قانون جهانی گرانش نیوتن — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره مفاهیم مربوط به گرانش نیوتن بحث کردیم. در این آموزش، قانون جهانی گرانش نیوتن را با تفصیل بررسی می‌کنیم.

نیروی گرانش و پتانسیل گرانشی

قانون جهانی گرانش نیوتن یا قانون گرانش عمومی نیوتن را آیزاک نیوتن (۱۷۲۷-۱۶۴۳) بیان و در سال ۱۶۸۷ منتشر کرد. طبق این قانون، دو جسم، یکدیگر را با نیرویی که با جرم آن‌ها و عکس مجذور فاصله آن‌ها رابطه مستقیم دارد، جذب می‌کنند:

$$\large F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}.$$

فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – گرانش و نوسان در فرادرس

کلیک کنید

در فرمول بالا، $$r$$ فاصله بین مرکز جرم دو جسم، $$m_1$$ و $$m_2$$ جرم و $$G=6,67 \times {10^{ – 11}}{\large\frac{{{\text{m}^3}}}{{\text{kg} \cdot {\text{s}^2}}}\normalsize}$$ ثابت گرانش است.

نیروی جاذبه گرانشی، یک نیروی مرکزی است، یعنی در جهت خطی است که مراکز جسم‌ها را به یکدیگر متصل می‌کند.

در سیستمی با دو جسم (شکل بالا)، نیروی جاذبه $$\mathbf{F}_{12}$$ جسم دوم، بر جسم جسم اول به جرم $$m_1$$ اعمال می‌شود. به‌طور مشابه، نیروی جاذبه $$\mathbf{F}_{21}$$ جسم اول، روی جسم دوم به جرم $$m_2$$ تأثیر می‌گذارد. دو نیروی $$\mathbf{F}_{12}$$ و $$\mathbf{F}_{۲۱}$$، برابر و در جهت $$\mathbf{r}$$ هستند:

$$\large \mathbf{r} = {\mathbf{r}_2} – {\mathbf{r}_1}.$$

با استفاده از قانون دوم نیوتن، می‌توانیم معادلات دیفرانسیل زیر را بنویسیم که حرکت هر جسم را توصیف می‌کنند:

$$\large {{m_1}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt {{m_2}\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}}$$

یا

$$\large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} = G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;\;}\kern-0.3pt {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.}$$

از دو معادله اخیر می‌توان نتیجه گرفت:

$$\large {\frac{{{d^2}{\mathbf{r}_1}}}{{d{t^2}}} – \frac{{{d^2}{\mathbf{r}_2}}}{{d{t^2}}} }={ G\frac{{{m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r} + G\frac{{{m_1}}}{{{r^3}}}\mathbf{r},\;\;}\\ \large \Rightarrow {\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = -G\frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}.}$$

این معادله دیفرانسیل، تغییرات بردار $$\mathbf{r}\left( t \right)$$، یعنی حرکت نسبی دو جسمِ تحت تأثیرِ نیروی جاذبه گرانشی را توصیف می‌کند.

اگر اختلاف جرم دو جسم، بزرگ باشد، می‌توان از جسم کوچکتر در سمت راست معادله صرف‌نظر کرد. برای مثال، جرم خورشید $$333,000$$ برابر بزرگتر از جرم زمین است. در این حالت، معادله به فرم ساده زیر درمی‌آید:

$$\large \frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{M_\text{S}}}}{{{r^3}}}\mathbf{r}$$

که در آن، $${M_\text{S}}$$ جرم خورشید است.

تعامل گرانشی اجسام، در یک میدان گرانشی رخ می‌دهد که آن را با پتانسیل اسکالر $$\varphi$$ توصیف می‌کنیم. کنش نیرو بر جسمی به جرم $$m$$ در یک میدان با پتانسیل $$\varphi$$، برابر است با:

$$\large {\mathbf{F} = m\mathbf{a} }={ – m\,\mathbf{\text{grad}}\,\varphi .}$$

برای جرم ذره‌ای $$M$$، پتانسیل میدان گرانشی با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$\large \varphi = – \frac{{GM}}{r}.$$

این فرمول، برای اجسام توزیع‌شده با تقارن مرکزی (مانند یک سیاره یا ستاره) نیز معتبر است.

قوانین کپلر

قوانین اساسی حرکت سیاره‌ای را یوهان کپلر (۱۶۳۰-۱۵۷۱) بر اساس تحلیل مشاهدات نجومی تیکو براهه (1601-1546) ارائه کرد. کپلر در سال 1609، دو قانون اول را فرمول‌بندی کرد. قانون سوم نیز در سال 1619 وضع شد. بعدها در اواخر قرن 17، نیوتن با ریاضیات ثابت کرد هر سه قانون کپلر، نتیجه قانون جهانی گرانش است.

فیلم آموزش فیزیک 1 دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

قانون اول کپلر

مدار چرخش هر سیاره در منظومه شمسی، یک بیضی با کانون خورشید است.

