رابطه بالا ضریب مشتق دوم برای راحتی برابر با ۱ در نظر گرفته شده. در صورتی که این ضریب غیر یک باشد می‌توان با تقسیم کردن تمامی جملات به آن، به شکل استاندارد معادله دست یافت.

توجه داشته باشید که به رابطه زیر، معادله دیفرانسیل همگنِ مرتبط گفته می‌شود.

$$\large y^ {\prime\prime} + p \left( t \right)y ^ {\prime} + q \left( t \right) y=0$$
معادله ۲

قضیه: فرض کنید $$Y _ { 1 } ( t )$$ و $$Y _ { ۲ } ( t )$$، پاسخ‌هایی برای معادله ۱ و $$y _ { 1 } ( t )$$ و $$y _ { 2 } ( t )$$ پاسخ‌های معادله ۲ باشند. در این صورت عبارت زیر نیز می‌تواند پاسخی برای معادله ۲ باشد.

$$\large { Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right )$$

هم‌چنین عبارت فوق را می‌توان برابر با ترکیب خطی پاسخ‌های معادله ۲ در نظر گرفت. بنابراین رابطه زیر نیز برقرار است.

$$\large { Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

توجه داشته باشید که در این مطلب، حروف بزرگ نشان دهنده پاسخ‌های معادله ۱ و حروف کوچک، پاسخ‌های معادله 2 را نشان می‌دهند. به منظور اثبات این که $${ Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right )$$ پاسخی برای معادله ۲ است، تنها می‌توان آن را در معادله مذکور جایگذاری کرد. نهایتا با قرار دادن $${ Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right )$$ در معادله ۲، داریم:

$$\large \begin {align*} { \left ( { { Y _ 1 } - { Y _ 2 } } \right ) ^ { \prime \prime } } + p \left ( t \right ) { \left ( { { Y _ 1 } - { Y _ 2 } } \right ) ^ \prime } + q \left ( t \right ) \left ( { { Y _ 1 } - { Y _ 2 } } \right ) & = 0 \\ { Y _ 1 } ^ { \prime \prime } + p \left ( t \right ) { Y _ 1 } ^ \prime + q \left ( t \right ){ Y _ 1 } - \left ( { { Y _ 2 } ^ { \prime \prime } + p \left ( t \right ) { Y _ 2 } ^ \prime + q \left ( t \right ){ Y _ 2 } } \right ) & = 0 \\ g \left ( t \right ) - g \left ( t \right ) & = 0 \\ 0 & = 0 \end {align*}$$

بنابراین نشان دادیم که اختلاف دو پاسخ معادله ناهمگن در معادله همگن مرتبط با آن صدق می‌کند. حال  بایستی ثابت کنیم که این اختلاف، برابر با ترکیب خطی دو پاسخ معادله همگن است. بنابراین هدف اثبات رابطه زیر است.

$$\large { Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

پیش‌تر عنوان شد که اگر y₁ و y₂ پاسخی برای معادله ۲ محسوب شوند، در این صورت ترکیب خطی آن‌ها نیز می‌تواند به عنوان یک پاسخ برای معادله مذکور باشد. بنابراین پاسخ جدید معادله ۲ به‌ صورت زیر است.

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

از طرفی اثبات شد که ترکیب خطی y₁ و y₂ برابر با اختلاف Y_۱ و Y₂ است. بنابراین می‌توان رابطه زیر را بیان کرد:

$$\large { Y _ 1 } \left ( t \right ) - { Y _ 2 } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

شاید این سوال برایتان پیش آمده باشد که کاربرد قضیه فوق در چیست؟ پاسخ در بدست آوردن پاسخ عمومی معادله ناهمگن است. بدین منظور در ابتدا فرض کنید (y(t پاسخ عمومی معادله ناهمگن (معادله ۱) باشد. هم‌چنین اگر $$Y _ { P } ( t )$$ برابر با هر پاسخی باشد که به آن دست یافته باشیم، در این صورت طبق قضیه فوق رابطه زیر را می‌توان بیان کرد:

$$\large y \left ( t \right ) - { Y _ P } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 }{ y _ 2 } \left ( t \right)$$

بنابراین نهایتا پاسخ عمومی به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right ) + { Y _ P } \left ( t \right )$$

معمولا پاسخ فوق را به دو بخش تقسیم می‌کنند. بخش زیر تحت عنوان پاسخ عمومی شناخته می‌شود.

$$\large { y _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

هم‌چنین Y_p را پاسخ خصوصی می‌نامند. در نتیجه برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن بایستی دو پاسخِ عمومی و خصوصی یافته شوند. نهایتا پاسخ یک معادله ناهمگن به صورت زیر نشان داده می‌شود.

$$\large \boxed {y \left ( t \right ) = { y _ c } \left ( t \right ) + { Y _ P } \left ( t \right )}$$

در ادامه نحوه یافتن پاسخ خصوصی را توضیح خواهیم داد.

