تحلیل تنش های برشی در تیرهای دایره ای – با مثال های کاربردی

در مبحث «تحلیل تنش برشی در تیرهای مستطیلی»، مراحل تعیین مؤلفه‌های تنش برشی، محاسبه گشتاور اول و مشخص کردن نحوه توزیع تنش‌های برشی در تیرهایی با سطح مقطع مستطیلی را مورد بررسی قرار دادیم. به علاوه، یکی از رابطه‌های مهم در حوزه تحلیل تنش‌های برشی موجود در تیرها، یعنی رابطه برش را نیز معرفی کردیم. در ادامه مبحث مذکور، تنش‌های برشی موجود در تیرهایی با سطح مقطع دایره‌ای (توپر و توخالی) را مورد ارزیابی قرار خواهیم داد. علاوه بر این، به منظور آشنایی با نحوه تحلیل تیرهای دایره ای به تشریح یک مثال خواهیم پرداخت.

سطح مقطع دایره‌ای

اگر یک تیر مانند شکل زیر دارای سطح مقطع دایره‌ای باشد، فرض موازی بودن تنش‌های برشی با محور y صحیح نخواهد بود. به عنوان مثال، نقطه m بر روی مرز سطح مقطع تیر زیر را در نظر بگیرید.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

به سادگی می‌توان اثبات کرد که تنش برشی τ بر روی این نقطه به صورت مماس بر مرز مقطع اعمال می‌شود. چراکه در این شرایط مشاهده می‌شود که سطح خارجی تیر خالی از تنش است و تنش برشی اعمال شده بر روی مقطع عرضی هیچ مؤلفه‌ای در جهت شعاعی ندارد.

در تحلیل تیرهای دایره‌ای هیچ راه ساده‌ای برای تعیین تنش‌های برشی اعمال شده بر روی کل سطح مقطع وجود ندارد. اگرچه، با در نظر گرفتن یک سری فرضیات معقول در مورد توزیع تنش می‌توان مقدار تنش‌های برشی بر روی محور خنثی را به دست آورد. به این منظور فرض می‌کنیم که این تنش‌ها در راستای موازی با محور y اعمال می‌شوند و شدت آن‌ها بر روی عرض تیر (از نقطه p تا نقطه q در شکل بالا) ثابت است. به دلیل یکسان بودن فرضیات مذکور با فرضیات به کار گرفته شده در رابطه برش (τ=VQ/lb) می‌توان از این رابطه برای محاسبه تنش‌های موجود در محور خنثی استفاده کرد. برای این کار باید کمیت‌های زیر را به عنوان خصوصیات یک تیر دایره‌ای با شعاع r به کار برد:

I: ممان اینرسی سطح مقطع دایره‌ای؛ Q: گشتاور اول؛ b: قطر سطح مقطع

با جایگذاری عبارت‌های بالا در رابطه برش، تنش برشی ماکسیمم به دست می‌آید:

A=πr²: مساحت سطح مقطع

معادله بالا نشان می‌دهد که تنش برشی ماکسیمم در یک تیر دایره‌ای، 4/3 برابر میانگین تنش برشی عمودی (V/A) است.

لوله‌های دایره‌ای

برای تحلیل یک تیر دایره‌ای توخالی (مانند شکل زیر) نیز باید فرض کنیم که تنش‌های برشی موجود در محور خنثی با محور y موازی هستند و به صورت یکنواخت بر روی مقطع عرضی توزیع شده‌اند. بنابراین، در این مورد نیز می‌توان از رابطه برش برای تعیین تنش‌های ماکسیمم استفاده کرد. خصوصیات این نوع تیر برابر است با:

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

r₁: شعاع داخلی سطح مقطعی؛ r₂: شعاع خارجی سطح مقطع

با در نظر گرفتن خصوصیات بالا داریم:

که در آن:

توجه داشته باشید که اگر r₁=0 باشد، رابطه معرفی شده در این بخش به رابطه معرفی شده برای تیرهای دایره‌ای توپر تبدیل می‌شود.

نکته نهایی

با وجود تقریبی بودن روابط ارائه شده برای تعیین تنش‌های برشی در تیرهای دایره‌ای، این روش اختلاف کمی با روش‌های دقیق مبتنی بر تئوری الاستیسیته دارد. به همین دلیل، در شرایط عادی می‌توان از این روابط برای محاسبه تنش‌های برشی ماکسیمم در تیرهایی با سطح مقطع دایره‌ای استفاده کرد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

مثال

یک میله دایره‌ای توخالی با قطر خارجی d₂=4.0in و قطر داخلی d₁=3.2in مطابق شکل زیر تحت بار افقی P=1500lb قرار دارد. با توجه به اطلاعات مسئله، موارد زیر را تعیین کنید.

• الف) تنش برشی ماکسیمم در میله
• ب) قطر معادل d₀ برای یک میله دایره‌ای توپر با تنش برشی ماکسیمم و بار مشابه

تنش برشی ماکسیمم

با توجه به روابط معرفی شده، برای یک میله دایره‌ای توخالی با مساحت سطح مقطع (A=π(r₂²- r₁² که نیروی برشی V=P به آن وارد می‌شود؛ داریم:

با جایگذاری مقادیر عددی خواهیم داشت:

این مقدار، حداکثر تنش برشی موجود در میله مورد تحلیل است.

قطر میله دایره‌ای توپر

با توجه به روابط معرفی شده، برای یک میله دایره‌ای توپر داریم:

با حل رابطه بالا بر حسب d₀ خواهیم داشت:

در نتیجه:

در این مثال، قطر میله توپر حدود نصف میله توخالی شد.

توجه: تنش‌های برشی معمولاً نقشی در کنترل طراحی تیرهای فلزی (فولادی و آلومینیومی) با سطح مقطع دایره‌ای یا مستطیلی ندارند. در این نوع تیرها، معمولاً تنش برشی مجاز در بازه 25 تا 50 درصد تنش کششی مجاز قرار می‌گیرد. در مورد میله توخالی مشاهده کردیم که تنش برشی ماکسیمم فقط 658psi است. در طرف مقابل، اگر تنش خمشی ماکسیمم را با استفاده از رابطه پیچش برای یک میله با طول 24 اینچ به دست آوریم، مقدار آن 9700psi می‌شود. بنابراین، با افزایش بار اعمال شده، حد تنش کششی مجاز بسیار کمتر از حد تنش برشی مجاز خواهد بود. شرایط تشریح شده برای موادی با مقاومت برشی کم بسیار متفاوت است. به عنوان مثال در تیرهای چوبی، تنش مجاز در هنگام اعمال برش افقی حدود 4 تا 10 درصد تنش خمشی مجاز خواهد بود. از این‌رو، با وجود پایین بودن مقدار تنش برشی مجاز، طراحی تیر باید با توجه به این کمیت صورت گیرد.

^^