شتاب زاویه ای – به زبان ساده

هنگامی‌ که جسمی در یک مسیر دایره‌‌ای (نظیر چرخ ماشین یا یک DVD چرخان) حرکت می‌کند، سرعت و شتاب آن با میزان زاویه چرخش، اندازه‌گیری می‌شود. این سرعت و شتاب که بر حسب تغییرات زاویه بیان می‌شوند به سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه ای موسوم هستند. همان‌طور که می‌دانید، شتاب پارامتری است که چگونگی تغییرات سرعت (ثابت، کندشونده و یا تندشونده) را تعیین می‌کند.

در دو مقاله «سرعت زاویه‌ای -- به زبان ساده» و «حرکت دایره ای — به زبان ساده» با حرکت دایره‌ای یک جسم آشنا شدید و دیدید که سرعت یک جسم چرخان (طی حرکت دایره‌ای) بر حسب میزان تغییر زاویه بیان می‌شود. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید تا با زبانی ساده به محاسبه شتاب زاویه ای یک جسم بپردازیم.

محاسبه شتاب زاویه ای

در مقاله «حرکت با شتاب ثابت -- به زبان ساده» دیدیم که شتاب، مشتق زمانی سرعت است. در واقع شتاب پارامتری است که چگونگی تغییرات سرعت را تعیین می‌کند. به عبارت دیگر، اگر مشتق زمانی سرعت صفر باشد ($$a = 0$$)، به منزله حرکت جسم با سرعت ثابت است.

همچنین اگر مشتق زمانی سرعت عددی ثابت باشد (حرکت شتاب ثابت)، بسته به علامت شتاب و سرعت، حرکت تند شونده ($$a v > 0$$) و یا کند شونده ($$a v < 0$$) است. بدیهی است که اگر حاصل مشتق زمانی سرعت، عبارتی وابسته به زمان شد، حرکت از نوع شتاب متغیر است.

همان‌طور که می‌دانید، سرعت نیز تغییرات یا مشتق زمانی مکان است. به طور مثال سرعت $$10\ ( \frac{ m }{ s } )$$ بدین معنی است که جسم مذکور در مدت زمان ۱ ثانیه، مسافت ۱۰ متر را طی می‌کند. به طور خلاصه داریم:

$$\large a = \frac{ d v }{ d t } = \frac{ d^{ 2 } x }{ d t^{ 2 }}$$
(1)

حال فرض کنید جسم، حرکتی دایره‌ای شکل را طی می‌کند. می‌توانید یک نقطه ثابت روی یک DVD را در نظر بگیرید که درون دستگاه شما می‌چرخد. در این حالت، میزان تغییرات مکانی آن نقطه را می‌توان بر حسب زاویه بیان کرد. به طور مثال در مدت زمان یک ثانیه، چند درجه نسبت به مکان (زاویه) اولیه جا‌به‌جا شده است.

با این اوصاف طبق تعریف سرعت داریم:

$$\large v_{ angular } \equiv \omega ( t ) = \frac{d \theta ( t ) }{ d t }$$
(2)

سرعت فوق، به سرعت زاویه‌ای موسوم است. مشتق زمانی سرعت نیز، شتاب را تعیین می‌کند. پس شتاب زاویه‌ ای نیز به صورت زیر تعیین می‌شود:

$$\large a_{ angular } \equiv \alpha ( t ) = \frac{d \omega ( t ) }{ d t } = \frac{ d^{ 2 } \theta ( t ) }{ d t^{ 2 } }$$
(3)

شتاب زاویه‌ای در اکثر مراجع با نماد آلفا (α) نشان داده می‌شود. در حرکت دایره‌ای یکنواخت، همان‌طور که از واژه یکنواخت بر می‌آید، شتاب زاویه‌ای عددی ثابت است. اگر مقدار شتاب زاویه ای صفر باشد، سرعت زاویه‌ای ثابت بوده و جسم با سرعت ثابتی می‌چرخد. در واقع تمامی مباحثی که در حرکت روی خط راست برای یک جسم مطرح است، در حرکت دایره‌ای نیز مطرح بوده و تنها نیاز است که پارامتر‌های سرعت زاویه‌ای و شتاب زاویه‌ ای را جایگزین سرعت و شتاب معمولی کنیم.

