بخش پذیری در اعداد — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره اعداد حقیقی و صحیح بحث کردیم. در این آموزش، به بررسی قوانین مربوط به بخش پذیری در اعداد صحیح می‌پردازیم. اگر حاصل تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، یک عدد صحیح و بدون باقیمانده باشد، گفته می‌شود که عدد اول بر عدد دوم بخش‌پذیر است.

بخش پذیری

اگر تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، یک «عدد صحیح» (Whole Number) را نتیجه دهد، گفته می‌شود عدد اول بر عدد دوم بخش‌پذیر است.

در این حالت باقیمانده تقسیم باید برابر با صفر باشد.

مثال‌هایی از بخش‌پذیری

عدد ۱۴ به ۷ بخش‌پذیر است، زیرا:

$$14 \div 7 = 2$$

عدد ۱۵ بر 6 بخش‌پذیر نیست، زیرا:

$$15 \div 6 = 2 \frac{1}{2}$$

عدد صفر به عدد 3 بخش‌پذیر است، زیرا:

$$0 \div 3 = 0$$

نکته: «بخش پذیری» (Divisibility) و «دقیقا قابل تقسیم» (Exactly Divided By)، دو گزاره معادل هم هستند.

قوانین بخش‌پذیری

این قوانین بدون انجام محاسبات پیچیده، بخش پذیری یک عدد بر عدد دیگر را بررسی ‌و آزمایش می‌کنند.

مثال

آیا عدد 723 بر ۳ بخش‌پذیر است؟

حل: با تقسیم عدد ۷۲۳ به سه داریم:

$$723 \div 3 = 241$$

همچنین می‌توان از قانون بخش پذیری بر عدد سه نیز استفاده کرد. این قانون در ادامه مطلب بیان می‌شود.

نکته: صفر بر همه اعداد صحیح بخش‌پذیر است، زیرا حاصل تقسیم آن به هر عدد صحیح، برابر صفر است. اما هیچ‌یک از اعداد صحیح بر صفر بخش‌پذیر نیستند و نتیجه تقسیم اعداد صحیح بر صفر نامعین است.

بخش‌پذیری بر ۱

هر عدد صحیحی بر یک بخش‌پذیر است.

بخش‌پذیری بر ۲

برای اینکه یک عدد صحیح بر دو بخش‌پذیر باشد، باید رقم آخر آن یکی از اعداد ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ باشد. عدد زوج به عددی گویند که بر ۲ بخش‌پذیر است. مثلا عدد ۱۲۸ به دو بخش‌پذیر است، اما ۱۲۹ به دو بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۳

برای اینکه یک عدد صحیح بر سه بخش‌پذیر باشد، مجموع رقم‌های آن باید مضربی از سه باشد. برای مثال عدد ۳۸۱ را در نظر بگیرید. مجموع رقم‌های این عدد به صورت زیر است:

$$381 \to (3+8+1 = 12 \, \, \, , \, \, \, 12 \div 3 =4)$$

بنابراین عدد ۳۸۱ به ۳ بخش‌پذیر است. برای عدد ۲۱۷:

$$217 \to (2+1+7=10 \, \, \, , \, \, \, 10 \div 3 = 3 \frac{1}{3})$$

پس عدد ۲۱۷ بر سه بخش‌پذیر نیست. این قانون، قابلیت تکرار دارد. یعنی اگر مجموع رقم‌های یک عدد، دو رقمی شود، می‌توان رقم‌های عدد دو رقمی را دوباره با هم جمع کرد. سپس آزمایش بخش‌پذیری بر سه را انجام داد.

برای مثال عدد ۹۹۹۹۶ را در نظر بگیرید. بخش‌پذیری این عدد بر سه را بررسی می‌کنیم:

$$99996 \to 9+9+9+9+6 = 42 \to 4+2 =6 \, \, \, , \, \, \, 6 \div 3 =2$$

پس این عدد، به سه بخش‌پذیر است. همچنین اگر همه ارقام یک عدد مضاربی از سه باشند، آن عدد بر سه بخش‌پذیر است.

بخش‌پذیری بر ۴

برای اینکه یک عدد صحیح بر چهار بخش‌پذیر باشد،‌ لازم است دو رقم آخر آن بر چهار قابل تقسیم باشد. برای مثال اعداد ۱۳۱۲ و ۷۰۱۹ را در نظر بگیرید.

$$1312 \to 12 \div 4 = 3$$

پس عدد ۱۳۱۲ بر ۴ بخش‌پذیر است.

$$7019 \to 19 \div 4 = 4 \frac{3}{4}$$

پس عدد ۷۰۱۹ بر ۴ بخش‌پذیر نیست.

یک روش سریع برای بخش‌پذیری بر عدد چهار، این است که عدد را دو بار نصف کنیم. اگر نتیجه یک عدد صحیح شود، آن عدد بر چهار بخش‌پذیر است و در غیر این صورت بخش‌پذیر نیست.

