نماد انتگرال – با سرگذشت جالب این علامت ریاضی آشنا شوید

همه ما دست‌کم در دوران دبیرستان (متوسطه دوم) با مفهوم انتگرال آشنا شده‌ایم. انتگرال نیز همچون مفاهیم دیگر ریاضی به دلیل اهمیتی که دارد شایسته داشتن یک نماد بوده است. چنان که می‌دانید نماد انتگرال به این شکل (∫) است. اما شاید ندانید که این نماد از چه زمانی رایج شده و چه سرگذشتی داشته است. در این نوشته با ما همراه باشید تا تاریخچه انتگرال و نماد معروف آن را با هم مرور کنیم.

تاریخچه انتگرال

پیش از آن که تاریخچه نماد انتگرال را بررسی کنیم، ابتدا باید سابقه خود مفهوم انتگرال را بدانیم. هنگامی که صفحه‌های تاریخ ریاضیات را ورق می‌زنیم، نخستین اشاره‌ای که به مفهوم انتگرال می‌بینیم، مربوط به دستخطی به نگارش  لایبنیتز است.

گاتفرید ویلهِلم اهل لایبنیتز (Gottfried Wilhelm von Leibniz) ریاضیدان مشهور قرن هفده میلادی مشهور به لایبنیتز، نام خود را از شهر محل تولد خود گرفته است. شهر لایبنیتز اینک در جنوب اتریش در ایالت اِستیریا قرار دارد.

لایبنیتز در دستخطی که در تاریخ 29 اکتبر 1675 (برابر با سه‌شنبه 7 آبان ماه سال 1054 هجری شمسی) نوشته، نماد انتگرال را ابداع نموده است. نسخه‌ای خطی از این نامه موجود است که البته با توجه به گذشت زمان و آثاری از آب خوردگی، خواندن آن دشوار است:

لایبنیتز در این نامه نماد انتگرال (∫) را به همراه چند مفهوم دیگر جهت یادآوری برای خود نوشته است. وی در طی سال‌های 1672 تا 1676 در پاریس مقیم بوده است و این دستخط نیز در همین زمان از وی بر جا مانده است. این دستخط سال‌ها بعد در شهر هانوفر آلمان کشف شده و توسط کارل ایمانوئل گرهارت در نیمه‌های قرن نوزدهم میلادی چنین نسخه‌برداری‌شده است:

ترجمه فارسی این بخش از نوشته به صورت زیر است:

«بهتر است که به جای omn از ∫ استفاده کنیم. مثلاً به جای omn l می‌توانیم بنویسیم l∫، یعنی مجموع این l ها. بنابراین به دست می‌آوریم:

که با توجه به این که قاعده همگونی است برای اجتناب از خطا در محاسبات مفید به نظر می‌رسد...»

توجه کنید که omn در این دستخط اختصاری برای Omnia است که لایبنیتز از آن برای اشاره به مجموع نامتناهی از هر چیزی استفاده می‌کند. لایبنیتز از Π به جای = استفاده می‌کند. وی همچنین به جای علامت پرانتز از یک خط افقی در بالای عبارت‌ها استفاده کرده است.

توجه داشته باشید که در این تاریخ لایبنیتز هنوز به فرم نوشتاری dx...∫ دست نیافته است. وی از یک متغیر ساختگی به صورت a استفاده می‌کند، چون همان طور که اشاره کرده است عبارت‌های همگن، خطاها را سریع‌تر مشخص می‌کنند. وی در ادامه با همین نمادگذاری‌های خود به انتگرال زیر اشاره می‌کند:

البته ما اینک با اندکی تفاوت، مفهوم فوق را به صورت زیر می‌نویسیم:

لایبنیتز در همین دستخط خود نسخه دیگری از انتگرال که اینک انتگرال جزءبه‌جزء می‌نامیم را نیز معرفی کرده است:

نماد انتگرال (∫) در همه کشورها به صورت واحدی نوشته نمی‌شود. در زبان انگلیسی این نماد تا حدودی به سمت راست متمایل است. در حالی که در زبان آلمانی قائم است و در روسیه نیز متمایل به سمت چپ نوشته می‌شود.

