جمع و تفریق ذهنی – از صفر تا صد

امروزه برای محاسبه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد از ماشین حساب استفاده می‌کنیم. در اغلب تلفن‌های همراه نیز برنامه ماشین حساب وجود دارد که می‌توانیم از آن‌ها برای انجام محاسبه مجموع خرید روزانه، باقی پول خرید و غیره استفاده کنیم. ولی اگر تلفن همراه‌تان در دسترس‌تان نباشد چه کاری باید کرد؟ تنها راه باقی‌مانده، استفاده از محاسبات بخصوص جمع و تفریق ذهنی است. ولی شاید این کار وقت‌گیر بوده و احتیاج به کاغذ و خودکار داشته باشد؛ نگران نباشید. روش‌هایی وجود دارند که محاسبات جمع و تفریق ذهنی را برایتان، راحت و ساده می‌کنند. در این نوشتار به جمع و تفریق ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و از رمزهای آن آگاه خواهیم شد.

در مطلبی که در ادامه آمده است با استفاده از مجموعه اعداد صحیح، محاسبات را انجام می‌دهیم. برای آشنایی بیشتر با این اعداد می‌توانید مطالب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن جمع در اکسل --- به زبان ساده و تفریق در اکسل --- به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

جمع و تفریق ذهنی

شاید به نظرتان افرادی که جمع و تفریق ذهنی را انجام می‌دهند، نابغه باشند. ولی آن‌ها به کمک روش‌هایی ساده، این عملیات را به سرعت انجام می‌دهند.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

همانطور که در عنوان این مطلب دیده می‌شود، هدف در جمع و تفریق ذهنی پیدا کردن روش‌هایی است که به کمک آن‌ها بتوانیم به راحتی و البته با سرعت، نتایج جمع و تفریق ذهنی دو عدد را پیدا کنیم. با توجه به روابطی که بین دو عدد وجود دارد، روش‌های مختلفی برای جمع‌ و تفریق ذهنی آن‌ها ایجاد شده است. البته همیشه عمل جمع یا تفریق به صورت عادی، نتیجه بخش خواهد بود ولی در اینجا به دنبال سرعت بخشیدن به عمل جمع و تفریق ذهنی هستیم.

نکته: به این موضوع توجه داشته باشید که عملیاتی که در ادامه مرتبط با جمع و تفریق ذهنی بوده و مورد بحث قرار می‌گیرد از خاصیت‌های جابجایی، شرکت‌پذیری و پخشی عملگرهای ریاضی استفاده می‌کنند تا انجام محاسبات را به شکلی درآوردند که برای ذهن ما ساده‌تر باشد.

جمع ذهنی

برای شروع کار به جمع‌کردن ذهنی اعداد می‌پردازیم. ابتدا برای جمع ساده برای اعداد یک رقمی و سپس نوع خاصی از اعداد دو رقمی روش‌هایی را معرفی کرده، سپس برای جمع اعداد مختلف، راه‌کارهایی را ارائه می‌کنیم.

جمع اعداد زیبا

زوج اعداد زیر را در نظر بگیرید:

۱ و 9

2 و ۸

۳ و ۷

۴ و ۶

۵ و ۵

همانطور که می‌بینید مجموع هر یک از این زوج‌ها برابر با مقدار ۱۰ است. هر چند این موضوع را همه می‌دانند ولی استفاده از آن برای انجام عملیات جمع و تفریق بسیار کارساز است. اجازه دهید این زوج اعداد را به عنوان اعداد زیبا نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب هر گاه هنگام جمع کردن به این زوج‌ها برخوردید، می‌دانید که مجموعشان برابر با ۱۰ است.

مجموع اعداد دو رقمی مقلوب

یکی از نکات جالبی که در جمع‌کردن اعداد دو رقمی خاص به کار می‌رود، جمع اعداد مقلوب است. البته برای تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز قاعده‌ای وجود دارد که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد. ابتدا تعریف دو عدد مقلوب را ارائه می‌دهیم.