برای مثال:

$$12 \div 2 = 6 \, \, \, , \, \, \, 6 /2 = 3$$

عدد ۳ یک عدد صحیح است، بنابراین عدد ۱۲ بر ۴ بخش‌پذیر است.

یا برای عدد ۳۰ داریم:

$$30 / 2 = 15 \, \, \, , \, \, \, 15 /2 = 7.5$$

7.5 یک عدد صحیح نیست، پس عدد ۳۰ بر ۴ بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۵

برای اینکه یک عدد بر ۵ بخش‌پذیر باشد، رقم آخر عدد باید صفر یا پنج باشد. برای مثال عدد ۱۷۵ بر ۵ بخش‌پذیر است، اما ۸۰۹ بر ۵ بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۶

برای اینکه یک عدد بر ۶ بخش‌پذیر باشد، باید زوج و بخش‌پذیر بر ۳ باشد. یعنی هر دو شرط بخش‌پذیری بر ۲ و بخش‌پذیری بر ۳ را داشته باشد. برای مثال عدد ۱۱۴ را در نظر بگیرید. این عدد زوج است و بر ۳ نیز بخش‌پذیر است، زیرا:

$$114 \to 1+1+4 = 6 \, \, \, , \, \, \, 6 \div 3 =2$$

به عنوان مثالی دیگر، ۳۰۸ یک عدد زوج است اما بر ۳ بخش‌پذیر نیست. زیرا:

$$308 \to 3+0+8 =11 \, \, \, , \, \, \, 11 \div 3 = 3 \frac{2}{3}$$

در نتیجه 308 بر 6 نیز بخش پذیر نخواهد بود.

بخش‌پذیری بر ۷

یک عدد را در نظر بگیرید. رقم آخر عدد (اولین رقم از سمت راست) را دو برابر کنید و سپس این عدد را از عدد حاصل از بقیه رقم‌ها کم کنید. اگر عدد حاصل، بر ۷ بخش‌پذیر باشد، عدد اولیه نیز بر ۷ بخش‌پذیر خواهد بود. می‌توان این قانون را چندین بار تکرار کرد.

برای مثال عدد ۶۷۲ را در نظر بگیرید. دو برابر کردن رقم آخر (۲)، عدد چهار را نتیجه می‌دهد. با کم کردن ۴ از دو رقم اول عدد (۶۷)، داریم:

$$67 -4 = 63 \to 63 \div 7 = 9$$

می‌توان این قانون را دوباره به عدد ۶۳ اعمال کرد. دو برابر عدد ۳ برابر ۶ است. با کم کردن این عدد از بقیه اعداد (6)، داریم:

$$6 -6 =0 \, \, \, , \, \, \, 0 \div 7 = 0$$

همانطور که می‌دانیم، صفر بر همه اعداد صحیح بخش‌پذیر است. بنابراین عدد ۶۷۲ بر ۷ بخش‌پذیر است.

به عنوان مثالی دیگر، عدد ۱۰۵ را در نظر بگیرید. با دو برابر کردن رقم آخر (۵)، عدد ۱۰ حاصل می‌شود. با کم کردن ده از بقیه ارقام، داریم:

$$10 - 10 = 0 \, \, \, , \, \, \, 0 \div 10 = 0$$

حال عدد ۹۰۵ را در نظر بگیرید. با دو برابر کردن عدد ۵، به عدد ۱۰ می‌رسیم. حال اگر این عدد را از بقیه ارقام کم کنیم، داریم:

$$90-10 = 80 \, \, \,  , \, \, \, 80 \div 7 = 11 \frac{3}{7}$$

پس عدد ۹۰۵ بر ۷ بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۸

برای اینکه یک عدد بر ۸ بخش‌پذیر باشد، لازم است سه رقم آخر آن بر ۸ قابل تقسیم باشد. مثلا عدد 109816 را در نظر بگیرید. سه رقم آخر این عدد، برابر با ۸۱۶ است. این عدد بر ۸ بخش‌پذیر است. بنابراین عدد 109816 بر ۸ بخش‌پذیر است. برای عدد ۲۱۶۳۰۲ داریم:

$$216302 \to 302 \div 8 = 37 \frac{3}{4}$$

یک روش سریع‌تر، این است که عدد را سه بار نصف کنیم. اگر نتیجه همچنان یک عدد صحیح باشد، عدد اولیه بر ۸ بخش‌پذیر است. برای اعداد 109816 و 216302 داریم:

$$816/2 = 408 \, \, \, , \, \, \, 408 /2 = 204 \, \, \, , \, \, \, 204 /2 =102$$

بنابراین عدد 109816 (یا هر عددی که با سه رقم آخر 816)، بر ۸ بخش‌پذیر است.

$$302 / 2 = 151 \, \, \, , \, \, \, 151 /2 = 75.5$$

بنابراین عدد 216302 (یا هر عددی که سه رقم آخر آن ۳۰۲ است)، بر ۸ بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۹

اگر جمع رقم‌های یک عدد بر ۹ قابل تقسیم باشد، این عدد بر ۹ بخش‌پذیر است. البته می‌توان در هنگام نیاز، این قانون را تکرار کرد.

