تحلیل تنش و تغییر شکل در تیرها — بخش دوم: فرمولهای متداول
در بخش اول این مقاله، به بررسی نیروها و تنشهای برشی و خمشی درون تیرها پرداختیم. در این بخش، فهرستی از معادلات مرتبط با تغییر شکل، شیب، نیروی برشی و گشتاور خمشی موجود در امتداد تیرهای مستقیم برای شرایط مرزی و بارگذاری متفاوت آورده شده است. این فهرست، اکثر حالتهای متداول را پوشش می دهد. از اینرو، می توانید از آنها به عنوان یک مرجع سریع برای انجام محاسبات خود استفاده کنید.
تیرهای گیردار
در ادامه، هریک از انواع تیرهای گیردار را بررسی میکنیم.
- تیرگیردار با بارگذاری انتهایی
تغییر شکل:
$$\delta = - {Fx^2 \over 6EI} \left(3L - x \right)$$
$$\delta_{max} = {F L^3 \over 3EI}\\ {x=L}$$
شیب:
$$\theta = - {Fx \over 2EI} \left(2L - x \right)$$
$$\theta_{max} = {F L^2 \over 2EI}\\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V = +F$$
گشتاور خمشی:
$$M = -F (L - x)$$
$$M_{max} = -FL\\{x=0}$$
- تیرگیردار با بارگذاری میانی
تغییر شکل:
$$\delta = - {Fx^2 \over 6EI} \left(3a - x \right)\\(0 \le x \le a)$$
$$\delta = - {Fa^2 \over 6EI} \left(3x - a \right)\\(a \le x \le L)$$
$$\delta_{max} = {F a^2 \over 6EI} \left(3L - a \right)\\ {x=L}$$
شیب:
$$\theta = - {Fx \over 2EI} \left( 2a - x \right) \\ (0 \le x \le a)$$
$$\theta = - {Fa^2 \over 2EI} \\ (a \le x \le L)$$
نیروی برشی:
$$V = +F \\ (0 \le x \le a)$$
$$V = 0 \\ (a \le x \le L)$$
گشتاور خمشی:
$$M = -F (a - x) \\ (0 \le x \le a)$$
$$M = 0 \\ (a \le x \le L)$$
- تیرگیردار با بارگذاری یکنواخت
تغییر شکل:
$$\delta = - {w x^2 \over 24EI} \left(6L^2 - 4Lx + x^2 \right)$$
$$\delta_{max} = {w L^4 \over 8EI} \\ {x=L}$$
شیب:
$$\theta = - {wx \over 6EI} \left(3L^2 - 3Lx + x^2 \right)$$
$$\theta_{max} = {w L^3 \over 6EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V = +w (L - x)$$
$$V_{max} = +wL \\ {x=0}$$
گشتاور خمشی:
$$M = -{w (L-x)^2 \over 2}$$
$$M_{max} = -{w L^2 \over 2} \\ {x=0}$$
- تیرگیردار با بارگذاری یکنواخت مثلثی
تغییر شکل:
$$ \delta = -{w_1 x^2 \over 120 LEI} \left(10L^3 - 10 L^2 x + 5Lx^2 - x^3 \right)$$
$$\delta_{max} = {w_1 L^4 \over 30EI} \\ {x=L}$$
شیب:
$$\theta = - {w_1 L \over 24LEI} \left(4L^3 - 6 L^2 x + 4Lx^2 - x^3 \right)$$
$$\theta_{max} = {w_1 L^3 \over 24EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V_{max} = +{w_1 L \over 2} \\ {x=0}$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = -{w_1 L^2 \over 6 } \\ {x=0}$$
- تیرگیردار با گشتاور انتهایی
تغییر شکل:
$$\delta = - {M_0 x^2 \over 2EI}$$
$$\delta_{max} = {M_0 L^2 \over 2EI} \\ {x=L}$$
شیب:
$$\theta = - {M_0 x \over EI}$$
$$\theta_{max} = {M_0 L \over EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$${V = 0}$$
گشتاور خمشی:
$${M = - M_0}$$
تیرهای دوسر مفصل
- تیر ساده با بارگذاری میانی
تغییر شکل:
$$\delta = -{Fbx \over 6LEI} \left(L^2 - b^2 - x^2 \right) \\ (0 \le x \le a)$$
برای مقادیر a بزرگتر از b داریم:
$$\delta_{max} = {Fb (L^2 - b^2)^{3/2} \over 9 \sqrt{3} LEI} \\ {x = \sqrt{ {L^2 - b^2} \over 3}}$$
شیب:
$$\theta = -{Fb \over 6LEI} \left(L^2 - b^2 - 3x^2 \right) \\ (0 \le x \le a)$$
$$\theta_1 = -{Fab (L+b) \over 6LEI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = {Fab (L+a) \over 6LEI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V_1 = +{Fb \over L} \\ (0 \le x \le a)$$
$$V_2 = -{Fa \over L} \\ (a \le x \le L)$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = +{Fab \over L} \\ {x=a}$$
- تیر ساده با بارگذاری مرکزی
تغییر شکل:
$$\delta = -{Fx \over 48EI} \left(3L^2 - 4x^2 \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$\delta_{max} = {F L^3 \over 48EI} \\ {x=L/2}$$
شیب:
$$\theta = -{F \over 16EI} \left(L^2 - 4x^2 \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$\theta_1 = -{FL^2 \over 16EI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = +{FL^2 \over 16EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V_1 = +{F \over 2} \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$V_2 = -{F \over 2} \\ (L/2 \le x \le L)$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = {FL \over 4} \\ {x=L/2}$$
- تیر ساده با دو بارگذاری در فاصله برابر با مفصلها
تغییر شکل:
$$\delta = - {Fx \over 6EI} \left(3aL - 3a^2 - x^2 \right) \\ (0 \le x \le a)$$
$$\delta = - {Fa \over 6EI} \left(3Lx - 3x^2 - a^2 \right) \\ (a \le x \le L-a)$$
$$\delta_{max} = {Fa \over 24EI} \left(3L^2 - 4a^2 \right) \\ {x=L/2}$$
شیب:
$$\theta = - {F \over 2EI} \left(aL - a^2 - x^2 \right) \\ (0 \le x \le a)$$
$$\theta = - {Fa \over 2EI} \left(L - 2x \right) \\ (a \le x \le L - a)$$
$$\theta_1 = - { Fa (L - a) \over 2EI } \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = + { Fa (L - a) \over 2EI } \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V_1 = +F \\ (0 \le x \le a)$$
$$V_1 = -F \\ (L-a \le x \le L)$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = Fa \\ (a \le x \le L - a)$$
- تیر ساده با بارگذاری یکنواخت
تغییر شکل:
$$\delta = - {wx \over 24EI} \left(L^3 - 2Lx^2 + x^3 \right)$$
$$\delta_{max} = {5 w L^4 \over 384EI} \\ {x=L/2}$$
شیب:
$$\theta = - {w \over 24EI} \left(L^3 - 6Lx^2 + 4x^3 \right)$$
$$\theta_1 = -{wL^3 \over 24EI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = +{wL^3 \over 24EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V = w \left({L \over 2} - x \right)$$
$$V_1 = + {wL \over 2} \\ {x=0}$$
$$V_2 = - {wL \over 2} \\ {x=0}$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = {w L^2 \over 8} \\ {x=L/2}$$
- تیر ساده با گشتاور خمشی در هر مفصل
تغییر شکل:
$$\delta = - {M_0 x \over 2EI} \left(L - x \right)$$
$$\delta_{max} = {M_0 L^2 \over 8EI} \\ {x=L/2}$$
شیب:
$$\theta = - {M_0 \over 2EI} \left(L - 2x \right)$$
$$\theta_1 = - {M_0 L \over 2EI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = + {M_0 L \over 2EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V=0$$
گشتاور خمشی:
$$M = M_0$$
- تیر ساده با گشتاور خمشی در یک مفصل
تغییر شکل:
$$\delta = - {M_0 x \over 6LEI} \left( 2L^2 - 3Lx + x^2 \right)$$
$$\delta_{max} = {M_0 L^2 \over 9 \sqrt{3} EI} \\ x = L \left(1 - {\sqrt{3} \over 3} \right)$$
شیب:
$$\theta = - {M_0 \over 6LEI} \left(2L^2 - 6Lx + 3x^2 \right)$$
$$\theta_1 = - {M_0 L \over 3EI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = + {M_0 L \over 6EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V = - {M_0 \over L}$$
گشتاور خمشی:
$$M_{max} = M_0 \\ {x=0}$$
- تیر ساده با گشتاور خمشی در مرکز
تغییر شکل:
$$\delta = - {M_0 x \over 24LEI} \left(L^2 - 4x^2 \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
شیب:
$$\theta = - {M_0 \over 24LEI} \left(L^2 - 12x^2 \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$\theta_1 = - {M_0 L \over 24EI} \\ {x=0}$$
$$\theta_2 = - {M_0 L \over 24EI} \\ {x=L}$$
نیروی برشی:
$$V = + {M_0 \over L}$$
گشتاور خمشی:
$$M = {M_0 x \over L} \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$M_{max} = {M_0 \over 2} \\ {x = L/2}$$
تیرهای دو انتها گیردار
در ادامه، هریک از انواع تیرهای دو انتها گیردار را بررسی میکنیم.