قانون دوم کپلر

بردار شعاعی اتصال خورشید و سیاره، مساحت مساوی را در فواصل زمانی برابر نشان می‌دهد. شکل زیر، دو قسمت از بیضی را نمایش می‌دهد که مربوط به فواصل زمانی مشابه است. طبق قانون دوم کپلر، مساحت این قسمت‌ها برابر است.

قانون سوم کپلر

مربع دوره تناوب چرخش یک سیاره، با مکعب نیم‌قطر بزرگ مدار چرخش، متناسب است:

$$\large {T^2} \propto {a^3}.$$

ضریب تناسب، برای همه سیاره‌های منظومه شمسی برابر است. بنابراین، برای هر دو سیاره می‌توان رابطه زیر را نوشت:

$$\large \frac{{T_2^2}}{{T_1^2}} = \frac{{a_2^3}}{{a_1^3}}.$$

مثال

یک جسم کیهانی، متأثر از نیروی جاذبه گرانشی، از حالت سکون به سمت زمین شروع به سقوط می‌کند. فاصله اولیه این جسم با مرکز زمین برابر $$L$$ است. سرعت و زمان سقوط را تعیین کنید.

فیلم آموزش فیزیک پایه 1 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

حل: حرکت جسم، در یک خط مستقیم به طرف مرکز زمین رخ می‌دهد. با دانستن اینکه وزن جسم بسیار کوچکتر از وزن زمین است، معادله دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large \frac{{{d^2}r}}{{d{t^2}}} = – G\frac{{{M_\text{E}}}}{{{r^2}}}$$

که در آن، $${M_\text{E}}$$ جرم زمین است.

معادله دیفرانسیل بالا، به‌فرم $$y^{\prime\prime} = f\left( y \right)$$ است و می‌توان با استفاده از کاهش مرتبه آن را حل کرد. بنابراین، تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$\large {\frac{{{d^2}r}}{{d{t^2}}} = \frac{{dv}}{{dt}} }={ \frac{{dv}}{{dr}}\frac{{dr}}{{dt}} }={ v\frac{{dv}}{{dr}},}$$

که منجر به معادله مرتبه اول زیر خواهد شد:

$$\large v\frac{{dv}}{{dr}} = – G\frac{{{M_\text{E}}}}{{{r^2}}}.$$

با استفاده از جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری از معادله فوق، در شرایط اولیه $$v\left( {r = L} \right) = 0$$ داریم:

$$\large {vdv = – G{M_\text{E}}\frac{{dr}}{{{r^2}}},\;\;}\Rightarrow {\int {vdv} = – G{M_\text{E}}\int {\frac{{dr}}{{{r^2}}}} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\frac{{{v^2}}}{2} = \frac{{G{M_\text{E}}}}{r} + {C_1},\;\;}\Rightarrow {v = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{r} + {C_1}} .}$$

با اعمال شرایط اولیه، معادله به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large {0 = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{L} + {C_1}} ,\;\;}\Rightarrow {{C_1} = – \frac{{2G{M_\text{E}}}}{L},\;\;}\\ \large \Rightarrow {v = \sqrt {2G{M_\text{E}}\left( {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} \right)} .}$$

در حالت حدی $$L \to \infty$$، فرمول سرعت به رابطه زیر کاهش می‌یابد:

$$\large v = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{r}} .$$

این عبارت را می‌توان با کمک شتاب گرانشی $$g = {\large\frac{{G{M_\text{E}}}}{{R_\text{E}^2}}\normalsize}$$ بازنویسی کرد که در آن، $${R_\text{E}}$$ شعاع زمین است:

$$\large {v = \sqrt {\frac{{2G{M_\text{E}}}}{r}} }={ \sqrt {\frac{{2gR_\text{E}^2}}{r}} .}$$

در نتیجه، با فرض اینکه جسم از بی‌نهایت می‌آید، سرعت آن هنگام برخورد با زمین به‌صورت زیر است:

$$\large {v\left( {r = {R_\text{E}}} \right) = \sqrt {\frac{{2gR_\text{E}^2}}{{{R_1}}}} }={ \sqrt {2g{R_\text{E}}} }$$

یعنی تقریباً برابر با سرعت گریز $$v \approx 10,2\,\large\frac{\text{km}} {\text{s}}\normalsize$$.

برای یک مقدار محدود $$L$$، سرعت نهایی جسم، کمتر از سرعت گریز به‌دست می‌آید:

$$\large {v\left( {r = {R_\text{E}}} \right) }={ \sqrt {2G{M_\text{E}}\left( {\frac{1}{{{R_\text{E}}}} – \frac{1}{L}} \right)} } \\ \large = {\sqrt {2gR_\text{E}^2\left( {\frac{1}{{{R_\text{E}}}} – \frac{1}{L}} \right)} } = {\sqrt {2g{R_\text{E}}\left( {1 – \frac{{{R_\text{E}}}}{L}} \right)} } \\ \large = {\sqrt {2g{R_\text{E}}} \sqrt {1 – \frac{{{R_\text{E}}}}{L}} .}$$

اکنون زمان سقوط جسم را با این فرض تعیین می‌کنیم که فاصله اولیه آن از مرکز زمین، برابر $$L$$ باشد. از آن‌جایی که $${\large\frac{{dr}}{{dt}}\normalsize} = – v$$، معادله دیفرانسیل زیر برای توصیف حرکت جسم در طول محور شعاعی به‌دست می‌آید:

$$\large {\frac{{dr}}{{dt}} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2g} \sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\frac{{dr}}{{\sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} }} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2g} dt,}$$

که در آن، فاصله $$r$$ از $$L$$ تا $$R_E$$ تغییر می‌کند.

