حساب پیمانه ای — به زبان ساده

حساب پیمانه ای نوع ویژه‌ای از حساب است که اعداد صحیح را شامل می‌شود. هدف این نوشته ارائه مبانی حساب پیمانه‌ای و همچنین معرفی برخی مسائل نسبتاً پیشرفته و جالب‌تر است که به کمک حساب پیمانه‌ای به سادگی حل می‌شوند.

کار خود را با معرفی یک ساعت آغاز می‌کنیم که به جای عدد 12 آن عدد 0 استفاده شده است.

اگر از نیمه روز آغاز کنیم، عقربه‌های ساعت به ترتیب به صورت زیر هستند:

این همان روشی است که برای شمارش پیمانه 12 استفاده می‌کنیم. بدین ترتیب زمانی که لازم باشد 1 را به 11 اضافه کنیم به 0 می‌رسیم همین مطلب در مورد هر پیمانه دیگری نیز صدق می‌کند. در پیمانه 5 به صورت زیر می‌شماریم:

همچنین می‌توانیم در پیمانه 5 به سمت عقب بشماریم. هر بار که 1 را از 0 کسر می‌کنیم به 4 می رسیم. بنابراین عددهای صحیح از 12 تا 0 در پیمانه 5 به صورت زیر نوشته می‌شوند:

که 12 همان 3 در پیمانه 5 است. از آنجا که همه اعداد صحیح را می‌توان به صورت 0، 1، 2، 3 یا 4 نشان داد ما به این اعداد صحیح نام‌های خاصی می‌دهیم که کلاس‌های باقیمانده پیمانه 5 هستند. به طور کلی برای هر عدد طبیعی n که بزرگ‌تر از 1 است، باقی‌مانده‌های پیمانه n عددهای صحیحی به صورت اعداد کامل کمتر از 1-n هستند:

این وضعیت به ارتباط بین هر عدد صحیح و باقیمانده‌هایش بر اساس قضیه تقسیم مربوط است. با این که شاید این موضوع در ابتدا چندان مفید به نظر نرسد؛ اما شمارش به این ترتیب می‌تواند به حل انواع مختلفی از مسائل نظریه اعداد به روشی بسیار آسان‌تر کمک کند.

باقیمانده

a را باقیمانده عدد n به پیمانه m می‌گوییم، وقتی شرایط زیر برقرار باشد:

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

همنهشتی (هم ارزی)

برای این که بگوییم همه اعداد صحیح به طور یکسانی یکی از باقیمانده‌های پیمانه 5 هستند، یک روش ریاضیاتی وجود دارد. برای نمونه می‌گوییم 7 و 2 به پیمانه 5 همنهشت هستند. این وضعیت با نماد ≡ نمایش می‌یابد. به بیان دیگر این به آن معنی است که در مبنای 5 این دو عدد صحیح، باقیمانده یکسانی به پیمانه 5 دارند:

بخش (mod 5) اعلام می‌کند که مشغول کار با اعداد صحیح به پیمانه 5 هستیم. در پیمانه 5 دو عدد صحیح زمانی همنهشت هستند که اختلاف آن‌ها مضربی از 5 باشد. به طور کلی دو عدد صحیح a و b به پیمانه n همنهشت خوانده می‌شوند در صورتی که a-b مضربی از n باشد. به بیان دیگر $$a ≡ b (mod n)$$ در صورتی که $$a-b \over n$$ یک عدد صحیح باشد. در غیر این صورت $$a \not\equiv b (\textrm{mod}\ n)$$ که به این معنی است که a و b به پیمانه n با یکدیگر همنهشت نیستند.

مثال

$$31 \equiv 1 (\textrm{mod}\ 7)$$ زیرا 30= 1 -31 مضربی از 10 است.

$$43 \equiv 22 (\textrm{mod}\ 7)$$ زیرا $${43 - 22 \over 7} = {21 \over 7} = 3$$ یک عدد صحیح است.

$$8 \not\equiv -8 (\textrm{mod}\ 3)$$ زیرا $$8 - (-8) = 16$$ مضربی از 3 نیست.

$$91 \not\equiv 18 (\textrm{mod}\ 6)$$ زیرا $${91- 18 \over 6} = {73 \over 6}$$ یک عدد صحیح نیست.

مسئله نمونه

باقیمانده 311 به پیمانه 4 را بیابید:

راه‌حل

از آنجا که 311 تقسیم بر 77 باقیمانده‌ای برابر با 3 دارد، می‌دانیم که $$311 \equiv 3 (\textrm{mod}\ 4)$$

و می‌گوییم 3 باقیمانده 311 به پیمانه 4 است.

راه‌حل دیگر

از آنجا که 11+300 = 311 می‌دانیم که

$$311 \equiv 0+11 (\textrm{mod}\ 4)$$

اینک می‌توانیم آن را به روشی ساده‌تر حل کنیم:

$$11 \equiv 3 (\textrm{mod}\ 4)$$

و 3 باقیمانده 311 به پیمانه 4 است.

ساده‌تر کردن محاسبات

در همه موارد برای حل مسائل مختلف نیازمند محاسبات پیچیده نیستیم. اگر بخواهیم باقیمانده تقسیم اعداد بر عدد صحیح n را بدانیم، در این صورت می‌توانیم به طور مستقیم با آن باقیمانده‌ها به پیمانه n کار کنیم. در ادامه برای تفهیم بهتر موضوع چند مثال ارائه کرده‌ایم:

فیلم آموزش ریاضی صنف هفتم – ویژه دانش آموزان افغانستانی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

جمع

فرض کنید می‌خواهیم یکان عدد حاصل جمع زیر را بدانیم:

4339 + 688 + 791 + 2403

می‌توان مجموع فوق را که برابر با 8221 است محاسبه کرد و متوجه شد که رقم یکان برابر با 1 است. با این وجود می‌توانیم رقم یکان حاصل جمع را با محاسبات بسیار کمتری نیز پیدا کرد. بدین منظور کافی است ارقام یکان اعداد فوق را با هم جمع کرد:

21 = 9 + 8 + 1 + 3

رقم یکان مجموع فوق برابر با 1 است که باید برابر با همان رقم یکان مجموع اعداد چهار رقمی باشد که قبلاً محاسبه کردیم.

در برخی موارد کافی است از باقیمانده‌ها استفاده کنیم

هر یک از اعداد صحیح را می‌توان به صورت مضربی از 10 و باقیمانده نوشت:

3 + 10 × 240 = 2403