واریانس و اندازه‌های پراکندگی – به زبان ساده
در این مطلب از مجله فرادرس در مورد واریانش و اندازه‌های پراکندگی به زبان ساده صحبت میکنیم. شاخص‌های آمار توصیفی، مانند شاخص‌های تمرکز و یا اندازه‌های پراکندگی به منظور شناخت جامعه آماری به کار می‌روند. ولی استفاده از هر یک به تنهایی ممکن است نتیجه مناسبی نداشته باشد. توجه همزمان به معیارهای تمرکز و پراکندگی کمک میکند که بهتر جامعه آماری شناخته شده و رفتار آن قابل مقایسه و تحلیل باشد.
معیارهای تمرکز، نشان می‌دهند که داده‌ها، حول چه مقداری متمرکز هستند ولی بررسی نقطه تمرکز به تنهایی ممکن است محقق را به گمراهی بکشد.
مثال
فرض کنید نمرات دانشجویان دو مدرس در تدریس آمار طبق جدول زیر ثبت شده باشد.
| مدرس | دانشجو۱ | دانشجو۲ | دانشجو۳ | دانشجو۴ | دانشجو۵ | دانشجو۶ | دانشجو۷ | دانشجو۸ | میانگین |
| مدرس الف | 15 | 18 | 12 | 13 | 17 | 14 | 16 | 15 | 15 |
| مدرس ب | 10 | 18 | 20 | 10 | 20 | 20 | 12 | 10 | 15 |
اگر برای ارزیابی دو مدرس از شاخص میانگین استفاده شود، به نظر می‌رسد که هر دو دارای یک امتیاز باشند. در حالیکه دیده می‌شود در کلاس «مدرس الف» نمرات از یکدستی بیشتری برخوردار هستند و باوجود معدل ۱۵ در کلاس «مدرس ب»، نمرات پراکندگی بیشتری دارند که ممکن است نشان از عدم نظم در تدریس درس آمار داشته باشد.
برای اینکه بتوان قضاوت بهتری برای ارزیابی این مدرس‌ها داشت، بهتر است علاوه بر شاخص میانگین از معیارهای دیگری مانند اندازه پراکندگی استفاده شود. در ادامه به معرفی چند اندازه پراکندگی می‌پردازیم که از شهرت بیشتری برخوردارند.
دامنه تغییرات
یکی از روش‌های اندازه‌گیری پراکندگی بین داده‌ها، محاسبه «دامنه تغییرات» (Range) است. این شاخص، حداکثر میزان پراکندگی را نشان می‌دهد و برای محاسبه آن کافی است که تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار را بدست آورد. اگر دامنه تغییرات را با R نشان دهیم، فرمول محاسباتی آن برای داده‌های a1,a2,a3,a4,a5 به صورت زیر است:
$$R= \mbox{Max}(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)-\mbox{Min}(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$$مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید
ناپایدارترین اندازه پراکندگی رو کدوم یکی داره
با سلام خدمت شما؛
ضعیف‌ترین و غیر قابل اطمینان‌ترین روش اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها بین این چند مورد، محاسبه دامنه تغییرات یا Range است.
از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.
با سلام؛ چرا در محاسبه واریانس نمونه، تو مخرج از n یک واحد کم میکنیم؟
سلام خیلی ممنون از زحمتی که کشیدین. میخواستم بگم برای مدرس الف، چارک سوم میشه 16.5 و چارک اول میشه 13.5 بنابراین IQR میشه 3. لطفا برای جلوگیری از گیج شدن خواننده های وبسایت، هر چه زودتر درستش کنین. خیلی ممنون.
با سلام،
متن بازبینی و اصلاح شد،
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس
خیلی عالی بود ممنون
سلام
سپاس از توضیحات جامع و کاملتون
با سلام واریانس اعداد k+1,…3,2,1 چی میشه
باعرض سلام ودرود خدمت شما
خیلی خیلی ممنون بابت مطالب فوق العادتون
البته بیشتر مطالب برای من خیلی تخصصی محسوب میشدن و بیشتر از کلیات آموزشتون بهره بردم.
