تخمین منحنی تنش–کرنش

یکی از اطلاعات مورد نیاز در طراحی‌های مهندسی و تعیین مقاومت مصالح، منحنی تنش-کرنش ماده است. در صورتی که داده‌های آزمایشگاهی کافی برای رسم دقیق این منحنی در دسترس نباشند، باید از روش‌های تخمینی برای به دست آوردن آن استفاده کرد. معادله «رامبرگ-ازگود» (Ramberg-Osgood)، تنها با به کارگیری مقادیر مقاومت تسلیم، مقاومت نهایی، مدول الاستیک و درصد کشیدگی یک ماده، منحنی تنش-کرنش آن را تخمین می‌زند. پارامترهای مذکور، از خواص متداول مواد به حساب می‌آیند و دسترسی به آن‌ها نسبتاً آسان است.

بر اساس معادله رامبرگ-ازگود، رابطه کرنش کل (الاستیک و پلاستیک) با توجه به مقادیر تنش، به صورت زیر خواهد بود:

σ: مقدار تنش؛ E: مدول الاستیک ماده؛ S_ty: مقاومت کششی ماده؛ n: توان کرنش سخت‌شوندگی (با استفاده از خواص معلوم ماده محاسبه می‌شود)

در ادامه، پارامترهای موجود در این معادله را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

معادله رامبرگ-ازگود

معادله «رامبرگ» (Ramberg) و «ازگود» (Osgood) به طور معمول برای تخمین منحنی تنش-کرنش یک ماده مورد استفاده قرار می‌گیرد. این معادله، به صورت نمایی است و برای تعریف کرنش پلاستیک در یک ماده به کار گرفته می‌شود.

منحنی تنش-کرنش در ناحیه پلاستیک را می‌توان توسط رابطه زیر تخمین زد:

ε_p: کرنش پلاستیک؛ H: ضریب مقاومت (هم واحد با تنش)؛ n: توان کرنش سخت‌شوندگی (بدون واحد)

کرنش الاستیک در یک ماده، دارای رابطه خطی با تنش است:

ε_e: کرنش الاستیک؛ E: مدول الاستیک

از مجموع کرنش الاستیک و پلاستیک، کرنش کل حاصل می‌شود:

تعیین ثابت‌های معادله رامبرگ-ازگود

برای اینکه معادله رامبرگ-ازگود، کارایی مورد نظر را داشته باشد، باید ثابت‌های n و H را به دست آورد. این ثابت‌ها، با استفاده از روابط زیر محاسبه می‌شوند:

در معادلات بالا، (σ1,ε1) و (σ2,ε2)، دو نقطه در ناحیه پلاستیک منحنی تنش-کرنش هستند. برای محاسبه ثابت‌های مورد نیاز، در مرحله اول باید مختصات این دو نقطه را به دست آورد.

اگر مقاومت تسلیم (S_ty)، مقاومت نهایی (S_tu)، مدول الاستیک (E) و کرنش در نقطه شکست (ε_f) برای یک ماده مشخص باشد، دو نقطه تسلیم و نهایی در ناحیه پلاستیک قابل محاسبه خواهند بود. در نهایت، با استفاده از این دو نقطه، می‌توان منحنی ناحیه پلاستیک را به دست آورد. کرنش در ناحیه شکست، از رابطه زیر به دست می‌آید:

در معادله بالا، eL، درصد کشیدگی ماده را نشان می‌دهد که مقدار آن معمولاً در دسترس است.

توجه به این نکته ضروری است که در ناحیه پلاستیک منحنی، مقدار معادله (σ=Hε_pⁿ)، به کرنش پلاستیک وابسته خواهد بود. از این‌رو، باید مقادیر کرنش پلاستیک برای دو نقطه مورد نظر را تعیین کرد. این کرنش با استفاده از کرنش کل قابل محاسبه خواهد بود:

ε: تنش کل؛ ε_e: تنش الاستیک

جدول زیر برای تعیین نقطه تسلیم و نقطه نهایی مورد استفاده قرار می‌گیرد:

	تنش (σ)	کرنش کل (ε)	کرنش الاستیک (εe)	کرنش پلاستیک (εp)
نقطه تسلیم:	Sty			0.002
نقطه نهایی:	Stu			εf

توجه داشته باشید که در هنگام تعیین کرنش در نقطه تسلیم، میزان کرنش پلاستیک، 0.002 فرض شده است. این مقدار با روش آفست 0.2 درصد در منحنی تنش-کرنش برابری می‌کند. برای اینکه نقطه تسلیم در ناحیه پلاستیک منحنی قرار گیرد، اتخاذ چنین فرضی ضروری است. با توجه به جدول بالا، مشاهده می‌شود که نقطه تسلیم و نقطه نهایی در ناحیه پلاستیک، دارای مختصات زیر هستند:

• نقطه تسلیم: (S_ty,0.002)
• نقطه نهایی: (S_tu,ε_f)

با در دست داشتن دو نقطه در ناحیه پلاستیک منحنی، ثابت‌های n و H برای معادله رامبرگ-ازگود قابل محاسبه خواهند بود. توان کرنش سخت‌شوندگی (n) نیز با توجه به رابطه زیر به دست خواهد آمد:

مقدار H با استفاده از نقطه تسلیم با مختصات (S_ty,0.002)، به عنوان نقطه مرجع محاسبه شده است:

حال که n و H تعیین شده‌اند، معادله کرنش کل بر حسب مقدار تنش به دست می‌آید:

با جایگذاری عبارت H، می‌توان معادله بالا را ساده‌سازی کرد. به این ترتیب، معادله نهایی برای به دست آوردن کرنش کل بر حسب پارامتر تنش، به صورت زیر درمی‌آید:

توجه: توان کرنش سخت‌شوندگی (n) و پارامتر رامبرگ-ازگود (n)، دارای نماد یکسانی هستند؛ به همین دلیل، نباید این دو را با یکدیگر اشتباه گرفت. این پارامترها، در واقع معکوس یکدیگر هستند و این موضوع، تشخیص آن‌ها را پیچیده‌تر می‌کند. در عمل، به جای پارامتر رامبرگ-ازگود، توان کرنش سخت‌شوندگی در معادله مورد استفاده قرار می‌گیرد زیرا توان کرنش سخت‌شوندگی، به عنوان یک خصوصیت کلی ماده شناخته می‌شود و خارج از مبحث معادله رامبرگ-ازگود نیز کارایی دارد.