فرادرسراز پنهان ریاضیات — همه چیز در طی فرایند حل مسئله مشخص خواهد شد
شاید تاکنون از خود پرسیده باشید که ریاضیات اساساً چگونه متولد شده است؟ به شبکه نقاط زیر نگاهی بیندازید. سعی کنید بدون این که انگشت خود را از روی صفحه بردارید، چهار خط مستقیم بکشید که از روی همه نقاط عبور کند.
شاید قبلاً با این مسئله مواجه شده باشید. احتمالاً بارها برای حل آن تلاش کرده‌اید و موفق نبوده‌اید. و شاید در نهایت از یک دوست یا راهنما برای حل آن کمک خواسته‌اید. در هر صورت پاسخ مسئله به صورت زیر خواهد بود:
معما چو حل گشت...
احتمالاً وقتی با راه‌حل مسئله فوق مواجه شوید، شگفت‌زده خواهید شد. شاید در مورد این که این راه‌حل نوعی حقه‌بازی است یا استفاده از نبوغ شک داشته باشید. البته با توجه به صورت مسئله مطمئناً هیچ شرطی نقض نشده است، چون در صورت مسئله در هیچ کجا ذکر نشده بود که نمی‌توانید از محدوده شبکه نقاط خارج شوید؛ هرچند خلاف آن هم ذکر نشده بود. ولی سؤالی که پیش می‌آید این است که آیا این راه‌حل قابل قبول است یا نه. و اگر قابل قبول باشد به چه نوع سؤالی پاسخ می‌دهد؟ ممکن است در ذهن برخی افراد این شبکه از نقاط محدود به مربع سه در سه نباشد. همچنین ممکن است در ذهن برخی دیگر چنین باشد. بنابراین در اینجا بسته به این که چه وضعیتی وجود دارد با دو مسئله مختلف مواجه هستیم که یکی منتهی به راه‌حل شده است و دیگری عقیم مانده است.
بدین ترتیب این مسئله به عنوان یک نمونه از وضعیتی که افراد مختلف می‌توانند ماهیت تغییر ناپذیر مسائل ریاضی را تفسیر به رأی کنند مطرح می‌شود. در طی فرایند حل این مسئله شما مجبور می‌شوید که متن را تفسیر کرده، اصلاح کنید و حتی آن را تغییر دهید.
در واقع این روش عملی ریاضیات است. یعنی فرایند یافتن پاسخ، به صورت تدریجی و با تفسیرها و تغییرهای مختلفی در صورت مسئله همراه است.
راه‌حل‌های ابدی-ازلی ریاضیات
این نکته‌ای است که در مورد روش ریاضی غالباً مغفول واقع می‌شود. صورت یک مسئله ریاضی بیان می‌شود و اگر خوش‌شانس باشیم یک اثبات یا رد پیش از آن که فرصت ارائه گزاره‌ای دیگر را داشته باشیم عرضه می‌گردد. صورت مسائل ریاضی حالتی صلب می‌یابد، گویی ابدی و غیر قابل دست‌کاری است. راه‌حل‌ها غالباً بسیار تمیز و مرتب و بدون عرضه هیچ‌گونه راهنمایی در مورد نحوه رسیدن به آن ارائه می‌شوند. کتاب‌های درسی و مقالات علمی، ایده‌های مختلف را به صورت یک توالی از قضیه‌های کاملاً اثبات شده عرضه می‌کنند. بدین ترتیب ما به این باور می‌رسیم که تفکر ریاضی کاملاً مرتب و خطی است. در حالی که هیچ چیز در مورد ریاضی تا این حد دور از واقعیت نیست.
نمونه‌ای از اعداد حقیقی
به عنوان مثال اغلب تعریف‌های استاندارد از اعداد حقیقی در ریاضی به صورت زیر هستند که برخی اعداد را به صورت کسری (گویا) می‌توان بیان کرد و برخی دیگر را نمی‌توان به این شکل بیان کرد (گنگ). اعداد گنگ شامل √2 و نسبت طلایی ϕ هستند. در میان اعداد گنگ زیرمجموعه‌ای از اعداد به نام اعداد متعالی وجود دارند که هرگز نمی‌توانند به صورت پاسخ چندجمله‌ای‌های با ضرایب عدد کامل ظاهر شوند. برای مثال √2 به عنوان پاسخ معادله چندجمله‌ای x² – 2 = 0 مطرح است و ϕ نیز معادله x² - x - 1 = 0 = 0 را حل می‌کند. بنابراین √2 و ϕ از نظر جبری هیچ‌کدام متعالی نیستند. اما، از سوی دیگر عدد ثابت محبوب دیگر یعنی π از این تعریف جبری تبعیت نمی‌کند. این عدد هرگز یک چنین معادله‌ای را حل نمی‌کند و بنابراین طبق تعریف باید یک عدد متعالی باشد.
از طرف دیگر می‌دانیم که هر دسته از اعداد تا چه اندازه بزرگ هستند. از این رو تعداد اعداد گویا بی‌نهایت هستند، چون می‌توان تا هر موقع که بخواهیم آن‌ها را با هم ترکیب کرد. بدین ترتیب مشخص می‌شود که این مجموعه شمارا است، یعنی می‌توانید فهرستی بسازید که شامل همه کسرها باشد. اما این کار را در مورد همه اعضای مجموعه اعداد حقیقی نمی‌توان انجام داد، چون این مجموعه ناشمارا است. به بیان دیگر اعداد گویا روی خط اعداد به طور مجازی جایی را اشغال نمی‌کنند. در واقع آن‌ها بر اساس تعداد در مقایسه با همتایان گنگ خود استثناهای نادری محسوب می‌شوند.
