طول منحنی برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس مفاهیم توابع برداری شرح داده شدند. همان‌طور که احتمالا می‌دانید این توابع به صورت بردار هستند و طول آن‌ها را نمی‌توان همانند یک تابع اسکالر بدست آورد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نحوه بدست آوردن طول منحنی برداری را توضیح دهیم. توجه داشته باشید که اصطلاحات تابع برداری، تابع پارامتری، خم برداری و خم پارامتری همگی معادل یکدیگر هستند.

بدست آوردن طول منحنی برداری

به منظور بیان نحوه محاسبه طول منحنی برداری، در ابتدا دیفرانسیل طول منحنی برداری را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ \large x = f \left ( t \right ) \hspace {0.5in} y = g \left ( t \right )\hspace {0.5in}\alpha \le t \le \beta $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ در فرادرس

کلیک کنید

توجه داشته باشید که به منظور دنبال کردن خم برداری، جهت حرکت روی خم، با افزایش $$t$$ از چپ به راست در نظر گرفته می‌شود. این جمله در قالب ریاضیات، به صورت زیر قابل بیان است:

$$ \large \frac { { d x } } { { d t } } \ge 0 \ \ \ , \ \ \ {\mbox{for } } \alpha \le t \le \beta $$

پیش‌تر و در مطلب انتگرال توابع برداری نحوه محاسبه انتگرال طولی یک تابع را توضیح داده بودیم. در مطلب مذکور عنوان شد که انتگرال خطی روی یک تابع اسکالر را می‌توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد.

$$ \large L = \int { { d s } } $$

$$ds$$ در رابطه فوق در دو حالتی که $$y$$ تابعی از $$x$$ یا $$x$$ تابعی از $$y$$ باشد، مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$ \begin {align*} d s & = \sqrt { 1 + { { \left ( { \frac {{ dy } } {{ d x } } } \right ) } ^2 } } \, d x \,\hspace{0.25in}{\mbox{,} } \ \ y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds & = \sqrt {1 + { { \left( {\frac{ { dx }}{ { d y } } } \right) } ^ 2 } } \, d y \, \hspace {0.25in}{\mbox{,}} \ \ x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\end{align*}$$

برای اثبات فرمول طول منحنی برداری از رابطه اول استفاده می‌کنیم. توجه داشته باشید که استفاده از رابطه دوم نیز مانعی ندارد. در ادامه مولفه اولِ تابع برداری یا همان $$x$$ را به صورت زیر بیان کرده‌ایم.

$$ \large d x = f ^ { \prime } \left ( t \right ) \, d t = \frac { { d x } } {{ d t } } \, d t $$

با توجه به دیفرانسیل $$dx$$ بدست آمده در بالا، طول $$L$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large L = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\,\,\frac {{ d y }}{ { d t } } \, \, } } { { \frac { { d x } } { {d t } } } } } \right ) } ^2}} \frac { { d x } } { { d t } } d t \,}} = \int_{{\,\alpha } } ^ { { \,\beta }}{{\sqrt {1 + \frac{{{{\left( {\frac { { d y} } { { d t } } } \right)} ^ 2 } }} { { {{\left( {\frac { {d x } } { { d t } }} \right)}^2 } }} } \frac { { d x} } { { d t } } d t \, } }$$

همان‌طور که می‌بینید رابطه فوق به نظر پیچیده می‌رسد. از این رو با فاکتورگیری از مخرج کسر، رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\large L = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{\frac{1}{{\left| {\frac {{d x } }{ {d t } }} \right|}}\sqrt { { { \left( {\frac {{ d x }} {{ d t} } } \right ) } ^ 2 } + { { \left( {\frac { { d y } } { { d t } }} \right)}^2}} \,\,\,\,\frac { { d x } } { { d t } } d t \,}}$$

حال با فرض این‌که روی خم، از چپ به راست حرکت می‌کنیم، می‌توانیم از علامت قدرمطلق صرف نظر کرده و نهایتا فرمول زیر برای محاسبه طول منحنی برداری بدست می‌آید.

$$ \large \boxed {L = \int _ { { \, \alpha } } ^ {{ \,\beta }}{{\sqrt {{{\left ( { \frac { { d x } }
{ { d t} }} \right ) } ^ 2 } + { { \left( {\frac { { d y } }{ { d t} } } \right ) } ^2 } } \,\,dt\, } }} $$

مثال ۱

طول منحنی برداری زیر را در بازه نشان داده شده بدست آورید.

$$ \large x = 3 \sin \left ( t \right ) \ , \ y = 3\cos \left( t \right) \ , \ 0 \le t \le 2 \pi $$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که می‌دانید رابطه پارامتری بالا نشان دهنده دایره‌ای به شعاع $$3$$ و مرکز $$(0,0)$$ است. در ابتدا مشتقات پارامتری را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

$$ \large \frac { { d x} } {{ d t } } = 3\cos \left( t \right) \ \ , \ \ \frac { { d y } } { {d t } } = - 3\sin \left( t \right) $$

