روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین

روش‌ها و فرمول‌های مختلفی برای جذر گرفتن سریع وجود دارد. تمام این روش‌ها، جذر عدد مورد نظر را به صورت تقریبی به دست می‌آورند. با این وجود، دقت اغلب آن‌ها با توجه به سرعت محاسبه‌شان، بسیار مناسب است. در این مطلب از مجله فرادرس، چند روش جذر گرفتن سریع را به همراه حل چندین مثال متنوع آموزش می‌دهیم. این روش‌ها، به شما کمک می‌کنند تا محاسبات خود را بدون نیاز به ماشین‌حساب، با سرعت خوب و با دقت بسیار بالا انجام دهید.

در مطلب «ضرب ذهنی و سریع»، ترفندهای ضرب سریع را آموزش دادیم. همراه ما باشید تا در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، روش جذر گرفتن سریع را نیز بیاموزید. در انتهای این مطلب، چندین تمرین متنوع را در قالب یک آزمون آورده‌ایم که می‌توانید ضمن پاسخگویی به آن‌ها و مشاهده روش حل هر یک، سطح یادگیری خود را بسنجید.

فرمول جذر گرفتن سریع

ساده‌ترین فرم فرمول جذر گرفتن سریع، به منظور محاسبه سریع ریشه دوم اعداد مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\sqrt { a ^ ۲ \pm b} = a \pm \frac { b } { ۲ \times a}$$

فرمول بالا را می‌توانیم به شکل زیر نیز بنویسیم:

$$\sqrt { a \pm b } = \sqrt { a } \pm \frac { b } { ۲ \sqrt { a } }$$

در مرحله اول استفاده از این فرمول، به دنبال نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به عدد زیر رادیکال می‌گردیم. به اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت حاصل‌ضرب یک عدد در خودش نمایش داد، مربع کامل می‌گویند. این عدد را به عنوان پارامتر $$a ^ ۲$$ در نظر می‌گیریم. سپس، اختلاف عدد زیر رادیکال با $$a ^ ۲$$ را به دست می‌آوریم. حاصل این اختلاف را به عنوان پارامتر $$b$$‌ در نظر می‌گیریم. در نهایت، پارامترهای $$a$$ و $$b$$ را درون فرمول قرار می‌دهیم. برای آشنایی با نحوه اجرای این فرآیند، به حل یک مثال می‌پردازیم.

مثال ۱: محاسبه تقریبی ریشه دوم یک عدد

در مطلب «جذر تقریبی و روش محاسبه آن» از مجله فرادرس، روش جذر گرفتن تقریبی را به همراه حل چندین مثال آموزش دادیم. در ادامه این مطلب، روش کلی محاسبه ریشه چندم یک عدد را به همراه حل مثال توضیح می‌دهیم.

فیلم مجموعه آموزش مفاهیم پایه ریاضی و هندسه – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

چگونه روش جذر گرفتن سریع را یاد بگیریم؟

انجام سریع محاسبات ریاضی، یکی از دغدغه‌های اصلی دانش‌آموزان و دانشجویان است. جلسات امتحانی، زمان محدودی دارند. به همین دلیل، نداشتن مهارت و دانش کافی در رابطه با ترفندهای محاسباتی، می‌تواند باعث از بین رفتن زمان و نرسیدن به نتیجه مطلوب شود. در صورت عدم دسترسی به ماشین‌حساب یا مجاز نبودن استفاده از ماشین‌حساب در امتحان، مواجهه با مسائل مرتبط با جذر گرفتن یا تعیین ریشه دوم، یک چالش جدی را برای دانش‌آموزان و دانشجویان به وجود آورد. البته با دانستن ترفندهای مناسب، جای هیچ نگرانی نخواهد بود. یکی از این ترفندها را در بخش قبلی معرفی کردیم. فرادرس، یک فیلم آموزشی بسیار مفید و کاربردی را تهیه کرده است که ترفندهایی زیادی را در زمینه انجام سریع عملیات‌های ریاضی نظیر محاسبه سریع ضرب، محاسبه سریع تقسیم، محاسبه سریع لگاریتم اعداد، محاسبه سریع مثلثات، محاسبه سریع جذر و غیره به شما آموزش می‌دهد. برای مشاهده این فیلم آموزشی، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

• فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی فرادرس

فرمول کلی جذر گرفتن سریع

برای محاسبه سریع ریشه‌های بالاتر از دو، می‌توان از فرمول تقریبی زیر استفاده کرد:

$$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$$

پارامترهای این فرمول عبارت هستند از:

• $$n$$: فرجه رادیکال
• $$a ^ n$$: نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که بتوان آن را به صورت حاصل $$n$$ مرتبه ضرب $$a$$ در خودش نمایش داد.
• $$b$$: عدد زیر رادیکال منهای $$a ^ n$$

این فرمول، فرم کلی فرمولی است که در بخش قبل معرفی کردیم. در آنجا، $$n$$‌ برابر با $$۲$$ بود. در ادامه، با حل یک مثال، نحوه استفاده از این فرمول را آموزش می‌دهیم.

مثال ۲: محاسبه تقریبی ریشه سوم یک عدد

در مطلب «جمع و تفریق ذهنی»، روش انجام سریع جمع و تفریق را آموزش دادیم. در ادامه، به توضیح یکی از ترفندهای جذر گرفتن سریع از اعداد مربع کامل می‌پردازیم.

دیگر روش محاسبه سریع ریشه دوم عدد

در بخش قبلی، فرمول جذر گرفتن سریع را معرفی کردیم. در این بخش می‌خواهیم یک روش و ترفند دیگر را برای انجام محاسبه سریع ریشه دوم اعداد به شما آموزش دهیم. در این روش، از مفهوم مربع کامل و میانگین کمک می‌‌گیریم.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

مراحل این روش عبارت هستند از:

1. پیدا کردن نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد زیر رادیکال
2. جذر گرفتن از عدد به دست آمده از مرحله ۱
3. تقسیم عدد زیر رادیکال بر مربع کامل به دست آمده از مرحله ۲
4. محاسبه میانگین عدد به دست آمده از مرحله ۲ و ۳

به عنوان مثال، عدد $$\sqrt { ۲۶ }$$ را در نظر بگیرید. برای به دست آوردن جواب تقریبی این عدد رادیکالی، مراحل بالا را طی می‌کنیم. به این ترتیب، در ابتدا، نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد زیر رادیکال را به دست می‌آوریم. این عدد، $$۲۵$$ است:

$$۲۵ = ۵ \times ۵ = ۵ ^ ۲$$

جذر عدد $$۲۵$$ برابر با $$۵$$ می‌شود. اکنون، عدد زیر رادیکال ($$۲۶$$) را بر عدد $$۵$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac { ۲۶ } { ۵ } = ۵/۲$$

در مرحله آخر، میانگین عدد بالا ($$۵/۲$$) و $$۵$$ را به دست می‌آوریم:

$$\frac { ۵/۲ + ۵ } { ۲ } = \frac { ۱۰/۲ } { ۲ } = ۵/۱$$

به این ترتیب، داریم:

$$\sqrt { ۲۶ } \approx ۵/۱$$

برای بررسی دقت این محاسبات تقریبی، عدد بالا را با عدد به دست آمده از ماشین‌حساب ($$\sqrt { ۲۶ } \approx ۵/۰۹۹$$) مقایسه می‌کنیم. همان‌طور که می‌بینید، این روش نیز مانند فرمول ارائه شده در ابتدای مقاله، از دقت خوبی برخوردار است.

فرادرس، یک فیلم آموزشی کاربردی را در زمینه انجام محاسبات سریع ریاضی تهیه کرده است که با مشاهده آن می‌توانید بسیاری از محاسبات پیچیده را به سرعت و با دقت مناسب انجام دهید. برای مشاهده این فیلم آموزشی، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

• فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی فرادرس

مثال ۳: محاسبه سریع ریشه دوم عدد سه رقمی

ترفند جذر گرفتن سریع از مربع کامل سه، چهار و پنج رقمی

دانش‌آموزان معمولا اعداد مربع کامل دو رقمی و ریشه‌های آن‌ها را حفظ می‌کنند. به عنوان مثال، اغلب دانش‌آموزان می‌دانند که عدد $$۶۴$$، مربع کامل عدد $$۸$$ است. با این وجود، حفظ کردن اعداد مربع کامل با رقم‌های بالا، دشوار به نظر می‌رسد.