به طور مثال فرض کنید که تغییرات زاویه‌ای یک جسم که حرکتی دایره‌ای انجام می‌دهد به صورت شکل زیر باشد.

بر اساس شکل فوق، تغییرات مکانی جسم برحسب زمان به صورت $$\theta ( t ) = 2 t^{ 3 }$$ است. دقت داشته باشید که تغییرات مکان خود برحسب زاویه است. به عبارت دیگر، تغییرات زاویه بر حسب زمان را در حرکت‌های زاویه‌ای در نظر می‌گیرند. در این صورت سرعت زاویه‌ای جسم به راحتی از رابطه (2) به صورت زیر قابل محاسبه است:

$$\large v_{ angular } \equiv \omega ( t ) = \frac{d \theta ( t ) }{ d t } = \frac{ d ( 2 t^{ 3 } ) }{ d t} = 6 t^{ 2 }$$
(4)

دقت داشته باشید که تغییرات زاویه برحسب رادیان (radian) بیان می‌شود. در واقع واحد سنجش سرعت زاویه‌ای، رادیان بر ثانیه ($$\frac{ rad }{ s }$$) است. لازم به ذکر است که تبدیل رادیان به درجه نیز به صورت زیر انجام می‌گیرد:

$$\large 1\ rad \times \frac{ 180 }{ \pi } = 57.296\ degree$$
(5)

حال با گرفتن مشتق زمانی از سرعت زاویه‌ای (رابطه ۴) می‌توانیم شتاب زاویه ای سیستم را به دست آوریم.

$$\large a_{ angular } \equiv \alpha ( t ) = \frac{d \omega ( t ) }{ d t } = \frac{ d ( 6 t^{ 2 } ) }{ d t } = 12 t\ \frac{ rad }{ s^{ 2 } }$$
(6)

همان‌طور که از رابطه فوق پیداست، شتاب زاویه ای سیستم مذکور ثابت نبوده و با زمان تغییر می‌کند. به طور مثال در زمان $$t = 6.5\ s$$، مقدار شتاب زاویه ای لحظه‌ای سیستم به صورت زیر است:

$$\large a_{ angular } \equiv \alpha ( t ) = 12t\ \rightarrow\ if:\ t = 6.5\ s\ \Rightarrow \alpha ( t ) = 78\ (\frac{ rad }{ s^{ 2 } })$$
(7)

شتاب زاویه ای متوسط

در حرکت روی خط مستقیم، می‌توانیم شتاب متوسط سیستم را به صورت زیر تعریف کنیم:

$$\large \overline{a} = \frac{ \triangle v }{ \triangle t}$$
(8)

مشابه با مفهوم و تعریف فوق، در حرکت‌های زاویه‌ای (حرکت دایره‌ای) نیز می‌توانیم شتاب زاویه ای متوسط را به صورت زیر محاسبه کنیم:

$$\large \overline{\alpha} = \frac{ \triangle \omega }{ \triangle t} = \frac{ \omega_{ f }\ - \omega_{ i } }{ t_{ f }\ - t_{ i } }$$
(9)

به طور مثال، اگر جسمی با سرعت زاویه‌ای اولیه صفر در مدت زمان ۴ ثانیه به سرعت زاویه‌ای $$160\ ( \frac{ rad }{ s } )$$ برسد، متوسط شتاب زاویه‌ای آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \overline{\alpha} = \frac{ \triangle \omega }{ \triangle t} = \frac{ \omega_{ f }\ - \omega_{ i } }{ t_{ f }\ - t_{ i } } = \frac{ 160\ ( \frac{ rad }{ s } )\ - 0\ ( \frac{ rad }{ s } ) }{ 4\ ( s ) } = 40\ ( \frac{ rad }{ s^{ 2 } } )$$
(10)

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های فیزیک
• آموزش فیزیک پایه ۱
• مجموعه آموزش‌های مهندسی مکانیک
• حرکت پرتابی — به زبان ساده
• معادله دیفرانسیل حرکت — از صفر تا صد
• طیف الکترومغناطیسی -- به زبان ساده