البته ما در طی دو پاراگراف فوق، سال‌ها فرضیه‌سازی، شک و تردید، اندیشه، آزمایش و افشاگری‌ها را در دو بند خلاصه عرضه کردیم. اما هیچ یک از نتایجی که در این دو بند ارائه شده‌اند، تا پیش از کشفشان ناگزیر محسوب نمی‌شدند. اعداد حقیقی فرضیات ما را در چند موقعیت دگرگون ساخته است.
شگفتی ریاضیات
این گذشته‌نگاری برای عرضه نتایج ریاضیاتی چنان قطعی، و بدیهی به شمار می‌رود که با ماهیت عجیب آن مفاهیم در تضاد است. خصوصیات اعداد حقیقی تا آن حد عجیب است که شهود اغلب ذهن‌های ریاضیدانان بزرگ را نیز فریب داده است. فیثاغورث حتی نتوانست اندیشه وجود اعداد گنگ را تحمل کند و متأسفانه آن قدر زنده نماند که این حقیقت ظالمانه را بداند که تعداد اعداد گویا در برابر اعداد گنگ بسیار بسیار اندک است. همکاران کانتور دائماً از وی می‌خواستند پیشنهاد کند که بی‌نهایت، در اندازه‌های متفاوتی وجود دارد.
ریاضیات برای ما آن قدر شگفت‌انگیز است که نمی‌توانیم به‌یک‌باره به آن دست یابیم. درک اولیه ما از هر مفهوم ریاضی به جز چند استثنا باید مورد بازبینی قرار گیرد و حتی در مواردی در پرتوی کشفیات غیر منتظره به طور کلی از نو بنا شود. ایمره لاکاتوس (Imre Lakatos) یکی از معدود کسانی است که توانسته است موفقیت حل مسائل ریاضی را با جملات واقعی توصیف کند. وی در کتاب «اثبات‌ها و ردیه‌ها» در سال 1976 چهار مرحله کشف ریاضی را فهرست بندی کرده است:
- حدس اولیه
- تلاش برای اثبات
- مثال‌های نقض
- اصلاح حدس
به بیان دیگر کشف ریاضیاتی فرایندی چرخه‌ای است. در این فرایند امکان اشتباه وجود دارد و حتی ممکن است مشخص شود که کل جستجو کاری عبث بوده است. در واقع ما ممکن است به جایی برسیم که در ابتدا تصور نمی‌کردیم و آن چنان که لاکاتوس اشاره می‌کند:
«من به اثبات‌ها علاقه دارم، حتی اگر وظیفه‌ای که برای آن‌ها تعیین شده است را به درستی انجام ندهند. کریستف کلمب به هندوستان نرسید، اما چیزی را کشف کرد که کاملاً جذاب بود.»
روشنگری درباره تاریخ ریاضیات
ریاضیاتی که امروزه می‌شناسیم حاصل تکرارهای بی‌شمار صورت مسائل، تلاش‌ها برای اثبات و مسیرهای ناخواسته است. هر گونه تلاش برای بازی با ذهن برای ارائه قطعی ایده‌ها، عملی مزورانه محسوب می‌شود. بدین ترتیب یادگیرنده‌ها درک صحیحی از این که این ایده‌ها از کجا می‌آیند، نخواهند داشت. در واقع بسیار مؤثرتر و صادقانه‌تر است که فرایند شلوغ و مسیر پرپیچ‌وخم تلاش‌های شکست خورده برای رسیدن به قضیه‌هایی که اینک اثبات شده محسوب می‌شوند را به یادگیرندگان عرضه کنیم. ریاضیات بدون توجه به سابقه تاریخی‌اش و بدون تأکید بر شکست‌ها و اصلاح‌های مکرر باعث از دست رفتن حس شهود دانش آموزان و دانشجویان شده و در واقع آن‌ها را در مورد نحوه کارکرد صحیح ریاضیات گمراه می‌کند.
لاکاتوس لزوم توجه بیشتر به سبک شهودی یادگیری ریاضیات را مورد تأکید قرار می‌دهد. وی معتقد است در این سبک یادگیری می‌بایست عامدانه همه راه‌حل‌های بررسی شده برای بازبینی یک مسئله ارائه شوند. این رویکرد باعث می‌شود همه مراحل کار مشخص باشند و بدین ترتیب هیچ صوت مسئله یا نتیجه‌ای غیر قابل سرزنش نیست. در مورد مسئله ابتدایی این مقاله نیز همین حالت صدق می‌کند.
صادقانه‌ترین نسخه از ریاضیات آن است که به ما آزادی بازبینی در واقعیت‌هایش را ارزانی می‌کند. البته مسلم است که ما محدود به چارچوب منطق هستیم و هیچ ارزشی در رد فرضیات غیر قابل انکار وجود ندارد. اما همه افرادی که ایده‌های ریاضی را عرضه می‌کنند، این وظیفه مهم را بر عهده دارند که در خصوص فرایند پرپیچ‌وخم رسیدن به پاسخ روشنگری نمایند. نخستین گام در این مسیر آن است که کاری نکنیم ریاضیات تا این حد ناگزیر و بدیهی به نظر برسد. به بیان دیگر: «باید با بدیهی زدایی از ریاضیات، به آن روشنی غیر قابل انکاری ببخشیم.»
اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما جذاب خواهند بود:
- دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
- آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
- آموزش ریاضیات عمومی ۱
- آموزش ریاضی عمومی ۲
- آموزش نرم افزار متمتیکا (Mathematica) برای حل معادلات ریاضی
- آموزش ریاضی و آمار در آزمون های استخدامی
==
