ضرب ذهنی و سریع — از صفر تا صد

محاسبه با چهار عمل اصلی در بسیاری از امور روزمره به کار می‌رود. بنابراین اگر بخواهیم از ماشین حساب برای این گونه عملیات استفاده کنیم، ممکن است حتی جمع و تفریق عادی را هم فراموش کنیم. بنابراین بهتر است از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بیشتر استفاده کنیم و حتی به کمک روش‌هایی سرعت انجام این گونه محاسبات را در ذهنمان افزایش دهیم. در این نوشتار به ضرب ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و کاربردهای آن را مرور خواهیم کرد. در این بین از اتحادهای جبری که در بیشتر محاسبات جبری استفاده می‌شوند هم بهره می‌بریم.

در این نوشتار قرار است ضرب ذهنی و سریع را براساس مجموعه اعداد صحیح انجام دهیم. به همین منظور برای آشنایی بیشتر با این گونه اعداد بهتر است مطلب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده به عنوان مقدمه‌ای بر ضرب ذهنی و سریع نیز خالی از لطف نیست.

ضرب ذهنی و سریع

عمل ضرب و تقسیم از عملیات پایه در ریاضیات محسوب می‌شوند. به همین دلیل در اکثر اوقات احتیاج داریم که چنین محاسباتی را بدون ماشین حساب یا تلفن همراه و به صورت ذهنی انجام دهیم. در این نوشتار با ضرب ذهنی و سریع آشنا می‌شویم. همچنین در مطالب بعدی به موضوع انجام عمل تقسیم ذهنی و سریع، خواهیم پراخت.

محاسبه ضرب ذهنی و سریع

همانطور که می‌دانید، عمل ضرب در حقیقت تکرار عمل جمع در مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین منظور از ضرب ۷ در عدد ۲، جمع کردن عدد دو به تعداد هفت بار یا جمع کردن عدد هفت به تعداد دو بار است. به تصویر زیر دقت کنید.

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، حاصل هفت بار جمع کردن عدد ۲ نشان داده شده است. البته می‌توانیم به صورت عکس نیز عمل کنیم. یعنی حاصل دو بار جمع کردن عدد ۷ را به همین شکل نشان دهیم.

به این ترتیب مشخص است که رابطه زیر برای ضرب این دو عدد، برقرار است.

$$\large 2 \times 7 =  7 \times 2 = 14$$

این ویژگی در ضرب به عنوان «خاصیت جابجایی» (Commutative Property of Multiplication) شناخته می‌شود.

بنابراین با توجه به مشابه بودن ضرب و جمع، از همه قواعدی که برای جمع کردن سریع و ذهنی وجود دارد می‌توانید استفاده کنید. برای مشاهده این قاعده‌ها بهتر است مطلب دیگری از مجله فرادرس با عنوان جمع و تفریق ذهنی --- از صفر تا صد را مطالعه کنید.

نکته: توجه داشته باشید که خاصیت جابجایی برای جمع و ضرب وجود داشته، ولی برای تفریق و تقسیم وجود ندارند. به مثال‌های زیر دقت کنید.

$$\large 2 - 1 \neq 1 - 2$$

$$\large 1 \div 2 \neq 2 \div 1$$

ضرب ذهنی و سریع با حفظ کردن جدول ضرب

یکی از نکات پایه برای ضرب ذهنی، دانستن و شناخت عناصر جدول ضرب (Times Table) است. نمونه یک جدول ضرب ۱۲ تایی را در تصویر زیر مشاهده می‌کنید.

توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن خاصیت جابجایی در ضرب نیازی به حفظ کردن همه عناصر این جدول نیست و برای مثال می‌توانید مثلث بالایی این جدول را به خاطر بسپارید. چنین جدولی در تصویر زیر دیده می‌شود.