به عنوان مثال، شاید کمتر دانش‌آموزی بداند $$۲۸۹$$، مربع کامل چه عددی است. در این بخش، قصد داریم ترفندی را معرفی کنیم که به شما کمک می‌کند تا به سرعت و بدون نیاز به ماشین حساب، جذر اعداد مربع کامل را به دست بیاورید. برای استفاده از این ترفند، به جدول زیر نیاز دارید.

وقتی عددی را به توان $$۲$$ برسانیم، با توجه به رقم یکان آن می‌توانیم رقم یکان مربع آن را تعیین کنیم (جدول بالا). به عنوان مثال، عدد $$۱۹$$ را در نظر بگیرید. رقم یکان این عدد، $$۹$$ است. بنابراین و بر اساس جدول بالا می‌توانیم بگوییم رقم یکان مربع آن برابر با $$۱$$ است. برای بررسی صحت این موضوع، مربع $$۱۹$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$۱۹ \times ۱۹ = ۳۶۱$$

رقم یکان مربع $$۱۹$$ (رقم یکان عدد $$۳۶۱$$) برابر با $$۱$$ است. با در نظر داشتن جدول بالا و نکاتی که گفته شد، به سراغ توضیح فرآیند روش جذر گرفتن سریع از اعداد مربع کامل و دارای سه رقم به بالا می‌پردازیم. به این منظور و به عنوان مثال، یک عدد سه رقمی مانند $$۷۲۹$$ را در نظر بگیرید. برای شروع گرفتن سریع جذر، دو رقم سمت راست این عدد را جدا می‌کنیم:

$$۷ \ \ \ \ \ \ ۲۹$$

سپس، به سوالات زیر پاسخ می‌دهیم:

• رقم یکان عدد دو رقمی سمت راست چیست؟ $$۹$$
• رقم یکان مربع کدامیک از اعداد برابر با $$۹$$ می‌شود؟ $$۳$$ و $$۷$$

به این ترتیب، می‌فهمیم رقم یکان جذر عدد $$۷۲۹$$، عدد $$۳$$ یا عدد $$۷$$ است. در مرحله بعد، به سوالات زیر پاسخ می‌دهیم:

• بخش دوم عدد جدا شده یا عدد سمت چپ چیست؟ $$۷$$
• این عدد در میان کدام دو مربع کامل قرار دارد؟ $$۲ ^ ۲ \lt ۷ \lt ۳ ^ ۳$$
• کوچک‌ترین مربع کامل در رابطه بالا چیست؟ $$۲ ^ ۲$$
• جذر این عدد چند است؟ $$\sqrt { ۲ ^ ۲ } = ۲$$

طی این فرآیند، رقم دهگان جذر عدد $$۷۲۹$$ را تعیین کردیم. بنابراین و با توجه به جواب مرحله قبل، جذر عدد $$۷۲۹$$ یکی از اعداد زیر است:

$$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۳$$

$$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۷$$

برای اینکه جواب درست را انتخاب کنیم، $$۲ ^ ۲ \lt ۷ \lt ۳ ^ ۳$$ را در نظر می‌گیریم. حاصل‌ضرب $$۲$$ در $$۳$$ (حاصل‌ضرب جذر مربعات) برابر است با:

$$۲ \times ۳ = ۶$$

عدد میانی (عدد $$۷$$)، بزرگ‌تر از این عدد است:

$$۷ \gt ۶$$

بنابراین، از میان $$۲۳$$ و $$۲۷$$، عدد بزرگ‌تر را انتخاب می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۷ \ \ \ \checkmark$$

شاید فرآیند بالا کمی پیچیده و سردرگم‌کننده به نظر بیاید اما با انجام چند مثال، به راحتی آن را درک کرده بر روی آن تسلط پیدا خواهید کرد.

مثال ۴: محاسبه سریع جذر عدد چهار رقمی

تمرین و آزمون سنجش یادگیری جذر گرفتن سریع

در بخش انتهایی این مطلب از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث محاسبه سریع جذر را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای و حل چندین تمرین می‌سنجیم.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.