روش ضرایب نامعین در یافتن پاسخ خصوصی

در بالا شکل کلی معادله و شکل کلی پاسخ یک معادله ناهمگن را توضیح دادیم. توجه داشته باشید که پاسخ عمومی را می‌توان با استفاده از روش‌های بیان شده در مطالب معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل بدست آورد. بنابراین به‌ منظور حل یک معادله ناهمگن، چالش اصلی یافتن پاسخ خصوصی است.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در این قسمت قصد داریم تا روش ضرایب نامعین را در بدست آوردن پاسخ خصوصی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم توضیح دهیم. مهم‌ترین مزیت این روش کاهش معادله به معادله‌ای جبری است. فرض کنید می‌خواهیم معادله ناهمگن زیر را حل کنیم.

$$\large y ^ { \prime\prime } + p \left ( t \right)y’ + q\left( t \right ) y = g \left ( t \right )$$

تمام چیزی که نیاز است، توجه کردن به تابع (g(t و حدس زدن پاسخ خصوصی است. پاسخ خصوصی حدس زده شده، ضرایب ثابتی را در خود دارد که می‌توان با جایگذاری آن در معادله دیفرانسیل، آن‌ها را بدست آورد.

مثال ۱

پاسخ خصوصی معادله زیر را بیابید.

$$\large y ^ {\prime\prime} - 4 y ^{\prime} - 1 2 y = 3 {{\bf{e}}^{5t}}$$

با توجه به شکل (g(t، پاسخ خصوصی را می‌توان به صورت زیر تصور کرد.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = A { { \bf { e } } ^ { 5 t } }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

حال کافی است تا پاسخ در نظر گرفته شده را در معادله اصلی جایگذاری کرده و ضریب A را بدست آورد. بنابراین با جایگذاری پاسخ فوق داریم:

$$\large \begin {align*} 2 5 A { { \bf { e } } ^ { 5 t } } - 4 \left ( { 5 A { { \bf { e } } ^ { 5 t } } } \right ) - 1 2 \left ( { A { { \bf { e } } ^ { 5 t } } } \right ) & = 3 { { \bf { e } } ^ { 5 t } } \\ - 7 A { { \bf { e } } ^ { 5 t } } & = 3 { { \bf { e } } ^ { 5 t } } \end {align*}$$

از معادله فوق مقدار A به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large - 7 A = 3 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} A = - \frac { 3 } { 7 }$$

بنابراین پاسخ خصوصی معادله برابر با تابع زیر است.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = - \frac { 3 } { 7 } { { \bf { e } } ^ { 5 t } }$$

مثال ۲

پاسخ خصوصی معادله زیر را بیابید.

$$\large y^{\prime\prime} - 4y^{\prime} - 12y = 2{t^3} - t + 3$$

در این مثال تابع (g(t چندجمله‌ای از درجه ۳ است.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین پاسخ خصوصی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = A { t ^ 3 } + B { t ^ 2 } + C t + D$$

در حدس فوق، ۴ ضریب وجود دارد که برای یافتن آن‌ها به ۴ معادله نیاز خواهیم داشت. با جایگذاری پاسخ حدس زده شده در معادله داریم:

$$\large \begin {align*} 6 A t + 2 B - 4 \left ( { 3 A { t ^ 2 } + 2 B t + C } \right ) - 1 2 \left ( { A { t ^ 3 } + B { t ^ 2 } + C t + D } \right ) & = 2 { t ^ 3 } - t + 3 \\ - 1 2 A { t ^ 3 } + \left ( { - 1 2 A - 1 2 B } \right ) { t ^ 2 } + \left ( { 6 A - 8 B - 1 2 C } \right ) t + 2 B - 4 C - 1 2 D & = 2 { t ^ 3 } - t + 3 \end {align*}$$

رابطه فوق تنها زمانی می‌تواند برقرار باشد که ضرایب $$t ^ 0 , t ^ 1 , t ^ 2 , t ^ 3$$ در سمت چپ و راست معادله با یکدیگر برابر باشند. با برابر قرار دادن آن‌ها ۴ معادله مدنظر به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\begin {align*} & { t ^ 3 } \,: & - 1 2 A & = 2 & \Rightarrow \hspace {0.25in} A & = - \frac { 1 }{ 6 } \\ & { t ^ 2 } \,: & - 1 2 A - 1 2 B & = 0 & \Rightarrow \hspace {0.25in} B & = \frac { 1 } { 6 } \\ & { t ^ 1 } \,: & 6 A - 8 B - 1 2 C & = - 1 & \Rightarrow \hspace {0.25in} C & = - \frac { 1 } { 9 } \\ & { t ^ 0 } \,: & 2 B - 4 C - 1 2 D & = 3 & \Rightarrow \hspace{0.25in} D & = - \frac { 5 } { { 2 7 } } \end {align*}$$

