روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین

۶۰۴ بازدید

آخرین به‌روزرسانی: ۱۸ اردیبهشت ۱۴۰۳

زمان مطالعه: ۱۲ دقیقه

روش جذر گرفتن سریع – به زبان ساده با مثال و تمرین

روش‌ها و فرمول‌های مختلفی برای جذر گرفتن سریع وجود دارد. تمام این روش‌ها، جذر عدد مورد نظر را به صورت تقریبی به دست می‌آورند. با این وجود، دقت اغلب آن‌ها با توجه به سرعت محاسبه‌شان، بسیار مناسب است. در این مطلب از مجله فرادرس، چند روش جذر گرفتن سریع را به همراه حل چندین مثال متنوع آموزش می‌دهیم. این روش‌ها، به شما کمک می‌کنند تا محاسبات خود را بدون نیاز به ماشین‌حساب، با سرعت خوب و با دقت بسیار بالا انجام دهید.

فهرست مطالب این نوشته

فرمول جذر گرفتن سریع

چگونه روش جذر گرفتن سریع را یاد بگیریم؟

فرمول کلی جذر گرفتن سریع

دیگر روش محاسبه سریع ریشه دوم عدد

ترفند جذر گرفتن سریع از مربع کامل سه، چهار و پنج رقمی

تمرین و آزمون سنجش یادگیری جذر گرفتن سریع

در مطلب «ضرب ذهنی و سریع»، ترفندهای ضرب سریع را آموزش دادیم. همراه ما باشید تا در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، روش جذر گرفتن سریع را نیز بیاموزید. در انتهای این مطلب، چندین تمرین متنوع را در قالب یک آزمون آورده‌ایم که می‌توانید ضمن پاسخگویی به آن‌ها و مشاهده روش حل هر یک، سطح یادگیری خود را بسنجید.

فرمول جذر گرفتن سریع

ساده‌ترین فرم فرمول جذر گرفتن سریع، به منظور محاسبه سریع ریشه دوم اعداد مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول، به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sqrt { a ^ ۲ \pm b} = a \pm \frac { b } { ۲ \times a}$

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

فرمول بالا را می‌توانیم به شکل زیر نیز بنویسیم:

$\sqrt { a \pm b } = \sqrt { a } \pm \frac { b } { ۲ \sqrt { a } }$

در مرحله اول استفاده از این فرمول، به دنبال نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به عدد زیر رادیکال می‌گردیم. به اعدادی که بتوان آن‌ها را به صورت حاصل‌ضرب یک عدد در خودش نمایش داد، مربع کامل می‌گویند. این عدد را به عنوان پارامتر $a ^ ۲$ در نظر می‌گیریم. سپس، اختلاف عدد زیر رادیکال با $a ^ ۲$ را به دست می‌آوریم. حاصل این اختلاف را به عنوان پارامتر $b$ ‌ در نظر می‌گیریم. در نهایت، پارامترهای $a$ و $b$ را درون فرمول قرار می‌دهیم. برای آشنایی با نحوه اجرای این فرآیند، به حل یک مثال می‌پردازیم.

مثال ۱: محاسبه تقریبی ریشه دوم یک عدد

ریشه دوم عدد $۱۸$ را با استفاده از فرمول محاسبه تقریبی و سریع جذر به دست بیاورید.

مشاهده جواب

منظور از ریشه دوم عدد $۱۸$ ، حاصل عدد رادیکالی زیر است:

$\sqrt { ۱۸ }$

برای به دست آوردن سریع و تقریبی ریشه دوم عدد بالا، فرمول زیر را می‌نویسیم:

$\sqrt { a ^ ۲ \pm b} = a \pm \frac { b } { ۲ \times a}$

در این فرمول، داریم:

$a ^ ۲$ : نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به عدد زیر رادیکال
$b$ : اختلاف عدد زیر رادیکال با $a ^ ۲$

عدد زیر رادیکال برابر با $۱۸$ است. نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به $۱۸$ ، عدد $۱۶$ است. عدد $۱۶$ ، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد $۴$ نمایش داد. بنابراین:

$a ^ ۲ = ۱۶ \to \ a = ۴$

اکنون، اختلاف عدد زیر رادیکال $۱۸$ با $a ^ ۲$ را به دست می‌آوریم:

$۱۸ - ۱۶ = ۲$

این عدد را به عنوان پارامتر $b$ در نظر می‌گیریم:

$b = ۲$

مقادیر $a$ و $b$ را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$\sqrt { ۱۸ } = \sqrt { ۴ ^ ۲ + ۲} = ۴ + \frac { ۲ } { ۲ \times ۴}$

$\sqrt { ۱۸ } = ۴ + \frac { ۲ } { ۸} = ۴ + \frac ۱ ۴$

$\sqrt { ۱۸ } = ۴ + ۰/۲۵$

$\sqrt { ۱۸ } = ۴/۲۵$

بنابراین، ریشه دوم عدد $۱۸$ یا همان رادیکال $۱۸$ ، تقریبا برابر با $۴/۲۵$ است. اگر رادیکال $۱۸$ را درون ماشین‌حساب وارد کنیم، به عدد $۴/۲۴$ می‌رسیم. همان‌طور که می‌بینید، این عدد به عدد به دست آمده از فرمول تقریبی، بسیار نزدیک است.

در مطلب «جذر تقریبی و روش محاسبه آن» از مجله فرادرس، روش جذر گرفتن تقریبی را به همراه حل چندین مثال آموزش دادیم. در ادامه این مطلب، روش کلی محاسبه ریشه چندم یک عدد را به همراه حل مثال توضیح می‌دهیم.

چگونه روش جذر گرفتن سریع را یاد بگیریم؟

طراحی علائم عملیات های اصلی ریاضی روی یک طرح سرعت سنج در کنار عنوان آموزش محاسبات سریع ریاضی — برای مشاهده فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی در فرادرس، بر روی تصویر کلیک کنید.

انجام سریع محاسبات ریاضی، یکی از دغدغه‌های اصلی دانش‌آموزان و دانشجویان است. جلسات امتحانی، زمان محدودی دارند. به همین دلیل، نداشتن مهارت و دانش کافی در رابطه با ترفندهای محاسباتی، می‌تواند باعث از بین رفتن زمان و نرسیدن به نتیجه مطلوب شود. در صورت عدم دسترسی به ماشین‌حساب یا مجاز نبودن استفاده از ماشین‌حساب در امتحان، مواجهه با مسائل مرتبط با جذر گرفتن یا تعیین ریشه دوم، یک چالش جدی را برای دانش‌آموزان و دانشجویان به وجود آورد. البته با دانستن ترفندهای مناسب، جای هیچ نگرانی نخواهد بود. یکی از این ترفندها را در بخش قبلی معرفی کردیم. فرادرس، یک فیلم آموزشی بسیار مفید و کاربردی را تهیه کرده است که ترفندهایی زیادی را در زمینه انجام سریع عملیات‌های ریاضی نظیر محاسبه سریع ضرب، محاسبه سریع تقسیم، محاسبه سریع لگاریتم اعداد، محاسبه سریع مثلثات، محاسبه سریع جذر و غیره به شما آموزش می‌دهد. برای مشاهده این فیلم آموزشی، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی فرادرس

فرمول کلی جذر گرفتن سریع

برای محاسبه سریع ریشه‌های بالاتر از دو، می‌توان از فرمول تقریبی زیر استفاده کرد:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

پارامترهای این فرمول عبارت هستند از:

$n$ : فرجه رادیکال
$a ^ n$ : نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که بتوان آن را به صورت حاصل $n$ مرتبه ضرب $a$ در خودش نمایش داد.
$b$ : عدد زیر رادیکال منهای $a ^ n$

این فرمول، فرم کلی فرمولی است که در بخش قبل معرفی کردیم. در آنجا، $n$ ‌ برابر با $۲$ بود. در ادامه، با حل یک مثال، نحوه استفاده از این فرمول را آموزش می‌دهیم.

یک پسر نشسته پشت میز با کتاب و کاغذ روی میز در حال فکر کردن به ماشین حساب و رعد و برق

مثال ۲: محاسبه تقریبی ریشه سوم یک عدد

ریشه سوم عدد $۷۳$ را به صورت سریع و تقریبی به دست بیاورید.

