قضیه هلمهولتز در مهندسی برق – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس به تفصیل درباره کرل و دیورژانس یک تابع برداری صحبت کردیم. در این آموزش قصد داریم به بررسی «قضیه هلمهولتز» (Helmholtz's Theorem) بپردازیم. از قضیه هلمهولتز هنگام تعریف توابع پتانسیل در الکترومغناطیس استفاده می‌شود. قبل از بیان قضیه هلمهولتز، بیان دو تعریف زیر بسیار مهم است.

اگر کرل یک میدان برداری صفر باشد، آن میدان برداری را به نام «میدان برداری پایستار» (Conservative Vector Field) یا «غیر چرخشی» (Irrotational) می‌شناسیم.

مفهوم پایستار بودن یک میدان برداری این است که انتگرال‌گیری روی یک مسیر بین دو نقطه به مسیر حرکت بستگی نداشته باشد، مانند محاسبه کار انجام شده وقتی جسمی را با وجود جاذبه زمین جابجا می‌کنیم. در این حالت، کار مستقل از مسیر جابجایی جسم است و فقط به نقطه آغازین و پایانی بستگی دارد.

همچنین اگر دیورژانس یک میدان برداری برابر صفر باشد، آن میدان به اصطلاح بدون دیورژانس (Divergenceless) یا سلونوئیدی (Solenoidal) است. در یک میدان الکترومغناطیسیِ سلونوئیدی، خطوط شار بسته می‌شوند و منبع یا چاه مغناطیسی وجود ندارد.

قبل از آنکه به بیان ریاضی قضیه هلمهولتز بپردازیم، لازم است دو اتحاد معروف در ریاضیات برداری را بیان کنیم. این دو اتحاد، از عملگر دِل استفاده می‌کنند و در مطالعه فیزیک و ریاضی پایه از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند.

اتحاد اول

این اتحاد بیان می‌کند که کرلِ گرادیانِ هر میدان اسکالر برابر صفر است:

$$\nabla \times (\nabla V) = 0$$
رابطه (۱)

باید توجه کرد که در این معادله، وجود میدان اسکالر $$V$$ و مشتقات اول آن ضروری است.

از مثال‌های میدان اسکالر در فیزیک، می‌توان پتانسیل گرانشی ($$V_G$$)، انرژی پتانسیل ($$W_pot$$) و پتانسیل کولن (ٰ$$V_C$$) را نام برد. رابطه (۱) را می‌توان به این صورت نیز بیان کرد: اگر کرل یک میدان برداری، صفر باشد، می‌توان آن را به صورت گرادیان یک تابع اسکالر تعریف کرد. 

از مثال‌های میدان برداری در فیزیک، می‌توان شتاب گرانشی ($$a_G$$)، نیرو ($$F$$) و شدت میدان الکتریکی ($$E$$) را نام برد.

فرض کنیم میدان برداری، $$E$$ باشد. اگر $$\nabla \times E = 0$$ باشد، می‌توان میدان اسکالر $$V$$ را به صورت زیر تعریف کرد:

$$E=-\nabla V$$
رابطه (۲)

علامت منفی در رابطه (۲) اهمیتی ندارد. البته در الکترواستاتیک، این معادله رابطه بین شدت میدان الکتریکی $$E$$ و پتانسیل اسکالر الکتریکی $$V$$ را نشان می‌دهد. بنابراین می‌توان گفت که یک میدان برداری پایستار (غیر چرخشی) را همواره می‌توان به صورت گرادیان یک میدان اسکالر نوشت. 

اتحاد دوم

این اتحاد بیان می‌کند که دیورژانسِ کرل هر میدان برداری برابر صفر است. یعنی:

$$\nabla . (\nabla \times A)=0$$
رابطه (۳)

رابطه (۳) را می‌توان به این صورت نیز بیان کرد: اگر دیورژانس یک میدان برداری صفر باشد، می‌توان آن را به صورت کرل یک میدان برداری دیگر نوشت.