با بدست آمدن ضرایب، پاسخ خصوصی معادله نیز برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = - \frac { 1 } { 6 } { t ^ 3 } + \frac { 1 } { 6 } { t ^ 2 } - \frac { 1 } { 9 } t - \frac { 5 } { { 2 7 } }$$

مثال ۱ و ۲ نشان می‌دهند، شکل کلی پاسخ خصوصیِ‌ حدس زده شده مشابه با تابع (g(t است. در جدول زیر ۵ حالت متفاوت از توابع (g(t و توابع حدس زده شده مرتبط با آن ارائه شده‌اند.

توجه داشته باشید در حالتی که جمله سمت راست، ترکیبی از توابع فوق باشد، پاسخ خصوصی را نیز می‌توان به صورت ترکیبی از آن‌ها در نظر گرفت. برای نمونه در مثال زیر تابع g به صورت حاصل ضرب تابعی نمایی در تابعی چند‌جمله‌ای است.

مثال ۳

پاسخ خصوصی معادله زیر را بیابید.

$$\large y ^ {\prime\prime} - 4y^{\prime} - 12y = t{{\bf{e}}^{4t}}$$

همان‌طور که می‌بینید تابع g به صورت حاصل‌ضرب دو تابع چند‌جمله‌ای و تابعی نمایی است. پاسخ خصوصی مربوط به بخش چند‌جمله‌ای به صورت زیر است.

$$\large A t + B$$

به همین شکل حدس مربوط به بخش نمایی را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large C { { \bf { e } } ^ { 4 t } }$$

حال پاسخ خصوصی نهایی را به صورت حاصل‌ضرب این دو تابع در نظر می‌گیریم.

$$\large C { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { A t + B } \right )$$

رابطه فوق به صورت زیر در می‌آید.

$$\large C { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { A t + B } \right ) = { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { A C t + B C } \right )$$

توجه داشته باشید که حاصل ضرب ضرایب، معادل با یک ضریب هستند؛ لذا پاسخ خصوصی به شکل زیر قابل بیان است.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { A t + B } \right )$$

با جایگذاری رابطه بالا در معادله و مرتب کردن آن داریم:

$$\large \begin {align*} { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { 1 6 A t + 1 6 B + 8 A } \right ) - 4 \left( { { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left ( { 4 A t + 4 B + A } \right ) } \right ) - 1 2 \left ( { { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \left( {At + B} \right)} \right) & = t { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \\ \left( { 1 6 A - 1 6 A - 1 2 A } \right ) t { { \bf { e } } ^ { 4 t } } + \left ( {1 6 B + 8 A - 1 6 B - 4 A - 1 2 B } \right ) { { \bf{e}}^{4t}} & = t{{\bf{e}}^{4t}}\\ - 12At{{\bf{e}}^{4t}} + \left( {4A - 12B} \right){{\bf{e}}^{4t}} & = t{{\bf{e}}^{4t}}\end{align*}$$

همانند مثال ۱ با برابر قرار دادن ضرایب جملات، ضرایب A و B برابر با مقادیر زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} & t { { \bf { e } } ^ { 4 t } } \,: & - 1 2 A & = 1 & \Rightarrow \hspace{0.25in} A & = - \frac { 1 } { { 1 2 } } \\ & { { \bf{e} } ^ { 4 t } } \,: & 4 A - 1 2 B & = 0 & \Rightarrow \hspace{0.25in} B & = - \frac { 1 } { { 3 6 } } \end {align*}$$

با بدست آمدن ضرایب، پاسخ خصوصی نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = { { \bf{e} } ^ { 4 t } } \left( { - \frac{t}{{12}} - \frac { 1 } { { 3 6 } } } \right) = - \frac { 1 } { { 3 6 } } \left ( { 3 t + 1} \right ) { {\bf { e } } ^ {4 t } }$$

در این مطلب معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم معرفی شد و یکی از روش‌های یافتن پاسخ آن نیز بیان شد. در مطلبی دیگر، حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن به روش تغییر متغیر را توضیح خواهیم داد. توجه داشته باشید که پاسخ خصوصی بخشی از پاسخ کلی است. پاسخ کلی یک معادله مرتبه دو در این لینک توضیح داده شده است.