- تیر دو انتها گیرداربا بارگذاری مرکزی
تغییر شکل:
$$\delta = -{Fx^2 \over 48EI} \left(3L - 4x \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$\delta_{max} = {F L^3 \over 192EI} \\ {x = L/2}$$
نیروی برشی:
$$V_1 = +{F \over 2} \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$V_2 = -{F \over 2} \\ (L/2 \le x \le L)$$
گشتاور خمشی:
$$M = {F \over 8} \left(4x - L \right) \\ (0 \le x \le L/2)$$
$$M_1 = M_3 = -{FL \over 8} \\ {x=0 \ و \ x=L }$$
$$M_2 = +{FL \over 8} \\ {x=L/2}$$
- تیر دو انتها گیردار با بارگذاری یکنواخت
تغییر شکل:
$$\delta = - {w x^2 \over 24EI} \left(L - x \right)^2$$
$$\delta_{max} = {w L^4 \over 384EI} \\ {x=L/2}$$
نیروی برشی:
$$V = w \left({L \over 2} - x \right)$$
$$V_1 = + {wL \over 2} \\ {x=0}$$
$$V_2 = - {wL \over 2} \\ {x=L}$$
گشتاور خمشی:
$$M = {w \over 12} \left(6Lx - 6x^2 - L^2 \right)$$
$$M_1 = M_3 = - {w L^2 \over 12} \\ {x=0 \ و \ x=L}$$
$$M_2 = - {w L^2 \over 24} \\ {x=L/2}$$
امیدواریم این مقاله برایتان مفید واقع شده باشد. اگر به مطالعه موضوعات مشابه علاقهمند هستید، مطالب زیر را به شما پیشنهاد میکنیم:
- مجموعه آموزش های مهندسی عمران
- آموزش مقاومت مصالح
- مجموعه آموزشهای دروس مهندسی مکانیک
- آموزش تنش و کرنش بارگذاری محوری در مقاومت مصالح
- مجموعه مقالات آشنایی با مفاهیم مقاومت مصالح و خواص مکانیکی مواد
^^
سلام. وقت بخیر.ممکنه بفرمایید منبع از چه کتابی نوشتید. ممنون
(بخش دوسر گیردا که نیروی یکنواخت وارد میشود.)
با سلام؛
منابع تمامی مطالب مجله فرادرس، در صورتیکه ترجمه باشند در انتهای مطلب و قبل از نام نویسنده آورده شدهاند.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس
سلام استاد عزیز..
سوالم این هست که اگر تیر دو سر ساده ای داشته باشیم که بار متمرکز در وسط اعمال نشده باشد و مثلا در یک سوم ابتدایی تیر اعمال شده باشد.. تغییر شکل ان از چه رابطه ای بدست می آید؟
جسارتا تیر دو سر مفصل نیاز به تحلیل نامعین داره و تیری که شما به این اسم تحلیل کردین تیر یک سر مفصل و سر دیگر غلتک هستش
سلام، وقت شما بخیر؛
مورد اصلاح شد. ممنون از توجه شما.
از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید از شما بسیار سپاسگزاریم.
سلام.اگر تیر ما یک سر ساده و یک سر گیردار بود فرمول تغییر شکل آن به چه صورت است؟؟