الگوهای مشخصی در این جدول نیز وجود دارد که حفظ کردن آن را ساده‌تر می‌کند. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد در ۱۰ برابر با اضافه کردن یک صفر به قسمت یکان آن عدد است.

$$\large \color{red}{3} \times 1\color{blue}{0} = \color{red}{3} \color{blue}{0}$$

$$\large \color{red}{10} \times 1\color{blue}{0} = \color{red}{10} \color{blue}{0}$$

$$\large \color{red}{12} \times 1\color{blue}{0} = \color{red}{12} \color{blue}{0}$$

همچنین عمل ضرب هر یک از اعداد جدول ضرب در عدد ۱۱ نیز دارای الگوی خاصی است. کافی است که برای اعداد کوچکتر از ۱۰، رقم را تکرار کنید تا حاصل ضرب آن عدد در ۱۱ بدست آید.

$$\large 1 \times 11 = 11$$

$$\large  2 \times 11 = 22$$

$$\large  3 \times 11 = 33$$

$$\large  4 \times 11 = 44$$

$$\large  5 \times 11 = 55$$

$$\large  7 \times 11 = 77$$

$$\large  8 \times 11 = 88$$

$$\large  9 \times 11 = 99$$

نکته: در بخش دیگری از این متن به بررسی حاصل ضرب اعداد دو رقمی بزرگتر یا مساوی ۱۰ در ۱۱ خواهیم پرداخت و الگویی نیز برای مشخص کردن حاصل ضرب آن‌ها خواهیم یافت.

الگویی نیز برای حاصل ضرب اعداد در ۵ وجود داد. به این ترتیب ضرب‌های مربوط به مضارب ۵ نیز به راحتی به حافظه سپرده می‌شوند.

• حاصل ضرب هر عدد زوج کمتر از ۱۰ در عدد ۵ به صورت یک عدد دو رقمی است که رقم یکان آن صفر است. رقم دهگان نیز از تقسیم آن عدد بر ۲ حاصل می‌شود.

مثلا اگر بخواهیم حاصل ضرب ۶ در ۵ را محاسبه کنیم، مشخص است که رقم یکان حاصل ضرب، صفر است زیرا ۶ عددی زوج است. همچنین تقسیم ۶ بر ۲ برابر با ۳، پس رقم دهگان نیز ۳ خواهد بود و نتیجه حاصل‌ضرب ۶ در ۵ برابر با ۳۰ محاسبه می‌شود.

• برای اعداد فرد نیز کافی است حاصل ضرب عدد زوج قبلی را در ۵ محاسبه کرده و به جای یکان آن عدد ۵ را قرار دهیم. به ضرب‌های زیر دقت کنید.

$$\large 1 \times 5 =  (1 - 1) \times  5 +  5 = 0 + 5 = 5$$

$$\large 2 \times 5 =  (2 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{1} \color{red}{0}$$

$$\large 3 \times 5 =  (3 - 1) \times 5 + 5 = 10 + 5 = 15$$

$$\large 4 \times 5 =  (4 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{2} \color{red}{0}$$

$$\large 5 \times 5 =  (5 - 1) \times 5 + 5 = 20 + 5 = 25$$

$$\large 6 \times 5 =  (6 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{3} \color{red}{0}$$

$$\large 7 \times 5 =  (7 - 1) \times 5 + 5 = 30 + 5 = 35$$

$$\large 8 \times 5 =  (8 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{4} \color{red}{0}$$

$$\large 9 \times 5 =  (9 - 1) \times 5 + 5 = 40 + 5 = 45$$

$$\large 10 \times 5 =  (10 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{5} \color{red}{0}$$

$$\large 11 \times 5 =  (11 - 1) \times 5 + 5 = 50 + 5 = 55$$

$$\large 12 \times 5 =  (12 \div 2)\; (\color{red}{0}) = \color{blue}{6} \color{red}{0}$$

به این ترتیب با توجه به قواعد گفته شده، جدول ضرب را می‌توان با عناصر کمتری به خاطر سپرد.

ضرب ذهنی و سریع اعداد دو رقمی در یک رقمی

در این قسمت می‌خواهیم روش‌هایی را برای ضرب عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی مشخص کنیم. برای انجام این کار به ذکر چند مثال می‌پردازیم. توجه داشته باشید که در اغلب این مثال‌ها، از روش‌های ترکیبی از جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد.