مشاهده جواب

به منظور محاسبه سریع و تقریبی ریشه سوم یک عدد، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

$n$ : فرجه رادیکال
$a ^ n$ : نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که بتوان آن را به صورت حاصل $n$ مرتبه ضرب $a$ در خودش نمایش داد.
$b$ : عدد زیر رادیکال منهای $a ^ n$

منظور از ریشه سوم عدد $۷۳$ ، رادیکال آن با فرجه $۳$ است که به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ }$

به این ترتیب، پارامتر $n$ برابر با $۳$ است. نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال ( $۷۳$ ) که بتوان آن را به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عددی مانند $a$ در خودش نمایش داد، عدد $۶۴$ است که می‌توان آن را به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عدد $۴$ در خودش نمایش داد:

$۶۴ = ۴ \times ۴ \times ۴ = ۴ ^ ۳$

بنابراین:

$a ^ ۳ = ۶۴$

$a = ۴$

پارامتر $b$ یا اختلاف عدد زیر رادیکال ( $۷۳$ ) منهای $۶۴$ برابر است با:

$b = ۷۳ - ۶۴ = ۹$

اکنون، تمام پارامترهای مورد نیاز برای محاسبه سریع و تقریبی ریشه سوم $۷۳$ را داریم. مقادیر این پارامترها را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

$n= ۳$
$a ^ ۳ = ۶۴$
$a = ۴$
$b = ۹$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ ^ ۳ + ۹ } = ۴ + \frac { ۹ } { ۳ \times ۴ ^ { ۳ - ۱ } }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ } = ۴ + \frac { ۳ } { ۱۶ }$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ } = ۴ + ۰/۱۸۷۵$

$\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ } = ۴/۱۸۷۵$

در صورت محاسبه $\sqrt [ ۳ ] { ۷۳ }$ در ماشین حساب، به عددی می‌رسیم که تقریبا برابر با $۴/۱۷۹۳$ است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، اختلاف چندانی بین عدد به دست آمده از فرآیند بالا و عدد محاسبه شده توسط ماشین حساب وجود ندارد. این اختلاف، نزدیک به $۰/۰۰۸$ (هشت‌هزارم) است.

در مطلب «جمع و تفریق ذهنی»، روش انجام سریع جمع و تفریق را آموزش دادیم. در ادامه، به توضیح یکی از ترفندهای جذر گرفتن سریع از اعداد مربع کامل می‌پردازیم.

دیگر روش محاسبه سریع ریشه دوم عدد

در بخش قبلی، فرمول جذر گرفتن سریع را معرفی کردیم. در این بخش می‌خواهیم یک روش و ترفند دیگر را برای انجام محاسبه سریع ریشه دوم اعداد به شما آموزش دهیم. در این روش، از مفهوم مربع کامل و میانگین کمک می‌‌گیریم.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

مراحل این روش عبارت هستند از:

پیدا کردن نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد زیر رادیکال
جذر گرفتن از عدد به دست آمده از مرحله ۱
تقسیم عدد زیر رادیکال بر مربع کامل به دست آمده از مرحله ۲
محاسبه میانگین عدد به دست آمده از مرحله ۲ و ۳

به عنوان مثال، عدد $\sqrt { ۲۶ }$ را در نظر بگیرید. برای به دست آوردن جواب تقریبی این عدد رادیکالی، مراحل بالا را طی می‌کنیم. به این ترتیب، در ابتدا، نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد زیر رادیکال را به دست می‌آوریم. این عدد، $۲۵$ است:

$۲۵ = ۵ \times ۵ = ۵ ^ ۲$

جذر عدد $۲۵$ برابر با $۵$ می‌شود. اکنون، عدد زیر رادیکال ( $۲۶$ ) را بر عدد $۵$ تقسیم می‌کنیم:

$\frac { ۲۶ } { ۵ } = ۵/۲$

در مرحله آخر، میانگین عدد بالا ( $۵/۲$ ) و $۵$ را به دست می‌آوریم:

$\frac { ۵/۲ + ۵ } { ۲ } = \frac { ۱۰/۲ } { ۲ } = ۵/۱$

به این ترتیب، داریم:

$\sqrt { ۲۶ } \approx ۵/۱$

برای بررسی دقت این محاسبات تقریبی، عدد بالا را با عدد به دست آمده از ماشین‌حساب ( $\sqrt { ۲۶ } \approx ۵/۰۹۹$ ) مقایسه می‌کنیم. همان‌طور که می‌بینید، این روش نیز مانند فرمول ارائه شده در ابتدای مقاله، از دقت خوبی برخوردار است.