فرض کنیم میدان برداری، مانند $$B$$ را در نظر بگیریم، این عبارت بیان می‌کند که اگر $$\nabla . B =0$$ باشد، می‌توانیم میدان برداری $$A$$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$$‌B=\nabla \times A$$
رابطه (۴)

همانطور که بیان شد، یک میدان بدون دیورژانس، به نام میدان سلونوئیدی نیز شناخته می‌شود. میدان‌های سلونوئیدی، هیچ منبع یا چاه جریان ندارند. مقدار خالص شار خروجی از یک میدان سلونوئیدی روی هر سطح بسته برابر صفر است و خطوط شار روی خودشان بسته می‌شوند. برای مثال، خطوط شار مغناطیسی دوارِ یک سلونوئید یا القاگر را در نظر بگیرید. چگالی شار مغناطیسی $$B$$ نیز یک میدان سلونوئیدی است و می‌توان آن را بر اساس پتانسیل برداری مغناطیسی $$A$$ تعریف کرد.

قضیه هلمهولتز

در قسمت‌های قبلی اشاره کردیم که یک میدان بدون دیورژانس، سلونوئیدی و یک میدان بدون کرل، غیر چرخشی است. می‌توان میدان‌های برداری را بر اساس سلونوئیدی یا غیر چرخشی بودن آن دسته بندی کرد.

فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

(الف) میدان، سلونوئیدی و غیرچرخشی است:

$$\nabla . F = 0 \, , \nabla \times F = 0$$

مثال: میدان الکتریکی استاتیک در یک ناحیه بدون بار.

(ب) میدان، سلونوئیدی است اما غیر چرخشی نیست:

$$\nabla . F = 0 \, , \nabla \times F \neq 0$$

مثال: میدان مغناطیسی یکنواخت در یک هادی حامل جریان.

(ج) میدان غیر چرخشی است اما سلونوئیدی نیست:

$$\nabla . F \neq 0 \, , \nabla \times F = 0$$

مثال: میدان الکتریکی یکنواخت در یک ناحیه دارای بار.

(د) میدان، نه سلونوئیدی و نه غیر چرخشی است:

$$\nabla . F \neq 0 \, , \nabla \times F \neq 0$$

مثال: میدان الکتریکی در یک ناحیه دارای بار با یک میدان مغناطیسی متغیر با زمان.

یک میدان برداری که هم دیورژانس غیر صفر و هم کرل غیر صفر دارد را می‌توان به صورت جمع یک میدان سلونوئیدی و یک میدان غیر چرخشی در نظر گرفت.

قضیه هلمهولتز بیان می‌کند که اگر کرل و دیورژانس یک میدان برداری در هر نقطه مشخص باشد، آن میدان برداری (بردار تابع نقطه) با افزودن یک عدد ثابت قابل تعریف است. 

در یک ناحیه غیر محدود، فرض می‌کنیم کرل و دیورژانس یک میدان برداری در بی‌نهایت صفر شوند. اگر میدان برداری، در یک ناحیه توسط یک سطح محدود شود، می‌توان بردار را به وسیله دیورژانس و کرل در آن ناحیه مشخص کرد. در اینجا فرض می‌کنیم که بردار تنها یک مقدار دارد و مشتقات آن نیز پیوسته و محدود هستند.

قضیه هلمهولتز را می‌توان به صورت یک قضیه ریاضی بیان کرد. می‌دانیم که دیورژانس یک بردار، شدت منبع جریان و کرل، شدت منبع گرداب است. وقتی شدت منبع جریان و شدت منبع گرداب مشخص باشد، طبق قضیه هلمهولتز، انتظار می‌رود که میدان برداری مشخص شود. پس می‌توان یک میدان برداری کلی $$F$$ را به دو قسمت میدان غیر چرخشی $$F_i$$ و میدان سلونوئیدی $$F_s$$ تقسیم کرد:

$$F=F_i+F_s$$
رابطه (۵)

که در آن برای $$F_i$$ داریم:

$$\nabla \times F_i = 0 \, , \nabla . F_i = g$$
رابطه (۶)

و همچنین برای $$F_s$$ داریم:

$$\nabla . F_s = 0 \, ,\nabla \times F_s = G$$
رابطه (7)

که در آن، فرض می‌شود $$g$$ و $$G$$ را می‌دانیم. حال داریم:

$$\nabla . F = \nabla . F_i = g$$
رابطه (۸)

و همچنین:

$$\nabla \times F=\nabla \times F_s = G$$
رابطه (۹)

