جمع برداری – به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد بردار‌ها صحبت شد. اما یکی از مسائلی که احتمالا بسیار با آن مواجه خواهید شد، جمع برداری است. از این رو در این مطلب قصد داریم تا جمع بردار‌ها را به دو روش هندسی و جبری توضیح دهیم.

ضرب و جمع برداری

در اولین گام تنها دو بردار را در نظر می‌گیریم. دو بردار مذکور را به‌صورت $$\overrightarrow a = \left \langle { { a _ 1 } , { a _ 2 } , { a _ 3 } } \right \rangle$$ و $$\overrightarrow b = \left \langle { { b _ 1 } , { b _ 2 } , { b _ 3 } } \right \rangle$$ در نظر بگیرید. در ابتدا باید بگوییم که حاصل جمع جبری این دو بردار برابر است با:

$$\large \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left \langle { { a _ 1 } + { b _ 1 } , { a _ 2 } + { b _ 2 } , { a _3 } + { b _ 3 } } \right \rangle$$

در شکل زیر هریک از بردار‌ها و جمع آن‌ها نیز نشان داده شده است.

همان‌طور که می‌بینید برای بدست آوردن هندسی جمع دو بردار، از انتهای هریک از بردار‌ها به موازات بردار دوم، خطی رسم می‌کنیم و از مبدا دو بردار نیز به سمت محل تقاطع دو خط‌چین، خطی رسم می‌شود. معمولا به این روش،‌ روش متوازی‌الاضلاع یا روش مثلثی نیز گفته می‌شود. در حقیقت می‌توان با استفاده از دو بردار، یک متوازی‌الاضلاع درست کرده و قطر بزرگ آن نشان‌دهنده حاصل جمع دو بردار است.

جالب است بدانید که قطر کوچک متوازی‌الاضلاع ساخته شده در بالا نیز نشان‌دهنده اختلاف دو بردار است. در حقیقت همانند جمع فرض کنید $$\overrightarrow a = \left \langle { { a _ 1 } , { a _ 2 } , { a _ 3 } } \right \rangle$$ و $$\overrightarrow b = \left \langle { { b _ 1 } , { b _ 2 } , { b _ 3 } } \right \rangle$$ دو بردار باشند. در این صورت اختلاف این دو بردار برابر است با:

$$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left \langle { { a _ 1 } - { b _ 1 } , { a _ 2 } - { b _ 2 } , { a _ 3 } - { b _ 3 } } \right\rangle$$

هم‌چنین تفریق برداری این دو بردار نیز برابر است با:

به‌منظور درک نحوه بدست آمدن تفریق دو بردار، می‌توان $$- b$$ را به $$a$$ اضافه کرد. سپس بردارهای $$a$$ و $$- b$$ را با هم جمع می‌کنیم.

ضرب برداری

عمل دیگری که در بردار‌ها یادگیری نحوه محاسبه آن ضروری است، ضرب است. توجه داشته باشید که مشخصه اصلی هر بردار، طول و جهت آن است. در ابتدا برداری همچون $$\overrightarrow a = \left \langle { { a _ 1 } , { a _ 2 } , { a _ 3 } } \right \rangle$$ را در نظر بگیرید. در این صورت با ضرب کردن عدد ثابت $$c$$ در این بردار، بردار زیر بدست می‌آید.

$$\large c \overrightarrow a = \left \langle { c { a _ 1 } , c { a _2 } , c {a _ 3 } } \right \rangle$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم + گواهینامه در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که می‌بینید کافی است هریک از مولفه‌ها را در عددی ثابت ضرب کرد.

مثال ۱

بردار $$\overrightarrow a = \left \langle { 2 , 4 } \right \rangle$$ را در نظر بگیرید. در این صورت سه بردار $$\overrightarrow a = \left \langle { 2 , 4 } \right \rangle$$ و $$\frac { 1 } { 2 } \overrightarrow a$$ و $$- 2\overrightarrow a$$ را بدست آورید.

همان‌طور که بیان شد کافی است هریک از مولفه‌ها را در ضریب بردار، ضرب کرد. در نتیجه سه بردار برابرند با:

$$3 \overrightarrow a = \left\langle { 6 ,12 } \right \rangle \hspace {0.25in} \hspace {0.25in} \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow a = \left \langle { 1 , 2 } \right \rangle \hspace {0.25in}\hspace{0.25in} - 2 \overrightarrow a = \left \langle { - 4, - 8} \right \rangle$$

در ادامه بردار‌های محاسبه شده، نشان داده شده‌اند.