مثال ۱

دو عدد ۱۷ و ۸ را در نظر بگیرید. حاصل ضرب آن‌ها را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

گام اول: ۱۷ را به نزدیک‌ترین عامل جمعی با ۱۰ تبدیل می‌کنیم، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.

$$\large 17 \times 8 = ( 10 + 7 ) \times 8$$

گام دوم: از سمت راست، هشت را در پرانتز ضرب می‌کنیم. این کار به علت داشتن خاصیت پخشی یا توزیع‌پذیری (Distribution) ضرب نسبت به جمع، امکان‌پذیر است.

$$\large  (10 + 7 ) \times 8 = ( 8 \times 10) + (8 \times 7)  = 80 + 65$$

گام سوم: رابطه جمع حاصل را به کمک روش‌های جمع ذهنی کامل می‌کنیم.

$$\large 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136$$

مثال ۲

در این قسمت حاصل ضرب ۷ در ۳۳ را بدست می‌آوریم. ابتدا ۳۳ را تفکیک می‌کنیم.

گام اول: تفکیک ۳۳ به عاملی از ۱۰

$$\large 7 \times 33 = 7 \times (30 + 3 )$$

گام دوم: توزیع ضرب در جمع.

$$\large 7 \times (30 + 3 ) = 7 \times 30 + 7 \times 3$$

گام سوم: انجام عمل ضرب و جمع‌بندی نتایج حاصل.

$$\large 7 \times 30 + 7 \times 3 = 210 + 21 = 231$$

نکته: هنگام ضرب یک عدد در ۱۰ یا توان‌های آن توجه داشته باشید که به تعداد توان‌های ۱۰، رقم صفر در سمت راست عدد ظاهر خواهد شد. برای مثال اگر ۴۵ را در ۱۰ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۴۵۰ است که فقط یک صفر در سمت راست عدد ۴۵ ظاهر می‌سازد. به همین ترتیب ضرب ذهنی و سریع عددی در ۱۰۰ یا همان توان دوم ۱۰ باعث می‌شود که دو صفر در سمت راست آن (در اینجا ۴۵) ظاهر گردد. مشخص است که در اینجا حاصل‌ضرب برابر با ۴۵۰۰ خواهد شد.

مثال ۳

این بار یک عدد ۳ رقمی را در یک عدد تک رقمی ضرب خواهیم کرد ولی در حقیقت باز هم از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده می‌کنیم.

گام اول: ۵۶۲ را به صورت مجموع صدگان و دهگان و یکان آن می‌نویسیم.

$$\large 562 \times 8 = ( 500 + 60 + 2 ) \times 8$$

گام دوم: از خاصیت توزیع‌پذیری یا پخشی استفاده می‌کنیم.

$$\large ( 500 + 60 + 2 ) \times 8 = 8 \times 500 + 8 \times 60 + 8 \times 2$$

گام سوم: ضرب و جمع کردن محاسبات گفته شده و ساده سازی پاسخ‌ها در این مرحله صورت می‌گیرد.

$$\large 8 \times 500 + 8 \times 60 + 8 \times 2 = 4000 + 480 + 16 = 4496$$

نکته: هنگام ضرب ۵۰۰ در ۸ به این موضوع توجه داشته باشید که می‌توانیم صفرهای عدد ۵۰۰ را نادیده گرفته و فقط ۵ را در ۸ ضرب کرده، سپس به همان تعداد صفر به سمت راست اضافه کنیم.

اتحادهای جبری و عمل ضرب

در دیگر نوشتارهای مجله فرادرس تحت عنوان اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده با اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. بر همین اساس نیز محاسبه عمل ضرب ذهنی و سریع  را به سادگی می‌توان انجام داد. ابتدا به بعضی از این اتحادها که در محاسبه ضرب بیشتر کاربرد دارند، اشاره خواهیم کرد.

ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مربع دو جمله‌ای: این اتحاد بر اساس مربع جمع یا تفاضل دو عدد مثل $$a$$ و $$b$$ نوشته می‌شود.

نوع اول $$\large (a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2$$

نوع دوم $$\large (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2$$

از همین اتحاد برای ضرب یک عدد در خودش می‌توان استفاده کرد. به مثال‌های زیر دقت کنید.