نهایتا طول منحنی پارامتری مذکور، به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large \begin {align*} L & = \int _ { { \,0}}^{{\,2\pi }}{{\sqrt {9{{\sin }^2}\left( t \right) + 9{{\cos }^2}\left( t \right)} \,\,d t \, } } \\ & = \int _ { { \, 0 } } ^ {{\,2\pi }}{{3\sqrt { { {\sin }^2}\left( t \right) + {{\cos }^2}\left( t \right)} \,\,dt\,}}\\ & = 3\int_{{\,0}}^{{\,2\pi } }{ { \, d t \, } } \\ & = 6 \pi \end{align*}$$

همان‌طور که بیان شد رابطه فوق نشان دهنده دایره‌ای به شعاع $$6$$ است. بنابراین طول خم برابر با محیط دایره یا همان $$6 \pi$$ است. لذا پاسخ بدست آمده درست است.

مثال ۲

با استفاده از رابطه بیان شده در این مطلب، طول خم برداری زیر را بدست آورید.

$$ \large x = 3\sin \left( { 3 t } \right)\hspace{0.5in} y = 3 \cos \left ( { 3 t } \right ) \hspace {0.5in} 0 \le t \le 2 \pi $$

توجه داشته باشید که این رابطه در مثال ۲ نیز ذکر شده بود. تفاوت در این است که در این جا دایره، $$3$$ دور زده است. بنابراین اگر نخواهیم به روش انتگرالی عمل می‌کنیم می‌توانیم محیط یکی از دایره‌ها را در $$3$$ ضرب کنیم. با این حال، به روش انتگرالی، در ابتدا باید مشتق تابع پارامتری را به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ \large \frac { { d x } } { { d t } } = 9 \cos \left ( {3t} \right ) \hspace{0.5in},\hspace{0.25in}\frac { { d y } } {{ d t}} = - 9\sin \left( {3t} \right)$$

در آخر با استفاده از رابطه طول خم، داریم:

$$ \large \begin {align*} L & = \int _ { { \, 0 } } ^{ { \, 2 \pi } } { { \sqrt {81{{\sin }^2}\left( {3t} \right) + 81{{\cos }^2}\left( {3t} \right)} \,\, d t \,}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{9\,\,dt\,}}\\ & = 18\pi \end{align*}$$

مثال ۳

طول خم پارامتری یا همان منحنی پارامتری زیر را بدست آورید.

$$ \large \begin {align*}x = 8 { t ^{\frac { 3} {2} }}\hspace{0.25in}, \ \ y = 3 + { \left ( { 8 - t} \right ) ^{ \frac { 3 }{2 }} }\hspace{0.25in} , 0 \le t \le 4 \end{align*}$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ + حل مثال در فرادرس

کلیک کنید

در ابتدا باید مشتق مولفه‌های بردار را به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ \large \frac { { d x} } { { d t } } = 12 { t ^ { \, \frac { 1 }{ 2 }} } \ \ , \ \ \frac { { d y } } {{ dt } } = - \frac { 3 } { 2} {\left( {8 - t} \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }} $$

با توجه به مشتقات فوق، دیفرانسیل طول خم برابر است با:

$$ \large d s = \sqrt {{{\left[ {12{t^{\,\frac{1}{2}}}} \right]}^2} + {{\left[ { - \frac{3}{2}{ { \left( {8 - t} \right ) } ^ {\frac{1}{2}}}} \right]}^2}} \,dt = \sqrt {144t + \frac{9}{ 4 } \left( {8 - t} \right)} \,dt = \sqrt {\frac { { 567}} { 4 } t + 18 } \, d t $$

بنابراین طول خم با استفاده از انتگرال زیر بدست می‌آید.

$$\large L = \int _ { { } } ^ { { }} {{ d s} } = \int _ {0 } ^ { 4} { { \sqrt { \frac { {567}} { 4 } t + 18 } \, d t }}$$

این انتگرال با استفاده از تغییر متغیر و به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$ \large L = \int_{0}^{4}{{\sqrt {\frac{{567}}{4}t + 18} \, d t }} = \left. {\frac{4}{{567 } } \left( { \frac { 2 } {3 } } \right ) { { \left ( { \frac { { 567 } } { 4 } t + 18 } \right ) } ^ { \frac{3}{2}}}} \right|_0^4 =66.1865$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضی
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مفاهیم، روش‌ های محاسبه و کاربردهای انتگرال — مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس
• انتگرال خطی — به زبان ساده
• تابع برداری — به زبان ساده

^^