اگه امکان داره پاسخ این دوتا سوال رو بهم بدید
۱-میانگین وانحراف معیار قدنوزادان یک شهرستان در بدو تولدبه ترتیب ۵۰ و۱/۵سانتی متر بوداگر توزیع قد نرمال باشدچند درصد از نوزادان قد بین ۴۷تا۵۳ سانتی متر دارند؟
۲_طول مدت بیماری چه نوع متغیری است؟۱.کمی فاصله ای
۲.کیفی رتبه ای
۳.کیفی اسمی
۴.کمی نسبی
سلام در فرمول محاسبه واریانس نمونه‌ای بجای x باید از xبار استفاد بشه.
همچنین در ویدئو مربوطه
با سپاس
سلام.
فرمول صحیح نوشته شده، اما به دلیل کوچک بودن فونت خط روی x قابل مشاهده نبود که مورد بازبینی قرار گرفت و اکنون قابل مشاهده است.
سپاس از همراهی و بازخوردتان.
با عرض سلام. جسارتا جهت مقایسه دو گروه عددی آیا می‌توان نسبت میانگین به انحراف معیار هر گروه را بعنوان شاخص آن گروه ( نشان دهنده تمامی خواص اعداد زیر گروه ) معرفی کرد؟ یا فرمول کاملتری برای نماینده گروه وجود دارد؟ ممنون
واقعاعالی??
درود بر شما همراه مجله فرادرس،
پیروز و تندرست باشید.
سلام و عرض ادب
ذکر شدن شاخص های پراکندگی در کنار شاخص های تمایل مرکزی چه کمکی به محققین میکند؟
و برای مثال ۳±۲۵ به چه معنی می باشد؟
سلام و درود بر شما خواننده گرامی،
پرسش شما بسیار سوال مهمی است. همانطور که می‌دانید، داده‌های بخصوص مقادیر کمی، دارای واحد اندازه‌گیری هستند. برای مثال ممکن است اطلاعات جمع‌اوری شده براساس وزن (با واحد کیلوگرم) باشند. از طرفی میانگین نیز یک معیار تمرکز است که با واحد خود داده‌ها یکسان است. برای مثال میانگین نیز با واحد کیلوگرم مشخص می‌شود. از طرفی به جز واریانس (که با واحد مربع مشخص می‌شود) بسیاری از شاخص‌های پراکندگی (مانند انحراف معیار) با واحد داده‌ها یکی هستند. بنابراین امکان جمع یا تفریق و محاسبات شاخص‌های مرکزی و پراکندگی میسر است.
در پرسش شما که به صورت ۲۵+۳ و ۲۵-۳ نوشته شده، مقدار اول نشانگر میانگین است و دومین عدد نیز نشانگر پراکندگی (مثلا انحراف معیار) است. پس می‌توان گفت که برای مثال شما بسته‌ها به طور میانگین ۲۵ کیلو وزن داشته و ۳ کیلوگرم اختلاف یا انحراف از میانگین تغییر میکند. یعنی بعضی از آن‌ها ممکن است ۲۸ و بعضی دیگر نیز ۲۲ کیلوگرم وزن دارند. ولی مقادیر نزدیک به این دو عدد کمتر از مقادیری است که به ۲۵ نزدیک هستند. این موضوع نقش میانگین و انحراف معیار را نشان می‌دهد.
از این که سوالاتتان را با ما در میان می‌گذارید، سپاسگزاریم.
تندرست و پیروز باشید.
سلام
در محاسبه واریانس اگر m داده وابسته به هم باشند، واریانس پگونه تغییر میکند؟
ایا فرمول همان فرمول قبلیست؟
سلام احسان خان؛
فرمول های گفته شده مربوط به مشاهدات مستقل است. زمانی که با متغیرهای همبسته مواجه هستیم، واریانس مجموع با مجموع واریانس‌ها برابر نیست. برای اطلاع بیشتر از نحوه محاسبه واریانس برای چنین حالتی بهتر است نوشتار کوواریانس و نحوه محاسبه آن — به زبان ساده را مطالعه کنید.
به هر حال نحوه محاسبه واریانس برای این حالت به صورت مجموع واریانس‌ها و جمع با مجموع کوواریانس ها خواهد بود.
