تعیین کرنش درون تیرها – به همراه مثال

در مباحث «خمش خالص و غیر یکنواخت» و «انحنای تیر»، به معرفی مفاهیم اولیه مورد نیاز برای تحلیل تیرها پرداختیم. یکی از مهم‌ترین مراحل ارزیابی و تحلیل یک تیر، تعیین میزان کرنش‌های به وجود آمده در آن است. در این مقاله، شما را با فرآیند محاسبه کرنش‌های طولی موجود در یک تیر آشنا خواهیم کرد. در انتها نیز به منظور درک بهتر این فرآیند، به تشریح یک مثال خواهیم پرداخت. برای درک بهتر شیوه تعیین کرنش درون تیرها با مجله فرادرس همراه باشید.

کرنش طولی

کرنش‌های طولی موجود در یک تیر را می‌توان با تحلیل انحنای تیر و تغییر شکل‌های مربوط به آن اندازه‌گیری کرد. برای آشنایی با نحوه تعیین این کرنش‌ها، بخشی از یک تیر تحت خمش خالص را در نظر بگیرید.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

شکل زیر، بخش AB تیری را نمایش می‌دهد که در معرض گشتاورهای خمشی مثبت M قرار دارد.

به منظور تحلیل تیر AB، فرض می‌کنیم که محور طولی آن پیش از اعمال گشتاور به صورت مستقیم بوده و مقطع عرضی آن نسبت به محور y دارای تقارن است (شکل زیر).

با اعمال گشتاور خمشی، تیر در صفحه xy (صفحه خمش) تغییر شکل می‌دهد و محور طولی آن به شکل یک منحنی دایره‌ای درمی‌آید (منحنی s-s در شکل زیر). به دلیل خمیدگی رو به بالای تیر، انحنای آن مثبت در نظر گرفته می‌شود.

پس از اعمال گشتاور خمشی و ایجاد تغییر شکل، سطح مقطع‌هایی نظیر مقطع mn و pq به صورت صفحه‌ای و عمود بر محور طولی تیر باقی می‌مانند. این موضوع یکی از نکات اساسی در حوزه تحلیل تیر به شمار می‌رود و در اغلب موارد از آن به عنوان یک فرضیه یاد می‌شود. با این وجود، در صورت به کارگیری دلایل منطقی مبتنی بر تقارن هندسی تیرها می‌توان نکته مذکور را به عنوان یک تئوری علمی نیز در نظر گرفت.

به این ترتیب، در صورت وجود تقارن در شکل تیر و نحوه بارگذاری، تمام المان‌های تیر (نظیر المان mpqn) باید به صورت یکسان تغییر شکل دهند. این نتیجه‌گیری به ماده تشکیل‌دهنده تیرها (الاستیک یا غیر الاستیک، خطی یا غیر خطی) بستگی ندارد و برای تمام مواد صادق است. با این وجود، خواص رفتاری مواد در جهت‌های مختلف باید نسبت به صفحه خمش دارای تقارن باشد.

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۱ و ۲ – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

توجه: با وجود صفحه‌ای ماندن مقاطع عرضی تیر در شرایط خمش خالص، امکان رخ دادن تغییر شکل در صفحه قرارگیری مقطع وجود دارد. این تغییر شکل‌ها به دلیل وجود اثرات نسبت پواسون ایجاد می‌شوند.

به دلیل خمیدگی‌های نمایش داده شده در شکل بالا، مقاطع mn و pq حول محورهای عمود بر صفحه xy نسبت به یکدیگر دوران می‌کنند. خطوط طولی موجود بر روی بخش پایینی تیر با افزایش طول و خطوط طولی موجود بر روی بخش بالایی با کاهش طول مواجه می‌شوند. به این ترتیب، بخش پایینی در معرض کشش و بخش بالایی در معرض فشار قرار می‌گیرد. در محلی میان بخش بالایی و پایینی، سطحی وجود دارد که طول خطوط موجود بر روی آن ثابت باقی می‌ماند. به این سطح، «صفحه خنثی» (Neutral Surface) می‌گویند (خط‌چین s-s در شکل زیر). به تقاطع این صفحه با مقاطع عرضی تیر، «محور خنثی» (Neutral Axis) گفته می‌شود. به عنوان مثال، محور z برای مقطع عرضی نمایش داده شده در شکل زیر، یک محور خنثی به شمار می‌رود.

