منحنی سهمی — به زبان ساده

در این آموزش، سهمی و معادلات مربوط به آن را معرفی خواهیم کرد.

تعریف منحنی سهمی

هنگامی که شما به یک توپ فوتبال ضربه می‌زنید (یا تیری را از کمان رها کرده یا سنگی را به سمت آسمان پرتاب می‌کنید) پرتابه با طی کردن یک کمان به سمت بالا رفته و سپس سقوط می‌کند. مسیر پیموده‌شده توسط پرتابه بخشی از یک منحنی «سهمی» (Parabola) می‌باشد.

ساختار منحنی

سهمی نوعی منحنی می‌باشد که فاصله هرنقطه روی آن از نقطه ثابت (کانون) و خط ثابت (خط هادی) مقداری برابر است.

کاغذی تهیه کنید، خطی مستقیم روی آن ترسیم کنید سپس نقطه ای به عنوان کانون (در مکانی غیر از روی خط هادی) ایجاد نمایید. اکنون با آزمون و خطا نقاطی را روی صفحه بیابید که از کانون و خط هادی فاصله‌ای برابر داشته‌باشند. سپس این نقاط را به یکدیگر متصل نمایید. اکنون شما یک منحنی سهمی دارید!

آشنایی با بخش‌های مختلف یک سهمی

در ادامه شما را با تعدادی از اجزای اصلی این منحنی آشنا خواهیم کرد:
• خط هادی و کانون (در بالا شرح داده‌شده‌است.)
• محور تقارن (با عبور از کانون، بر خط هادی عمود می‌گردد.)
• رأس (نقطه‌ای که سهمی بیشترین پیچش خود را دارد و دقیقا میان کانون و خط هادی قرار دارد.)

سهمی منعکس کننده است

حیرت‌آورترین ویژگی یک سهمی این است که هر پرتویی موازی با محور تقارن سهمی به آن تابیده شود پس از بازتاب از کانون عبور می‌کند. دلیل نامگذاری این نقطه نیز به خاطر همین ویژگی است. زیرا تمامی پرتو‌ها در این نقطه متمرکز می‌شوند.

بنابراین از سهمی‌ها می‌توان در موارد زیر استفاده نمود:
• دیش‌های ماهواره
• دیش‌های رادار
• متمرکزسازی تشعشعات خورشیدی جهت ایجاد یک نقطه‌ با دمای بالا
• ایجاد سطح بازتاب‌کننده روی نور افکن‌ها و چراغ‌قوه‌ها

همچنین با برش یک مخروط به‌وسیله یک صفحه (صفحه باید با سطح مخروط موازی باشد.) نیز می‌توان به یک سهمی دست‌پیدا‌نمود. بنابراین منحنی بدست‌آمده مقطعی از یک مخروط است.

 معادلات سهمی

ساده‌ترین معادله برای یک سهمی y = x^2 است.

با قراردادن توان 2 در سمت چپ معادله (y^2=x) شکل منحنی به صورت زیر می‌شود.

در حالت کلی‌تر:

که a همان فاصله کانون از مبدأ مختصات می‌باشد.

مثال: فاصله کانونی را در معادله زیر بیابید.

با تبدیل معادله y^2 = 5x به فرم کلی y^2 = 4ax داریم: y^2 = 4 (5/4) x
که مقدار a = 5/4 بدست می‌آید. پس برای معادله سهمی y^2 = 5x :

F = (a,0)

معادلات سهمی‌ها با جهت‌گیری‌های مختلف در شکل زیر نشان‌داده‌شده‌است:

محاسبات موردنیاز برای ساخت دیش سهمی

درصورتی که تمایل به ساخت یک دیش با نقطه کانونی 200mm بالای سطح داشته‌باشید به چه محاسباتی نیاز دارید؟

برای ساده‌تر کردن فرآیند ساخت آن بیاید جهت گیری دیش را به سمت بالا درنظر بگیریم. به همین منظور باید از معادله x^2 = 4ay استفاده نماییم. در این معادله مقدار a را 200 قرار می‌دهیم. پس معادله‌ به شکل زیر در‌می‌آید:

با یک عملیات جبری ساده می‌توانیم ارتفاع دیش را در نقاط مختلف محاسبه کنیم:

ارتفاع دیش را در فواصل افقی مختلف به سادگی می‌توانیم بدست آوریم:

تلاش کنید خودتان در منزل نمونه‌ای از آن را بسازید. سرگرم‌کننده خواهد بود! فقط به این نکته توجه کنید که، یک سطح منعکس کننده می‌تواند حرارت زیادی را متمرکزکند.

اگر تمایل به مطالعه بیشتر در مورد این موضوعات را داشته باشید؛ شاید آموزش های زیر نیز برای شما مفید باشند:

• سطح مقطع در هندسه — به زبان ساده
• تعریف حلقه و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده
• حرکت انتقالی در ریاضیات — به زبان ساده
• تقارن چرخشی در اشکال دوبعدی — به زبان ساده

#

منبع