همان‌طور که در مثال فوق نیز نشان داده شده، در صورتی که عدد $$c$$ مثبت باشد، بردار، منبسط شده که منظور افزایش طول آن است. این در حالی است که اگر عدد مذکور منفی باشد، طول بردار کاهش می‌یابد که به معنای منقبض شدن بردار است.

در فیزیک یا ریاضی می‌توان تعدادی از بردار‌ها را در یک دسته قرار داد. برای نمونه اگر رابطه‌ای به‌صورت زیر بین دو بردار $$a , b$$ برقرار باشد، در این صورت دو بردار موازی یکدیگر هستند.

مثال ۲

وضعیت موازی بودن جفت بردار‌های زیر را تعیین کنید.

1. $$\overrightarrow a = \left \langle { 2 , - 4 , 1 } \right \rangle ,\,\, \overrightarrow b = \left \langle { - 6 , 12 , - 3 } \right \rangle$$
2. $$\overrightarrow a = \left \langle { 4 , 1 0 } \right \rangle ,\,\,\overrightarrow b = \left \langle { 2 , - 9 } \right \rangle$$

(a): همان‌طور که احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید، این دو بردار با ضریب $$-3$$ به یکدیگر مرتبط می‌شوند؛ در حقیقت می‌توان گفت رابطه زیر بین آن‌ها برقرار است.

$$\overrightarrow b = - 3 \overrightarrow a$$

در نتیجه می‌توان گفت این دو بردار موازی یکدیگرند.

(b): یکی از راه‌ها به‌منظور چک کردن موازی بودن یا نبودن دو بردار، بدست آوردن نسبت یکی از مولفه‌ها در دو بردار است. در قدم بعدی همین نسبت را برای دیگر مولفه‌ها نیز بدست می‌آوریم. در این مثال (بخش b) نسبت دو مولفه $$x$$ برابر است با:

$$\large 4 \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right) = 2$$

همین نسبت برای مولفه $$y$$ نیز برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

$$\large 10 \left( { - \frac { 10 } { 9 } } \right) \ne 2$$

مثال ۳

بردار یکه قرار گرفته در جهت $$\overrightarrow w = \left \langle { - 5 , 2 , 1 } \right \rangle$$ را بیابید.

در اولین گام اندازه بردار $$\overrightarrow w$$ را به‌صورت زیر بدست می‌آوریم:

$$\left \| { \overrightarrow w } \right\| = \sqrt { 25 + 4 + 1 } = \sqrt { 30 }$$

با بدست آمدن اندازه بردار، کافی است خود بردار را به طولش تقسیم کنیم. بنابراین بردار یکه مد نظر برابر است با:

$$\overrightarrow u = \frac{1}{{\left\| {\overrightarrow w} \right\|}}\overrightarrow w = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\left\langle { - 5,2,1} \right\rangle = \left\langle { - \frac{5}{{\sqrt {30} }},\frac{2}{{\sqrt {30} }},\frac{1}{{\sqrt {30} }}} \right\rangle$$

به‌منظور اطمینان حاصل کردن از یکه بودن بردار بدست آمده، کافی است اندازه آن را محاسبه کنید. اندازه بردار فوق برابر است با:

$$\large \left \| { \overrightarrow u } \right\| = \sqrt { \left( \frac { { 25 } } { { 3 0 } } + \frac { 4 } { { 30 } } + \frac { 1 } { { 3 0 } } \right ) } = \sqrt { \left( \frac { { 30 } } { { 30 } } \right) } = 1$$

بنابراین بردار بدست آمده در راستای بردار $$w$$ بوده ولی اندازه آن، واحد است.

بردارهای استاندارد پایه

به‌منظور معرفی مفهوم بردار پایه، در ابتدا برداری به‌صورت زیر را در نظر بگیرید.

$$\overrightarrow a = \left \langle { { a _ 1 } , { a _ 2 } , { a _ 3 } } \right \rangle$$

بردار فوق را می‌توان در قالب $$3$$ بردار زیر بیان کرد:

$$\large \begin{align*}\overrightarrow a & = \left\langle { { a _ 1 } , { a _ 2 } , { a _ 3 } } \right \rangle \\ & = \left \langle { { a _ 1 } , 0 , 0 } \right \rangle + \left \langle { 0 , { a _ 2 } , 0 } \right \rangle + \left \langle { 0 , 0 , { a _ 3 } } \right \rangle \end{align*}$$

حال از بردار‌ها فاکتور گرفته و بردار اصلیِ $$a$$ را به‌صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\large \begin{align*}\overrightarrow a & = \left\langle { { a _ 1 } , 0 , 0 } \right\rangle + \left \langle { 0 , { a _ 2 } , 0 } \right \rangle + \left \langle { 0 , 0 , { a _ 3 } } \right \rangle \\ & = { a _ 1 } \left \langle { 1 , 0 , 0 } \right\rangle + { a _ 2 } \left \langle { 0 , 1 , 0 } \right \rangle + { a _ 3 } \left \langle {0 , 0 , 1 } \right \rangle \end {align*}$$

بردار‌های نوشته شده در بالا، بردار‌های پایه‌ای $$a$$ هستند.