دو عدد را مقلوب یکدیگر می‌گویند، اگر یکی از آن‌ها با تغییر ترتیب ارقام دیگری ساخته شده باشد. برای مثال عدد ۱۴ , 41 مقلوب یکدیگر هستند، زیرا ترتیب قرارگیری ۴ و ۱ در چهارده و چهل و یک، عکس یکدیگر است. اعداد ۵۳ و ۳۵، ۹۸ و ۸۹ نیز از این گونه هستند.

واضح است که نتیجه جمع یکان این گونه اعداد با مجموع ده‌گان آن‌ها برابر است. به این ترتیب کافی است که مجموع ارقام یکان این دو عدد را با یکدیگر جمع کرده و در عدد ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل جمع آن دو عدد حاصل شود.

برای مثال جمع ۱۴ و ۴۱ یا ۵۳ و ۳۵ و همچنین ۹۸ و ۸۹ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$\large 1 \, 4 + \overbrace{ 4 \; 1 }^{ 4 + 1 = 5 } = 5 \times 11 = 55$$

$$\large 5 \, 3 + \overbrace{ 3 \; 5 }^{ 3 + 5 = 8 } = 8 \times 11 = 88$$

$$\large 9 \, 8 + \overbrace{ 8 \; 9 }^{ 8 + 9 = 17 } = 17 \times 11 = 187$$

در ادامه روش‌های عدد مبنا، شکست و تجزیه، دزدی رقم و روش ترکیبی را فرا گرفته و برای جمع کردن به کار می‌گیریم.

روش عدد مبنا

در تکنیک عدد مبنا، یک مقدار عددی که محاسبات براساس آن ساده‌تر است را به عنوان معیار قرار داده و سعی می‌کنیم یک یا هر دو عدد مربوط به جمع را برحسب آن بنویسیم. معمولا عدد مبنا می‌تواند ۱۰ یا ۵ باشد. انتخاب این عدد براساس دانشی است که برای جمع کردن اعداد داریم. برای مثال ممکن است فردی جمع اعداد را با ۸ به خوبی انجام دهد. بنابراین بهتر است عدد مبنا را ۸ انتخاب کند.

فیلم آموزش اصول مطالعه – مهارت های تند خوانی و دقیق خوانی در فرادرس

کلیک کنید

نکته: این روش برای زمانی که یکی از عددهای جمع، تک رقمی است، با سرعت عمل می‌کند.

در ادامه با استفاده از مثال‌هایی با تکنیک عدد مبنا آشنا خواهیم شد. توجه داشته باشید که عدد مبنا را مقداری انتخاب کنید که با استفاده از تجزیه یکی از اعداد و جمع با عدد دیگر به آن می‌رسید.

مثال ۱

فرض کنید قرار است دو عدد ۱۵ و ۸ را با یکدیگر جمع کنیم.

$$\large 15 + 8$$

واضح است که این جمع از ۲۰ بزرگتر است. بنابراین ۲۰ را مبنا قرار می‌دهیم. مقدار ۸ را به ۵ و ۳ تفکیک می‌کنیم، زیرا ۱۵ برای آنکه به ۲۰ تبدیل شود، احتیاج به ۵ واحد دارد. پس خواهیم داشت:

$$\large 15 + \underbrace{ 5 + 3 }_8$$

به این ترتیب مجموع ۱۵ و ۵ که برابر با ۲۰ است را در ذهن قرار می‌دهیم.

$$\large \underbrace{20}_{ 15 + 5 } + 3$$

به این ترتیب جمع را به صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

$$\large 20 +  3 = 23$$

مثال ۲

حاصل مجموع ۶۳ و ۹ را با تکنیک عدد مبنا به صورت زیر در ذهن حل می‌کنیم. از آنجایی که مجموع این دو عدد از ۷۰ بزرگتر است، عدد مبنا را ۷۰ (که مضربی از ۱۰ است) انتخاب می‌کنیم.

$$\large 63 + 9$$

حال مراحل زیر را طی می‌کنیم. مشخص است که برای رسیدن به ۷۰ باید ۷ واحد به ۶۳ اضافه شده و ۷ واحد از ۹ نیز کاسته شود.

$$\large 63 + \underbrace{ 7 + 2 }_9$$

در این مرحله، عدد مبنا را بدست می‌آوریم.