یک دست با خودکار در حال نوشتن سریع با جلوه سرعت بالا در پس زمینه - روش جذر گرفتن سریع

فرادرس، یک فیلم آموزشی کاربردی را در زمینه انجام محاسبات سریع ریاضی تهیه کرده است که با مشاهده آن می‌توانید بسیاری از محاسبات پیچیده را به سرعت و با دقت مناسب انجام دهید. برای مشاهده این فیلم آموزشی، بر روی لینک زیر کلیک کنید:

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی فرادرس

مثال ۳: محاسبه سریع ریشه دوم عدد سه رقمی

مقدار $\sqrt { ۳۱۲ }$ را به صورت تقریبی محاسبه کنید.

مشاهده جواب

برای محاسبه تقریبی $\sqrt { ۳۱۲ }$ ، ابتدا به دنبال نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد زیر رادیکال $۳۱۲$ می‌گردیم. این عدد برابر با $۳۲۴$ است؛ زیرا:

$۲۸۹ \lt ۳۱۲ \lt ۳۲۴$

$۱۷ \times ۱۷ \lt ۳۱۲ \lt ۱۸ \times ۱۸$

توجه داشته باشید که پیدا کردن نزدیک‌ترین مربع کامل، نیاز به تمرین دارد و با آزمون و خطا انجام می‌شود. اکنون، از عدد به دست آمده، جذر می‌گیریم:

$\sqrt { ۳۲۴ } = ۱۸$

عدد زیر رادیکال مورد سوال را بر عدد بالا تقسیم می‌کنیم:

$\frac { ۳۱۲ } { ۱۸ } = ۱۷/۳۳$

میانگین این عدد با عدد $۱۸$ را به دست می‌آوریم:

$\frac { ۱۷/۳۳ ۱۸ } { ۲ } = \frac{ ۳۵/۳۳ } { ۲ } = ۱۷/۶۶۵$

به این ترتیب داریم:

$\sqrt { ۳۱۲ } \approx ۱۷/۶۶۵$

اگر عبارت $\sqrt { ۳۱۲ }$ را در ماشین‌حساب وارد می‌کردیم، به عدد $۱۷/۶۶۳$ می‌رسیدیم. تنها چالش احتمالی دانش‌آموزان در حل این مثال، انجام سریع تقسیم $\frac { ۳۱۲ } { ۱۸ }$ است. در مطالب قبلی مجله فرادرس، مطلبی با عنوان «تقسیم ذهنی و سریع» وجود دارد که ترفندهای محاسبه سریع تقسیم را به خوبی و با حل چندین مثال متنوع به شما آموزش می‌دهد.

ترفند جذر گرفتن سریع از مربع کامل سه، چهار و پنج رقمی

دانش‌آموزان معمولا اعداد مربع کامل دو رقمی و ریشه‌های آن‌ها را حفظ می‌کنند. به عنوان مثال، اغلب دانش‌آموزان می‌دانند که عدد $۶۴$ ، مربع کامل عدد $۸$ است. با این وجود، حفظ کردن اعداد مربع کامل با رقم‌های بالا، دشوار به نظر می‌رسد.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان مثال، شاید کمتر دانش‌آموزی بداند $۲۸۹$ ، مربع کامل چه عددی است. در این بخش، قصد داریم ترفندی را معرفی کنیم که به شما کمک می‌کند تا به سرعت و بدون نیاز به ماشین حساب، جذر اعداد مربع کامل را به دست بیاورید. برای استفاده از این ترفند، به جدول زیر نیاز دارید.

رقم یکان عدد	رقم یکان مربع عدد
۱	۱
۲	۴
۳	۹
۴	۶
۵	۵
۶	۶
۷	۹
۸	۴
۹	۱
۱۰	۰

وقتی عددی را به توان $۲$ برسانیم، با توجه به رقم یکان آن می‌توانیم رقم یکان مربع آن را تعیین کنیم (جدول بالا). به عنوان مثال، عدد $۱۹$ را در نظر بگیرید. رقم یکان این عدد، $۹$ است. بنابراین و بر اساس جدول بالا می‌توانیم بگوییم رقم یکان مربع آن برابر با $۱$ است. برای بررسی صحت این موضوع، مربع $۱۹$ را محاسبه می‌کنیم:

$۱۹ \times ۱۹ = ۳۶۱$

رقم یکان مربع $۱۹$ (رقم یکان عدد $۳۶۱$ ) برابر با $۱$ است. با در نظر داشتن جدول بالا و نکاتی که گفته شد، به سراغ توضیح فرآیند روش جذر گرفتن سریع از اعداد مربع کامل و دارای سه رقم به بالا می‌پردازیم. به این منظور و به عنوان مثال، یک عدد سه رقمی مانند $۷۲۹$ را در نظر بگیرید. برای شروع گرفتن سریع جذر، دو رقم سمت راست این عدد را جدا می‌کنیم:

$۷ \ \ \ \ \ \ ۲۹$

سپس، به سوالات زیر پاسخ می‌دهیم:

رقم یکان عدد دو رقمی سمت راست چیست؟ $۹$
رقم یکان مربع کدامیک از اعداد برابر با $۹$ می‌شود؟ $۳$ و $۷$

به این ترتیب، می‌فهمیم رقم یکان جذر عدد $۷۲۹$ ، عدد $۳$ یا عدد $۷$ است. در مرحله بعد، به سوالات زیر پاسخ می‌دهیم:

بخش دوم عدد جدا شده یا عدد سمت چپ چیست؟ $۷$
این عدد در میان کدام دو مربع کامل قرار دارد؟ $۲ ^ ۲ \lt ۷ \lt ۳ ^ ۳$
کوچک‌ترین مربع کامل در رابطه بالا چیست؟ $۲ ^ ۲$
جذر این عدد چند است؟ $\sqrt { ۲ ^ ۲ } = ۲$

طی این فرآیند، رقم دهگان جذر عدد $۷۲۹$ را تعیین کردیم. بنابراین و با توجه به جواب مرحله قبل، جذر عدد $۷۲۹$ یکی از اعداد زیر است:

$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۳$

$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۷$

برای اینکه جواب درست را انتخاب کنیم، $۲ ^ ۲ \lt ۷ \lt ۳ ^ ۳$ را در نظر می‌گیریم. حاصل‌ضرب $۲$ در $۳$ (حاصل‌ضرب جذر مربعات) برابر است با:

$۲ \times ۳ = ۶$

عدد میانی (عدد $۷$ )، بزرگ‌تر از این عدد است:

$۷ \gt ۶$

بنابراین، از میان $۲۳$ و $۲۷$ ، عدد بزرگ‌تر را انتخاب می‌کنیم. در نتیجه، داریم:

$\sqrt { ۷۲۹ } = ۲۷ \ \ \ \checkmark$

شاید فرآیند بالا کمی پیچیده و سردرگم‌کننده به نظر بیاید اما با انجام چند مثال، به راحتی آن را درک کرده بر روی آن تسلط پیدا خواهید کرد.

یک میز با کتاب و گلدان و جامدادی و یک لیوان آب که یک عدد معلق در حال پر شدن در آن است

مثال ۴: محاسبه سریع جذر عدد چهار رقمی

عدد $۴۶۲۴$ ، یک مربع کامل است. جذر این عدد را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن جذر مربع کامل $۴۶۲۴$ ، ابتدا آن را از راست به چپ، دو عدد دو عدد جدا می‌کنیم:

$۴۶ \ \ \ \ \ \ ۲۴$

رقم یکان دو عدد سمت راست برابر با $۴$ است. بنابراین، رقم یکان جذر $۴۶۲۴$ یکی از اعداد $۲$ یا $۸$ خواهد بود. عدد $۴۶$ بین دو مربع کامل $۳۶$ و $۴۹$ قرار دارد:

$۳۶ \lt ۴۶ \lt ۴۹$

رابطه بالا را به صورت زیر می‌نویسیم:

$۶ ^ ۲ \lt ۴۶ \lt ۷ ^ ۲$

با توجه به این رابطه، رقم دهگان جذر $۴۶۲۴$ برابر با $۶$ می‌شود. به این ترتیب، جذر $۴۶۲۴$ یکی از اعداد زیر است:

$۶ ۲$

$۶ ۸$

رابطه زیر را یک بار دیگر در نظر می‌گیریم:

$۶ ^ ۲ \lt ۴۶ \lt ۷ ^ ۲$

سپس، جذر دو مربع کامل را در هم ضرب می‌کنیم:

$۶ \times ۷ = ۴۲$

از آنجایی که عدد بین دو مربع کامل ( $۴۶$ )، بزرگ‌تر از $۴۲$ است، از میان $۲$ و $۸$ ، عدد بزرگ‌تر (یعنی $۸$ ) را به عنوان یکان جذر $۴۶۲۴$ در نظر می‌گیریم. در نتیجه:

$\sqrt { ۴۶۲۴ } = ۶۸$

اگر فرآیند بالا هنوز برایتان مبهم است، اصلا نگران نباشید. در بخش آزمون، یک تمرین در رابطه با نحوه استفاده از این روش حل می‌کنیم.