مثال ۴

حاصل ضرب ۱۱ در ۱۱ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع اول بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۱ را به صورت (10+۱) می‌نویسیم.

$$\large  11 \times 11 = ( 10 + 1 ) \times ( 10 + 1 ) = ( 10 + 1 )^2 = 10 ^2 + 2 \times (10 \times ۱ ) + 1^2$$

مشخص است که انجام این گونه محاسبه از ضرب ۱۱ در خودش ساده‌تر است. در این صورت داریم.

$$\large 11 \times 11 = 10 ^2 + 2 \times (10 \times 1 ) + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121$$

مثال ۵

حاصل ضرب ۱۲ در ۱۲ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۲ را به صورت (10+2) می‌نویسیم.

$$\large  12 \times 12 = ( 10 + 2 ) \times ( 10 + 2 ) = ( 10 + 2 )^2 = 10 ^2 + 2 \times (10 \times 2 ) + 2^2$$

مشخص است که انجام این گونه محاسبه بسیار ساده‌تر از توان رساند ۱۲ خواهد بود. در این صورت داریم.

$$\large 12 \times 12 = 10 ^2 + 2 \times (10 \times 2 ) + 2^2 = 100 + 40 + 4 = 144$$

با توجه به اتحاد مربع دو جمله‌ای و مثال‌های گفته شده، می‌توان قاعده زیر برای پیدا کردن مربع اعداد بین ۱۰ تا 13 را در نظر گرفت.

• یکان حاصل از ضرب عدد بین ۱۰ تا ۱۳ در خودش برابر است با مربع رقم یکان آن عدد.
• دهگان حاصل از ضرب عدد بین ۱۰ تا ۱۳ در خودش برابر است با دو برابر رقم یکان آن عدد.
• با قرار دادن رقم یک به عنوان صدگان حاصل‌ضرب، نتیجه حاصل می‌شود.

مثال ۶

حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳ را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم.

• یکان عدد ۱۳ برابر است با ۳ در نتیجه مربع آن مقدار ۹ است، پس یکان حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳، شامل رقم ۹ است.
• دهگان حاصل ضرب نیز به این ترتیب برابر است با ۲ × ۳ = ۶.
• صدگان نیز به صورت رقم ۱ بیان می‌شود و در نتیجه داریم:

$$\large 13 \times 13 = 100 \times 1 + 10 \times (2 \times 3) + 3 \times 3 = 169$$

مثال ۷

حاصل ضرب 14 در 14 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع ۴ برابر است با ۱۶ که دارای یک رقم دهگان است.

• یکان عدد ۱4 برابر است با 4 در نتیجه مربع آن مقدار 16 است، پس یکان حاصل ضرب ۱4 در ۱4، شامل رقم ۶ است. دهگان این عدد باید با دهگان حاصل از مرحله بعد جمع شود.
• دهگان حاصل ضرب نیز به این ترتیب برابر است با ۲ × ۴ = ۸. به یاد دارید که دهگان عمل قبل برابر با ۱ بود که با جمع شدن با ۸ نتیجه دهگان حاصل‌ضرب برابر با ۹ خواهد بود.
• صدگان نیز به صورت رقم ۱ بیان می‌شود و در نتیجه داریم:

$$\large 14 \times 14 = 100 \times 1 + 10 \times (2 \times 4) + 4 \times 4 = 100 + 80 + 16 = 196$$

مثال 8

حاصل ضرب 15 در 15 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع 5 برابر است با 25 که دارای یک رقم دهگان برابر با ۲ است.

• یکان عدد ۱۵ برابر است با ۵ در نتیجه مربع آن عدد ۲۵ است، پس یکان حاصل ضرب ۱۵ در ۱۵، شامل رقم ۵ است. دهگان این عدد یعنی ۲ باید با دهگان حاصل از مرحله بعد جمع شود.
• دهگان حاصل ضرب نیز به این ترتیب برابر است با ۲ × ۵ = ۱۰،  متوجه شدید که دهگان ۱۵ که برابر با ۱ است. حال عدد ۲ حاصل از مرحله قبل را با دهگان ۱۰ جمع می‌کنیم. نتیجه ۱۲ خواهد بود. مشخص است که صدگان یک واحد افزایش پیدا کرده است.
• صدگان نیز به صورت رقم ۱ بیان می‌شود و باید با صدگان مرحله قبل جمع شود. حاصل عدد ۲۲۵ خواهد بود.