مثال ۴

اگر $$\overrightarrow a = \left \langle { 3 , - 9 , 1 } \right\rangle$$ و $$\overrightarrow w = - \overrightarrow i + 8 \overrightarrow k$$ باشند، در این صورت بردار $$2\overrightarrow a - 3 \overrightarrow w$$ را محاسبه کنید.

بردار مدنظر برابر است با:

$$\large \begin {align*} 2 \overrightarrow a - 3 \overrightarrow w & = 2 \left \langle { 3 , - 9 , 1 } \right \rangle - 3 \left \langle { - 1 , 0 , 8 } \right \rangle \\ & = \left \langle { 6 , - 18,2} \right \rangle - \left \langle { - 3,0,24} \right \rangle \\ & = \left\langle {9, - 18, - 22 } \right \rangle \end {align*}$$

در ادامه برخی از مهم‌ترین ویژگی‌های بردار‌ها ارائه شده‌اند.

$$\begin {array} {ll} \overrightarrow v + \overrightarrow w = \overrightarrow w + \overrightarrow v \hspace {0.75in} & \overrightarrow u + \left ( { \overrightarrow v + \overrightarrow w } \right ) = \left ( { \overrightarrow u + \overrightarrow v } \right ) + \overrightarrow w \\ \overrightarrow v + \overrightarrow 0 = \overrightarrow v \hspace {0.75in} & 1 \overrightarrow v = \overrightarrow v \\ a \left ( { \overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = a \overrightarrow v + a\overrightarrow w \hspace {0.75in} & \left ( { a + b } \right ) \overrightarrow v = a\overrightarrow v + b \overrightarrow v \end {array}$$

روابط ارائه شده در بالا را می‌توان به راحتی اثبات کرد؛ اما به‌منظور آشنایی با نحوه انجام اثبات، در ادامه تنها یکی از حالات را اثبات می‌کنیم. دیگر گزاره‌ها نیز به روشی مشابه اثبات می‌شوند.

اثبات $$\large a \left ( { \overrightarrow v + \overrightarrow w } \right ) = a \overrightarrow v + a \overrightarrow w$$

به منظور اثبات، در اولین گام دو بردار $$\overrightarrow v = \left \langle { { v _ 1 } , { v _ 2 } , \ldots , { v _ n } } \right \rangle$$ و $$\overrightarrow w = \left \langle { { w _ 1 } , { w _ 2 } , \ldots ,{ w _ n } } \right \rangle$$ را در نظر می‌گیریم. بدیهی است که هریک از این بردار‌ها دارای $$n$$ مولفه است. بنابراین می‌توان با ضرب کردن عدد ثابت در هریک از مولفه‌ها، پرانتز را حذف کرد. اثبات این رابطه در ادامه ارائه شده است.

$$\begin{align*} a \left ( { \overrightarrow v + \overrightarrow w } \right ) & = a \left ( { \left \langle { { v _ 1 } , { v _ 2 } , \ldots , { v _ n } } \right \rangle + \left \langle { { w _ 1 } , { w _ 2 } , \ldots , { w _ n } } \right \rangle } \right ) \\ & = a \left \langle { { v _1 } + { w _ 1 } , { v _ 2 } + { w _ 2 } , \ldots , { v _ n } + { w _‌ n } } \right \rangle \\ & = \left\langle {a\left( {{v_1} + { w _ 1 } } \right) , a \left ( { { v _ 2 } + {w_2}} \right), \ldots ,a\left( { { v _ n } + { w _ n } } \right)} \right\rangle \\ & = \left\langle {a{v_1} + a{w_1},a { v _ 2 } + a{w_2}, \ldots ,a{v_n} + a { w _ n } } \right\rangle \\ & = \left\langle { a {v_1},a{v_2}, \ldots ,a { v _ n } } \right\rangle + \left\langle {a{w_1},a { w _ 2 } , \ldots ,a{w_n}} \right\rangle \\ & = a\left\langle { { v _ 1 } , { v _ 2 } , \ldots ,{v_n}} \right\rangle + a\left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots ,{ w _n } } \right\rangle = a\overrightarrow v + a\overrightarrow w\end{align*}$$