برای انتگرال‌گیری از معادله اخیر، از تغییر متغیر استفاده کرده و آن را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large {\frac{1}{r} – \frac{1}{L} = {z^2},\;\;}\Rightarrow {\frac{1}{r} = {z^2} + \frac{1}{L},\;\;}\\ \large \Rightarrow { – \frac{1}{{{r^2}}}dr = 2zdz,\;\;}\Rightarrow {\frac{1}{{{r^2}}}dr = – 2zdz,\;\;}\\ \large \Rightarrow {{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)^2}dr = – 2zdz,\;\;}\\ \large \Rightarrow {dr = – \frac{{2zdz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}}}.}$$

در نتیجه، معادله را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$$\large {{- \frac{{2zdz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}z}} }={ – {R_\text{E}}\sqrt {2g} dt,\;\;}}\\ \large \Rightarrow {{2\int {\frac{{dz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}}}} }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} t + C.}}$$

حاصل انتگرال زیر را از قبل می‌دانیم:

$$\large {\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}} }={ \frac{x}{{2{a^2}\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}} }+{ \frac{1}{{2{a^3}}}\arctan \frac{x}{a}.} }$$

بنابراین، در این مسئله می‌توان نوشت:

$$\large {\int {\frac{{dz}}{{{{\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}^2}}}} } = {\frac{z}{{\frac{2}{L}\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}} }+{ \frac{{{L^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{2}\arctan \left( {z\sqrt L } \right).}$$

با جایگذاری حاصل انتگرال، داریم:

$$\large {{2\left[ {\frac{z}{{\frac{2}{L}\left( {{z^2} + \frac{1}{L}} \right)}} }\right.}+{\left.{ \frac{{{L^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}}}{2}\arctan \left( {z\sqrt L } \right)} \right] }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} t + C,\;\;}}\\ \large \Rightarrow {{\frac{{zL}}{{{z^2} + \frac{1}{L}}} }+{ {L^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}\arctan \left( {z\sqrt L } \right) }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} t + C.}}$$

اکنون متغیر $$z$$ را به متغیر $$r$$ تبدیل باز می‌گردانیم:

$$\large {{\frac{{L\sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} }}{{\frac{1}{r}}} }+{ {L^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}\arctan \left( {\sqrt L \sqrt {\frac{1}{r} – \frac{1}{L}} } \right) }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} t + C,\;\;}}\\ \large \Rightarrow {{r\sqrt L \sqrt {\frac{L}{r} – 1} }+{ {L^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}\arctan \sqrt {\frac{L}{r} – 1} }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} t + C.}}$$

با در نظر گرفتن شرایط اولیه $$r\left( {t = 0} \right) = L$$، ثابت $$C$$ برابر با صفر به‌دست می‌آید. از آنجا که در لحظه برخورد با زمین، شرط $$r\left( {t = T} \right) = {R_\text{E}}$$ را داریم، می‌توان زمان سقوط را به‌صورت زیر محاسبه کرد:

$$\large {{{R_\text{E}}\sqrt L \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }+{ {L^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }={ {R_\text{E}}\sqrt {2g} T,\;\;}}\\ \large \Rightarrow {{ T = \frac {1}{{R_\text{E}}\sqrt {2g}}\cdot }\kern0pt{ {\left[{ {R_\text{E}}\sqrt L \sqrt{\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right.}+{\left.{ {L^{\frac{3}{2}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right]}. }}$$

پس از اندکی ساده‌سازی، فرمول دقیق نهایی زمان سقوط را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {T = \sqrt {\frac{L}{{2g}}} \left[ {\sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} }\right.}+{\left.{ \frac{L}{{{R_\text{E}}}}\arctan \sqrt {\frac{L}{{{R_\text{E}}}} – 1} } \right].}$$

در حالتی که نسبت $${\large\frac{L}{{{R_\text{E}}}}\normalsize}$$ بسیار بزرگ باشد (در این حالت، تابع $$\arctan$$ به $$\large\frac{\pi }{2}\normalsize$$ میل می‌کند)، عبارت ساده زیر را داریم:

در این‌جا، برای مثال، با استفاده از فرمول، زمان سقوط از فاصله $$100,000$$ کیلومتری را به‌دست می‌آوریم:

$$\large {T \approx\;}\kern0pt{ \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{L}{{2g}}} \frac{L}{{{R_\text{E}}}} } = {\frac{\pi }{2} \cdot \sqrt {\frac{{{{10}^8}}}{{2 \cdot 10}}} \cdot \frac{{{{10}^8}}}{{6,4 \cdot {{10}^6}}} } \approx {54,900\;\text{sec} }={ 15,2\;\text{hours}.}$$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش مکانیک تحلیلی ۱
• حرکت دایره ای — به زبان ساده

^^