پس از ایجاد تغییر شکل تیر، صفحه دربرگیرنده مقاطع عرضی mn و pq در مرکز انحنای 'O با هم تقاطع پیدا می‌کنند (شکل بالا). زاویه بین این صفحات با dθ و فاصله 'O تا صفحه خنثی s-s با ρ (شعاع انحنا) نمایش داده می‌شود. طول اولیه خط dx بین دو مقطع مذکور بر روی سطح خنثی ثابت باقی می‌ماند. در نتیجه، رابطه ρdθ=dx بین کمیت‌های این مسئله برقرار است. با این وجود، تمام خطوط طولی موجود بر روی صفحات دیگر با افزایش یا کاهش طول مواجه می‌شوند. این تغییرات «کرنش نرمال» (Normal Strain) را درون تیر به وجود می آورند (ε_x).

به منظور ارزیابی کرنش‌های به وجود آمده، خط طولی ef را در میان تیر و بین دو صفحه mn و pq در نظر می‌گیریم. سپس، موقعیت قرارگیری این خط با فاصله آن تا سطح خنثی در تیر اولیه را مشخص می‌کنیم. این فاصله با حرف y نمایش داده می‌شود. اکنون فرض می‌کنیم که محور x بر روی سطح خنثی اولیه قرار دارد. با تغییر شکل تیر، موقعیت این سطح تغییر می‌کند اما محور x ثابت باقی می‌ماند. با این اوصاف پس از تغییر شکل تیر، فاصله بین خط طولی ef و صفحه خنثی تغییر نخواهد کرد و برابر با همان فاصله y خواهد بود.

طول خط ef پس از تغییر شکل تیر از رابطه زیر به دست می‌آید:

L₁: طول خط ef پس از تغییر شکل تیر

از آنجایی که طول اولیه ef برابر با dx است، میزان افزایش طول از رابطه L₁-dx یا ydx/ρ- به دست می‌آید. کرنش طولی مربوط به این تغییرات با تقسیم افزایش طول بر طول اولیه تعیین می‌شود. به این ترتیب، «رابطه کرنش-انحنا» (Strain-Curvature Relation) با معادله زیر برابر خواهد بود:

معادله بالا نشان می‌دهد که کرنش‌های طولی درون یک تیر با انحنای آن رابطه مستقیم دارند و نسبت به فاصله y از صفحه خنثی به طور خطی تغییر می‌کنند. اگر نقطه مورد بررسی در بالای صفحه خنثی قرار گرفته باشد، مقدار y مثبت خواهد بود. به این ترتیب، در صورت مثبت بودن انحنا، کرنش منفی می‌شود. کرنش منفی، کاهش طول را نمایش می‌دهد. در طرف مقابل، اگر نقطه مورد بررسی در پایین صفحه خنثی قرار گرفته باشد، مقدار y منفی خواهد بود. بنابراین، در صورت مثبت بودن انحنا، کرنش مثبت می‌شود. کرنش مثبت، افزایش طول را نمایش می‌دهد. توجه داشته باشید که قاعده علامت‌گذاری ε_x با قاعده علامت‌گذاری کرنش‌های نرمال شباهت دارد (علامت مثبت برای افزایش طول و علامت منفی برای کاهش طول).

نکات تکمیلی

در این مقاله رابطه کرنش-انحنا را تنها با استفاده از هندسه تیر و بدون توجه به خواص رفتاری ماده به دست آوردیم. از این‌رو می‌توانیم نتیجه بگیریم که کرنش‌های موجود در یک تیر تحت خمش خالص نسبت به فاصله نقطه مورد بررسی از صفحه خنثی به صورت خطی تغییر می‌کنند و به شکل منحنی تنش-کرنش وابسته نیستند.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

وجود اثرات نسبت پواسون، باعث ایجاد کرنش‌های عرضی (کرنش‌های نرمال در جهت‌های x و z) به همراه کرنش‌های طولی می‌شود. اگرچه، به دلیل فراهم بودن امکان تغییر شکل آزادانه در راستای جانبی، هیچ تنش عرضی در تیر به وجود نمی‌آید. این وضعیت با شرایط یک تیر منشوری تحت کشش یا فشار مشابه است. به این ترتیب، المان‌های طولی یک تیر تحت خمش خالص، در معرض تنش تک‌محوری قرار می گیرند.