تمرین و آزمون سنجش یادگیری جذر گرفتن سریع

در بخش انتهایی این مطلب از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث محاسبه سریع جذر را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای و حل چندین تمرین می‌سنجیم.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.

جذر عدد $۳۱$ را بدون استفاده از ماشین‌حساب تعیین کنید؟

۵/۵۸

۶/۴۲

۵/۱۸

۶/۳۲

شرح پاسخ

برای تعیین جذر $۳۱$ یا همان $\sqrt { ۳۱ }$ ، ابتدا نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به $۳۱$ را پیدا می‌کنیم. عدد $۳۱$ ، بین $۲۵$ و $۳۶$ قرار دارد:

$۲۵ \lt ۳۱ \lt ۳۶$

بنابراین، نزدیک عدد مربع کامل به $۳۱$ ، عدد $۳۶$ است. از این عدد جذر می‌گیریم:

$\sqrt { ۳۶ } = \sqrt { ۶ ^ ۲ } = ۶$

عدد زیر رادیکال مورد سوال ( $۳۱$ ) را بر عدد بالا تقسیم می‌کنیم:

$\frac { ۳۱ } { ۶ } = ۵/۱۶$

در نهایت، از مجموع عدد بالا با عدد $۶$ ، میانگین می‌گیریم:

$\frac { ۵/۱۶ + ۶ } { ۲ } = \frac { ۱۱/۱۶ } { ۲ } = ۵/۵۸$

در نتیجه:

$\sqrt { ۳۱ } \approx ۵/۵۸$

مقدار تقریبی $\sqrt { ۹۶۸ }$ را با استفاده از فرمول به دست بیاورید.

۳۰/۱۱۳

۳۱/۹۹۷

۳۱/۱۱۳

۳۰/۹۹۷

شرح پاسخ

برای به دست آوردن مقدار تقریبی $\sqrt { ۹۶۸ }$ ، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$\sqrt { a ^ ۲ \pm b} = a \pm \frac { b } { ۲ \times a}$

$a ^ ۲$ : نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به عدد زیر رادیکال
$b$ : اختلاف عدد زیر رادیکال با $a ^ ۲$

عدد $۹۶۸$ (عدد زیر رادیکال)، بین دو مربع کامل $۹۶۱$ و $۱۰۲۴$ قرار دارد:

$۹۶۱ \lt ۹۶۸ \lt ۱۰۲۴$

بنابراین، نزدیک‌ترین عدد مربع کامل به $۹۶۸$ برابر با $۹۶۱$ است:

$a ^ ۲ = ۹۶۱$

این عدد از ضرب عدد $۳۱$ در خودش به دست می‌آید. بنابراین:

$a = ۳۱$

اختلاف عدد زیر رادیکال ( $۹۶۸$ ) با $a ^ ۲ = ۹۶۱$ برابر است با:

$b = ۹۶۸ - ۹۶۱ = ۷$

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$\sqrt { ۹۶۸ } = \sqrt { ۳۱ ^ ۲ + ۷} = ۳۱ + \frac { ۷ } { ۲ \times ۳۱}$

$\sqrt { ۹۶۸ } = ۳۱ + \frac { ۷ } { ۶۲}$

$\sqrt { ۹۶۸ } = ۳۱ + ۰/۱۱۳$

$\sqrt { ۹۶۸ } = ۳۱/۱۱۳$

به این ترتیب، توانستیم مقدار تقریبی $\sqrt { ۹۶۸ }$ را با استفاده از فرمول به دست بیاوریم.