نتیجه حاصل را به کمک اتحاد جمله مشترک نیز می‌توانیم بدست آوریم.

$$\large 15 \times 15 = 100 \times 1 + 10 \times (2 \times 5) + 5 \times 5 = 100 + 100 + 25 = 225$$

مثال ۹

حاصل ضرب 1۶ در 1۶ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل می‌کنیم. یعنی به جای نوشتن عدد به صورت جمع، از شیوه تفاضل استفاده می‌کنیم.

$$\large 16 \times 16 = (20 - 4) \times (20 - 4) = 400 - 2 \times ( 20 \times 4 ) + 4^2$$

که در این صورت خواهیم داشت.

$$\large 400 - 2 \times ( 20 \times 4 ) + 4^2 = 400 - 160 + 16 = 256$$

مثال ۱۰

حاصل ضرب ۱۷ در ۱۷ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل می‌کنیم.  به این ترتیب ۱۷ را به صورت ۳ - ۲۰ می‌نویسیم.

$$\large 17 \times 17 = (20 - 3) \times (20 - 3) = 400 - 2 \times ( 20 \times 3 ) + 3^2$$

بنابراین محاسبه به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large 400 - 2 \times ( 20 \times 3 ) + 3^2 = 400 - 120 + 9 = 289$$

ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مزدوج: این نوع اتحاد برای ضرب دو عدد به کار می‌رود که می‌توان آن را به صورت تفاضل مربع دو عدد دیگر نوشت. فرض کنید $$a - b$$ و $$a + b$$ دو عدد باشند. در این صورت طبق اتحاد مزدوج، حاصل‌ضرب این دو عدد به صورت زیر قابل محاسبه است.

$$\large (a - b ) ( a + b ) = a^2 - b^2$$

بنابراین در مواقعی که دو عدد با فاصله‌ای به اندازه $$2b$$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند، از این اتحاد برای ضرب کردنشان استفاده خواهیم کرد. به مثال‌هایی زیر توجه کنید.

مثال ۱1

حاصل ضرب 14 در ۱2 را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۱ + ۱۳ و همچنین ۱۲ را به صورت ۱ - ۱۳ می‌نویسیم.

$$\large 12 \times 14 = (13 + 1 ) \times ( 13 - 1 ) = 13 ^ 2 - 1 ^ 2$$

با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳ داریم، $$13 ^ 2 = 169$$ بنابراین حاصل ضرب ۱۲ در ۱۴ به شکل زیر در خواهد آمد.

$$\large 12 \times 14 =  13 ^ 2 - 1 ^ 2  = 169 - 1 = 168$$

مثال ۱۲

حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. فاصله این دو عدد برابر است با ۴، در نتیجه مقدار $$b$$ برابر با ۲ خواهد بود. به این ترتیب ۱۵ را به صورت ۲ + ۱۳ و همچنین ۱۱ را به صورت ۲ - ۱۳ می‌نویسیم.

$$\large 11 \times 15 = (13 - 2 ) \times ( 13 + 2 ) = 13 ^ 2 - 2 ^ 2$$

با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳، نتایج به صورت زیر نوشته می‌شوند.

$$\large 11 \times 15 =  13 ^ 2 - 2 ^ 2  = 169 - 4 = 165$$

ضرب ذهنی و سریع با اتحاد جمله مشترک: معمولا برای نمایش جمله مشترک در این اتحاد از نماد $$x$$ استفاده می‌شود. شکل کلی اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:

$$\large (x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + x ( a + b ) + ab$$

به این ترتیب از این اتحاد برای ضرب دو عدد که یکی $$a$$ واحد و دیگری $$b$$ واحد از $$x$$  بزرگتر هستند استفاده می‌کنیم. معمولا $$x$$ را عددی در نظر می‌گیریم که توان دوم آن به سادگی محاسبه شود.