مثال

شکل زیر، یک تیر ساده فولادی با طول L=8ft و ارتفاع h=6ft را نمایش می‌دهد. بر اثر اعمال کوپل‌های M₀، تیر AB به شکل یک قوس دایره‌ای و با تغییر مکان رو به پایین δ نسبت به مرکز اولیه خود خم می‌شود. مقدار کرنش نرمال (افزایش طول) بر روی سطح پایینی تیر برابر با 0.00125 و فاصله بین صفحه خنثی تا این سطح برابر با 3 اینچ است. با توجه به اطلاعات مسئله، شعاع انحنا ρ، انحنا κ و خمیدگی δ را محاسبه کنید.

توجه: به دلیل بزرگ بودن طول تیر AB نسبت به ارتفاع آن (L/h=16) و همچنین کرنش بزرگ 0.00125، میزان خمیدگی تیر نسبتاً زیاد خواهد بود. این مسئله تقریباً با شرایط کرنش تسلیم در فولاد سازه‌ای مطابقت دارد.

انحنا

به دلیل مشخص بودن مقادیر کرنش طولی در سطح پایینی تیر (ε_x=0.00125) و فاصله صفحه خنثی تا این سطح (y=-3in)، می‌توان از رابطه زیر برای تعیین شعاع انحنا و انحنای تیر استفاده کرد.

اگر رابطه بالا را بر حسب ρ بازنویسی کرده و مقادیر عددی را درون آن جایگذاری کنیم، خواهیم داشت:

این نتیجه نشان می‌دهد که شعاع انحنای تیر نسبت به طول آن بسیار بزرگ است. با وجود بزرگ بودن میزان کرنش، مقدار عددی به دست آمده غیر منطقی به نظر می‌رسد.

خمیدگی

با توجه به مطالب ارائه شده در مبحث «انحنای تیر و مفاهیم مرتبط با آن»، اعمال یک گشتاور خمشی ثابت (خمش خالص) باعث ایجاد انحنای ثابت بر روی طول تیر می‌شود. از این‌رو، منحنی تغییر شکل تیر به شکل یک قوس دایره‌ای درمی‌آید. بر اساس شکل زیر، فاصله مرکز انحنا 'O تا مرکز تغییریافته تیر 'C با شعاع انحنا ρ و فاصله 'O تا نقطه C بر روی محور x با ρcosθ برابر است (θ، زاویه BO’C را نمایش می‌دهد).

به این ترتیب، میزان خمیدگی در نقطه مرکزی تیر با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر شکل منحنی خمیدگی نزدیک به یک خط راست باشد، فاصله بین تکیه‌گاه‌ها را با طول تیر برابر در نظر می‌گیریم. در نتیجه، رابطه زیر در مثلث BO’C برقرار می‌شود:

با جایگذاری مقادیر عددی در رابطه بالا، خواهیم داشت:

و

در مسائل واقعی، به دلیل کوچک بودن زاویه θ، عبارت sinθ را با مقدار θ (بر حسب رادیان) برابر در نظر گرفته می‌شود. در صورت جایگذاری زاویه θ در رابطه ρ، میزان خمیدگی تیر به دست می‌آید:

این خمیدگی نسبت به طول تیر بسیار کوچک است. اگر بخواهیم این نسبت را به صورت عددی بیان کنیم:

این مسئله نشان می‌دهد که علیرغم بزرگ بودن مقدار کرنش‌های به وجود آمده، منحنی خمیدگی تیر تقریباً صاف خواهد بود. توجه داشته باشید که به منظور نمایش بهتر شرایط مسئله، منحنی خمیدگی نمایش داده شده در شکل‌های بالا به صورت اغراق‌آمیز به تصویر کشیده شده است.

توجه: هدف از تشریح این مسئله، نمایش مقادیر شعاع انحنا و خمیدگی تیر نسبت به طول آن بود. اگرچه به دلیل فرض خمش خالص و دایره‌ای بودن شکل منحنی خمیدگی، روش مورد استفاده برای تعیین خمیدگی تیر یک مقدار تقریبی را ارائه داد.

^^