برای مثال، عدد ۱۶۲۹ را در نظر بگیرید. آزمایش بخش‌پذیری بر ۹ برای این عدد به صورت زیر است:

$$1629 \to 1+ 6 + 2+ 9 =18 \to 1+8 =9$$

پس این عدد، بر ۹ بخش‌پذیر است.

برای عدد ۲۰۱۹ داریم:

$$2019 \to 2+0+1+9 = 12 \to 1+2 =3$$

پس این عدد بر ۹ قابل تقسیم نیست.

بخش‌پذیری بر ۱۰

از آنجا که در ریاضیات، اعداد در دستگاه ۱۰ هستند و سیستم اعداد ده‌دهی است، برای بخش‌پذیری بر ۱۰، کافی است رقم آخر عدد، صفر باشد. مثلا ۲۲۰ بر عدد ۱۰ بخش‌پذیر است، اما ۲۲۱ بر ۱۰ بخش‌پذیر نیست.

بخش‌پذیری بر ۱۱

رقم‌های عدد را یک در میان جمع و کم می‌کنیم. اگر عدد به دست آمده، بر ۱۱ قابل تقسیم باشد، عدد اولیه نیز بر ۱۱ بخش‌پذیر خواهد بود. برای مثال، اعداد زیر را در نظر بگیرید:

$$1364 \to +1-3+6-4 =0$$

پس عدد ۱۳۶۴ بر ۱۱ بخش‌پذیر است.

$$913 \to +9-1+3 =11$$

پس عدد ۹۱۳ بر ۱۱ بخش‌پذیر است.

$$3729 \to +3-7+2-9 = -11$$

پس عدد ۳۷۲۹ بر ۱۱ بخش‌پذیر است.

$$987 \to +9-8+7 = 8$$

پس عدد ۹۸۷ بر ۱۱ بخش‌پذیر نیست.

روش دیگری برای محاسبه بخش پذیری بر ۱۱ وجود دارد که در ادامه بیان می‌شود. ابتدا رقم آخر عدد را از بقیه اعداد کم کنید. اگر این عدد بر ۱۱ قابل تقسیم باشد، عدد اولیه نیز بر ۱۱ بخش‌پذیر خواهد بود. می‌توان این قانون را تکرار کرد. برای مثال، عدد ۲۸۶ را در نظر بگیرید. برای این عدد داریم:

$$286 \to 28 -6 = 22$$

22 بر ۱۱ بخش‌پذیر است، پس عدد ۲۸۶ نیز بر ۱۱ بخش‌پذیر است.

به عنوان مثالی دیگر، عدد ۱۴۶۴۱ را در نظر بگیرید. برای این عدد داریم:

$$1464 -1 = 1463$$

با اعمال مجدد این قانون داریم:

$$146-3 = 143$$

$$14 - 3 =11$$

تقسیم عدد ۱۱ بر ۱۱، عدد صحیح ۱ را نتیجه می‌دهد. پس می‌توان گفت که عدد 14641 بر ۱۱ بخش‌پذیر است.

بخش‌پذیری بر ۱۲

برای اینکه یک عدد بر ۱۲ بخش‌پذیر باشد، باید بر ۳ و ۴ بخش‌پذیر باشد.

برای مثال عدد ۶۴۸ بر عدد ۴ بخش‌پذیر است. زیرا دو رقم آخر آن مضربی از ۴ است. همچنین این عدد بر ۳ نیز بخش‌پذیر است، زیرا:

$$648 \to 6+4+8 = 18 \to 18 \div 3 = 6$$

پس عدد ۶۴۸ بر ۱۲ بخش‌پذیر است. برای عدد ۵۲۴ نیز داریم:

 $$524 \to 5 + 2 +4 = 11 , \, \, \, 11 \div 3 = 3 \frac{2}{3}$$

بنابراین این عدد بر سه بخش‌پذیر نیست، پس لازم نیست شرط بخش‌پذیری عدد بر ۴ بررسی شود و این عدد بر ۱۲ بخش‌پذیر نیست.

عامل‌های ضرب

یک عدد را در نظر بگیرید. اگر بتوان این عدد را از ضرب دو یا چند عدد دیگر به دست آورد، گفته می‌شود که این دو یا چند عدد، عامل‌های عدد مورد نظر هستند.

برای مثال ضرب زیر را در نظر بگیرید:

$$2 \times 3 = 6$$

گفته می‌شود که اعداد ۲ و ۳ عامل‌های عدد ۶ هستند.

اگر یک عدد بر عددی دیگر بخش‌پذیر باشد، بر عامل‌های آن عدد نیز بخش‌پذیر است. برای مثال، اگر یک عدد بر ۶ بخش‌پذیر باشد، بر عامل‌های آن یعنی ۲ و۳ نیز بخش‌پذیر است. یا اگر یک عدد بر ۱۲ بخش‌پذیر باشد، بر عامل‌های ۱۲،‌ یعنی ۳ و ۴ یا ۲ و ۶ نیز بخش‌پذیر است.