همچنین انواع استفاده‌های مختلفی از این نماد وجود دارد که در جدول زیر مشاهده می‌نمایید:
[table id=7 /]

اما آیا لایبنیتز نماد ∫ را خود ابداع کرده است؟

پاسخ منفی است. این نماد که s بلند (Long s) نیز نامیده می‌شود، سابقه‌ای بسیار طولانی‌تر از زمان حیات لایبنیتز دارد. اس بلند که گاهی اوقات اس میانی یا اس پایانی نیز نامیده می‌شود، در واقع شکلی باستانی از حرف s است که اینک دیگر استفاده نمی‌شود. این حرف نخستین بار در قرون‌وسطی در الفبای رومی ظاهر شده است. این زمانی بود که تمایز بین حروف بزرگ و کوچک در حال ظهور بود.

در انتهای قرن هشتم میلادی این حرف حالت عمودی‌تر یافت. این قاعده که اس بلند در انتهای کلمات استفاده نمی‌شود، برقرار بود تا این که مجدداً در سال‌های 1465 تا 1480 در نخستین کتاب‌های چاپ ایتالیا مشاهده شد. همچنین در مواردی که از دو اس پشت سر هم در میانه کلمه استفاده می‌شد، همیشه اس اول به صورت بلند نوشته می‌شده است. هر چند در الفبای آلمانی قواعد استفاده از اس بلند، پیچیده‌تر است.

اس بلند در موارد زیادی با حرف f اشتباه شده است. چه این که در مواردی یک زائده نیز در میانه خود مانند f داشته است. ولی برخلاف f این زائده تنها در سمت چپ آن بوده است.

اس بلند غالباً به عنوان یک حرف ترکیبی (ligature) مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای مثال به جای si، ss و st و همچنین حرف آلمانی ß (Eszett خوانده می‌شود) استفاده می‌شود که باور عمومی بر این است که ریشه در حرف ترکیبی ſz دارد.

در تصویر زیر جلد کتاب بهشت گمشده (Paradise Lost) جان میلتون را می‌بینیم که اس بلند در هر دو کلمه به کار گرفته شده است.

آن چه مشخص است این است که اس بلند، بسیار قبل از نیمه‌های قرن نوزدهم میلادی از مطبوعات حرفه‌ای حذف شده بود. در واقع پس از سال 1800 این حرف به‌ندرت در کتاب‌های انتشار یافته در لندن مشاهده شده است. اما در میان دست‌نوشته‌های افراد مختلف تا نیمه‌های قرن نوزدهم همچنان می‌توان ردپای استفاده از این حرف را مشاهده کرد. به طور کلی باید اشاره کرد که اس بلند در بین سال‌های 1750 تا 1800 و به طور عمده به دلیل هماهنگ کردن همه حروف الفبا جای خود را به اس کوتاه معمول که اینک استفاده می‌شود داده است.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

اما این پایان عمر اس بلند نبوده است و هنوز هم در برخی موارد جهت تزیین یا تعمدی بر قدیمی نشان دادن برخی چیزها از این حرف در طراحی‌های گرافیکی استفاده می‌شود. برای مثال در تصویر زیر اس بلند را در سر در این مغازه طراحی دوچرخه در برلین مشاهده می‌کنید.

مرگ یا جاودانگی؛ مسئله این است!

البته همان طور که قبلاً هم اشاره کردیم اس بلند همچنان به شکل دیگری به حیات خود در دنیای ریاضیات ادامه داده است و اینک در همه کتاب‌های ریاضیات سراسر دنیا به عنوان نماد انتگرال مورد استفاده قرار می‌گیرد. بدین معنی شاید اس بلند هرگز نمرده است، و در واقع لایبنیتز به آن وجهه‌ای بین‌المللی بخشیده، کاربرد آن را به فراتر از کشورهای معدود برده و برای همیشه در سراسر جهان جاودانه کرده است.

اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما جذاب خواهند بود:

• آموزش محاسبات انتگرال با Matlab و Maple
• آموزش مشتق گیری و انتگرال گیری عددی در محاسبات عددی
• آموزش محاسبه انتگرال به کمک شبیه سازی مونت کارلو
• آموزش جامع حساب دیفرانسیل و انتگرال پیش دانشگاهی
• متد مونت‌کارلو چیست؟

==