در صورت استفاده از روش تقریبی میانگین‌گیری، حاصل جذر $۱۰۱$ کدامیک از گزینه‌های زیر می‌شود؟

۱۰/۰۵

۱۱/۰۵

۹/۹۵

۱۰/۵۰

شرح پاسخ

برای به دست آوردن جذر $۱۰۱$ یا $\sqrt { ۱۰۱ }$ ، نزدیک‌ترین مربع کامل به عدد $۱۰۱$ را پیدا می‌کنیم. به سرعت می‌توان دریافت که عدد $۱۰۰$ ، عدد مورد نظر ماست. از این عدد جذر می‌گیریم:

$\sqrt { ۱۰۰ } = \sqrt { ۱۰ ^ ۲ } = ۱۰$

عدد زیر رادیکال در $\sqrt { ۱۰۱ }$ را بر عدد بالا تقسیم می‌کنیم:

$\frac { ۱۰۱} { ۱۰ } = ۱۰/۱$

میانگین این عدد با عدد قبلی را به دست می‌آوریم:

$\frac { ۱۰/۱ + ۱۰ } { ۲ } = \frac { ۲۰/۱ } { ۲ } = ۱۰/۰۵$

در نتیجه:

$\sqrt { ۱۰۱ } = ۱۰/۰۵$

مقدار تقریبی $\sqrt [ ۴ ] { ۱۷}$ کدام گزینه است؟

۲/۳۰

۱/۹۷

۲/۰۳

۴/۱۰

شرح پاسخ

برای به دست آوردن مقدار تقریبی $\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ }$ ، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$

$n$ : فرجه رادیکال برابر با $۴$
$a ^ n$ : نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که بتوان آن را به صورت حاصل $n$ مرتبه ضرب $a$ در خودش نمایش داد.
$b$ : عدد زیر رادیکال منهای $a ^ n$

از میان پارامترهای بالا، فقط $n$ به سادگی قابل تشخیص است. برای تعیین پارامترهای دیگر، ابتدا به دنبال نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال می‌گردیم که حاصل ریشه چهارم آن یک عدد صحیح باشد. این عدد، $۱۶$ است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

$۱۶ = ۲ ^ ۴$

بنابراین، پارامتر $a$ برابر با $۲$ است. به این ترتیب، می‌توانیم پارامتر $b$ را نیز حساب کنیم:

$b = ۱۷ - ۱۶ = ۱$

اکنون، تمام مقادیر مورد نیاز برای حل تمرین را داریم. این مقادیر را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = \sqrt [ ۴ ] { ۲ ^ ۴ + ۱ } = ۲ + \frac { ۱ } { ۴ \times ۲ ^ { ۴ - ۱ } }$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = ۲ + \frac { ۱ } { ۴ \times ۲ ^ { ۳ } }$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = ۲ + \frac { ۱ } { ۴ \times ۸ }$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = ۲ + \frac { ۱ } { ۳۲ }$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = ۲ + ۰/۰۳$

$\sqrt [ ۴ ] { ۱۷ } = ۲/۰۳$

عدد $۱۰۸۱۶$ ، مربع کامل چه عددی است؟

۱۰۶

۱۰۴

۱۰۲

۹۸

شرح پاسخ

برای اینکه بفهمیم عدد $۱۰۸۱۶$ ، مربع کامل چه عددی است، ابتدا دو رقم سمت راست آن را جدا می‌کنیم:

$۱۰۸ \ \ \ \ ۱۶$

رقم یکان عدد $۱۶$ برابر با $۶$ است. بنابراین، رقم یکان در گزینه صحیح، $۴$ یا $۶$ خواهد بود. در مرحله بعد، به سراغ بخش سمت چپ عدد بالا می‌رویم. این عدد، بین دو مربع کامل $۱۰۰$ و $۱۲۱$ قرار دارد:

$۱۰۰ \lt ۱۰۸ \lt ۱۲۱$

نامساوی بالا را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$۱۰ ^ ۲ \lt ۱۰۸ \lt ۱۱ ^ ۲$

بر اساس این نامساوی، رقم دهگان و صدگان گزینه صحیح از $۱۰$ تشکیل می‌شود. به این ترتیب، گزینه صحیح، عدد $۱۰۴$ یا عدد $۱۰۶$ خواهد بود. برای بررسی این موضوع، پایه‌های اعداد توان‌دار در نامساوی بالا را در هم ضرب می‌کنیم:

$۱۰ \times ۱۱ = ۱۱۰$

عدد میانی این نامساوی (عدد $۱۰۸$ )، کوچک‌تر از حاصل‌ضرب بالا ( $۱۱۰$ ) است. بنابراین، از میان اعداد $۱۰۴$ و $۱۰۶$ ، عدد کوچکتر گزینه صحیح خواهد بود. در نتیجه:

$\sqrt { ۱۰۸۱۶ } = ۱۰۴$

بر اساس رای ۳ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

ثبت نظر

منابع:

مجله فرادرس TestBook

حسین زبرجدی دانا (+)

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.