قضیه هلمهولتز بیان می‌کند که وقتی $$g$$ و $$G$$ را بدانیم، تابع برداری $$F$$ شناخته شده است. از آنجا که عملگرهای $$\nabla.$$ و $$\nabla \times$$ دیفرانسیلی هستند، $$F$$ باید توسط انتگرال‌گیری از $$g$$ و $$G$$‌ به دست آید. خروجی این انتگرال‌ها، اعدادی ثابت است. تصمیم‌گیری در مورد مقدار این انتگرال‌ها احتیاج به دانستن شرایط مرزی دارد. با توجه به غیرچرخشی بودن $$F_i$$، تابع پتانسیل اسکالر $$V$$ را تعریف کنیم. با توجه به اتحاد اول داریم:

$$F_i = - \nabla V.$$
رابطه (10)

به همین ترتیب، با توجه به اتحاد دوم می‌توان یک تابع پتانسیل برداری $$A$$ را تعریف کرد:

$$F_s=\nabla \times A.$$
رابطه (۱۱)

طبق قضیه هلمهولتز‌، یک تابع برداری معمولی به نام $$F$$ به صورت جمع گرادیان یک تابع اسکالر و کرل یک تابع برداری قابل بیان است. بنابراین:

$$F=-\nabla V + \nabla \times A$$
رابطه (۱۲)

در ادامه با بیان یک مثال به بررسی قضیه هلمهولتز می‌پردازیم.

مثال

یک تابع برداری به صورت زیر داریم:

$$F=(3y-c_1 z) \hat x +(c_2 x-2z) \hat y- (c_3y+z) \hat z$$

• (الف) اگر $$F$$ غیر چرخشی باشد،‌ ثابت‌های $$c_1$$ و $$c_2$$ و $$c_3$$ را بیابید.
• (ب) تابع پتانسیل اسکالر $$V$$ را محاسبه کنید که منفی گرادیان آن با $$F$$ برابر است.

حل (الف): برای آنکه $$F$$ غیرچرخشی باشد، باید $$\nabla \times F = 0$$ باشد. بنابراین:

$$\begin{align*}{\mathop{\rm \,}\nolimits} \nabla \times F & =\Large \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a_x}&{a_y}&{a_z}\\{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial z}}}\\{3y - c_1 z}&{c_2 x-2z}&{-(c_3 y+z)}\end{array}} \right|\\ & = \large \, (-c_3 +2)\, a_x -c_1 a_y\,+(c_2-3) a_z =0\end{align*}<br /> $$

هر یک از مولفه‌های $$\nabla \times F$$ باید صفر شوند. بنابراین: $$c_1=0 \, , c_2=3 \, , c_3=2$$.

حل (ب): از آنجایی که $$F$$ غیرچرخشی است، می‌توان آن را به صورت گرادیان یک تابع اسکالر $$V$$ در نظر گرفت. بنابراین:

$$F=-\nabla V = -a_x \frac{\partial V}{\partial x}-a_y \frac{\partial V}{\partial y} - a_z \frac{\partial V}{\partial z} = a_x 3y + a_y (3x-2z) -a_z (2y+z)$$

بنابراین سه معادله به دست می‌آید:

$$\frac{\partial V}{\partial x}=-3y,$$
رابطه (۱۳)

$$\frac{\partial V}{\partial y}=-3x+2z,$$
 رابطه (۱۴)

$$\frac{\partial V}{\partial z}=2y+z.$$
رابطه (۱۵)

با انتگرال‌گیری از رابطه (13) داریم:

$$V=-3xy+f_1(y,z),$$

که در آن، $$f_1(y,z)$$ تابعی از $$y$$ و $$z$$ است و باید تعیین شود. به طریق مشابه با انتگرال‌گیری از رابطه (14) نسبت به $$y$$ و انتگرال‌گیری از رابطه (15) نسبت به $$z$$ داریم:

$$V=-3xy+2yz+f_2 (x,z)$$

$$V=2yz+\frac{z^2}{2}+f_3 (x,y).$$

بنابراین تابع اسکالر پتانسیل را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$V=-3xy+2yz+\frac{z^2}{2}$$

در صورتیکه این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مفاهیم مشتق — به زبان ساده
• گرادیان (Gradient) در ریاضیات — به زبان ساده

^^