مثال ۱۳

حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. اگر عدد مبنا را ۱۰ در نظر داشته باشیم، مقدار $$x$$ برابر با ۱۰ و $$a$$ و $$b$$ نیز به ترتیب برابر با ۵ و ۱ خواهند بود.

$$\large 15  = 10 + 5 \rightarrow a = 5, \;\; 11 = 10 + 1 \rightarrow b = 1$$

حال حاصل‌ضرب را به این طریق محاسبه می‌کنیم.

$$\large 11 \times 15 = ( 10 + 5 ) \times ( 10 + 1 ) = 10 ^ 2 + 10 \times (5 + 1 ) + 5 \times 1$$

با توجه به ساده‌سازی و جمع جبری خواهیم داشت:

$$\large 11 \times 15 = 100 + 60 + 5 = 165$$

مثال ۱۴

حاصل ضرب 14 در ۱2 را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۴ + ۱۰ و همچنین ۱۲ را به صورت ۲ + ۱۰ می‌نویسیم.

$$\large 12 \times 14 = ( 10 + 4  ) \times ( 10 + 2 ) = 100 + 10 \times ( 4 + 2 ) + 4 \times 2$$

با توجه به ساده‌سازی محاسبات بالا خواهیم داشت:

$$\large 12 \times 14 = 100 + 60  + 8 = 168$$

حاصل ضرب اعداد ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱

با توجه به مثال‌های گفته شده، قاعده‌ای خاصی را برای ضرب ذهنی و سریع یک عدد دو رقمی ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱ به کار می‌بریم. توجه داشته باشید که همیشه می‌توانیم ۱۱ را به صورت ۱۰ + ۱ بنویسیم و عمل ضرب را انجام دهیم. فرض کنید عدد دو رقمی مثلا $$a$$ را هم به صورت $$10 + b$$ نوشته‌ایم که $$b = a -- 10$$ است. در نتیجه $$b$$ یک عدد تک رقمی است.

$$\large 11 \times a = (10 + 1 ) \times (10 + b ) = 10 ^ 2 + 10 \times (b + 1 ) + b \times 1 = 100 + 10 b + 10 + b  = 110 + 11 \times b$$

به این ترتیب می‌توانیم قانون زیر را استخراج کنیم.

• رقم یکان حاصل ضرب یک عدد بین ۱۰ تا ۲۰ در ۱۱ برابر است با فاصله آن عدد  از ۱0 ($$b$$).
• رقم ده گان این حاصل‌ضرب نیز برابر با $$b+1$$ خواهد بود. اگر $$b+1$$ بزرگتر از ۱۰ باشد (برای $$b=9$$) مقدار صفر را برای ده‌گان در نظر می‌گیریم.
• رقم صدگان نیز برای چنین ضربی همیشه ۱ است. البته برای مقدار $$b=9$$ اندکی تفاوت دارد و رقم صدگان به ۲ تبدیل خواهد شد.

مثال ۱۵

حاصل ضرب 14 در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.

$$\large 14 \times 11 = ( 10 + 4  ) \times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 \times  (4 +1) + 4 = 100 + 50 + 4 = 154$$

با استفاده از قاعده داریم $$b = 4$$ پس

$$\large 11 \times 14 = 110 + 11 \times 4  = 110 + 44 = 154$$

مثال ۱۶

حاصل ضرب 1۸ در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.

$$\large 18 \times 11 = ( 10 + 8  ) \times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 \times  (8+1)  + 8 = 100 + 90 + 8 = 198$$

مشخص است که در اینجا $$a = 18 , b = 18 - 10 = 8$$ خواهد بود. پس با توجه به قاعده گفته شده خواهیم داشت:

$$\large 18 \times 11 = 110 + 88 = 198$$

مثال ۱۷

حاصل ضرب 1۹ در ۱۱ نیز از قاعده گفته شده تبعیت می‌کند. و همچنین باز هم می‌توانیم از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.

$$\large 19 \times 11 = ( 10 + 9  ) \times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 \times ( 9 + 1 ) + 9 = 100 + 100 + 9 = 209$$

یا $$b = 9$$، پس:

$$\large 19 \times 11 = 110 + 11 \times 9 = 110 + 99 = 209$$