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+Cov(X,Y)
تندرست و پیروز باشید.
با سلام خدمت شما
نوشته بودید برای محاسبه انتگرال نیاز به تعریف واریانس داریم ولی محاسبه انتگرال قدر مطلق هم پیچیده نیست آیا دلیل دیگری برای محاسبه واریانس داریم؟ با سپاس از شما
سلام و درود به شما همراه مجله فرادرس!
محاسبات انتگرال و مشتق توابع درجه دو که در همه نقاط مشتق‌پذیر و انتگرال پذیر هستند نسبت به تابع قدر مطلق بسیار ساده‌تر است. ولی در مورد »برای محاسبه انتگرال نیاز به تعریف واریانس داریم» چیزی در مطلب نوشته نشده است.
از اینکه همواره همراه مجله فرادرس هستید بسیار خرسندیم.
موفق و شاد و تندرست باشید.
سلام
MD برای مدرس الف فکر کنم ۱.۲۵ میشه نه ۱.۵
درست میگم؟
سلام و درود
از اینکه خواننده مطالب مجله فرادرس هستید، سپاسگزاریم.
با توجه به شیوه محاسبه و فرمول گفته شده، مقدار MD برای مدرس الف همان ۱٫۵ خواهد بود. همانطور که دیدید، میانگین برای نمره این ۸ دانشجو برابر با ۱۵ است. مجموع قدر مطلق اختلافات نسبت به میانگین هم ۱۲ شده و با تقسیم این عدد بر ۸، حاصل ۱٫۵ خواهد بود.
باز هم از همراهی شما با فرادرس، قدردانی میکنیم.
پیروز و سربلند باشید.
سلام متشکر از آموزش شما
فقط من در بخش دامنه میان چارکی متوجه عدد 4.25 نمی شوم
با خواندن قسمت چارک ها و چندین بار محاسبه برای نمرات الف مقدار 3 را بدست می آورم. ولی شما فرمودید 4.25 می شود محاسبات خودتان را ارائه دهید .متشکر
منم ۳ درمیارم پنجاه بارم امتحان کردم
۱۳.۵ و ۱۶.۵ میشه
سلام و وقت بخیر؛
از اینکه همراه فرادرس هستید، بسیار سپاسگزاریم.
همانطور که فرمودید، محاسبه چارک اول و سوم برای مدرس الف به اشتباه نوشته شده است. مقدار صحیح برای دامنه میان چارکی مقدار ۲ است زیرا چارک اول برابر با ۱۴ و چارک سوم نیز ۱۶ است که تفاضل آن‌ها برابر با ۲ خواهد بود.
موفق و پیروز و سربلند باشید.
سلام ما چند فروشگاه داریم که طی شش ماه و در هر ماه مبالغ فروش متفاوتی داشته اند ، اگه بخواهیم بی ثبات ترین فروشگاه در میزان فروش را پیدا کنیم باید از کدوم روش استفاده کرد ؟ ممنون از راهنمایی تون
سلام و با تشکر از توجه شما به مطالب فرادرس
همانطور که گفته شد ضریب تغییرات می‌تواند بدون توجه به واحد اندازه‌گیری (میزان فروش) وضعیت پراکندگی مقادیر را نشان دهد. بنابراین از آنجایی که مقادیر فروش منفی نیستند ضریب تغییرات مناسب است. هر چه ضریب تغییرات کمتر باشد، به معنی ثابت بودن تغییرات و همگن بودن میزان فروش است.
سپاس از اینکه همراه فرادرس هستید.
با درود.
در قسمت معایب ضریب تغییرات نوشته شده عدم قابلیت محاسبه برای داده های نامنفی،در صورتی که باید داده های منفی باشه.
سلام و سپاس بابت توجه‌تان به مطالب فرادرس
حق با شما است. برای مقادیر منفی ضریب تغییرات قابل محاسبه نیست.
منتظر نظرات سازنده شما هستیم.
با سلام و تشکر از توجه شما به مطالب فرادرس
کاملا حق با شما است. ضریب تغییرات برای مقادیر منفی قابل محاسبه نیست!
باز هم از اینکه همراه فرادرس هستید متشکریم.