خطای اندازه گیری – به زبان ساده

در اثر عوامل مختلف محیطی که عموماً به عنوان نویز شناخته می‌شوند، عمل اندازه‌گیری بر روی هر متغیری، ممکن است که با خطا همراه باشد که در نتیجه آن، عمل اندازه‌گیری دقیق نیست. عموماً در گزارش‌ کارهای دقیق و رسمی، میزان خطای اندازه گیری را به همراه مقدار اندازه‌گیری شده پارامتر مربوطه می‌نویسند. با کاهش نویز محیط، کالیبره‌ کردن ادوات مورد استفاده، تکرار فرآیند آزمایش و اندازه‌گیری چند‌باره پارامترها و ... می‌توان از مقدار خطا به میزان قابل توجهی کاست، ولی هیچگاه نمی‌توان مقدار آن را به صفر رساند. با ما در ادامه این مقاله  از مجله فرادرس همراه شوید تا با زبانی ساده به بحث خطای اندازه گیری در محاسبات بپردازیم.

منابع خطا

از آنجا که هر عاملی (حتی عوامل غیر منتظره) ممکن است که خطایی در محاسبات اندازه‌گیری وارد کند، لیست کردن منابع خطا امری غیر ممکن است. از میان تمامی این عوامل، سه عامل زیر همیشه وجود داشته و بیشترین تاثیر را در خطای اندازه گیری دارند، همچنین نمی‌توان مقدار آن‌ها را به صفر رساند.

فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – مفاهیم پایه + حل مثال

کلیک کنید

• • خطاهای فردی: این نوع خطاها مربوط به خود شخص محاسبه کننده یا آزمایش‌کننده است که معمولاً از بی‌دقتی در خواندن اعداد از روی وسایل اندازه‌گیری، به کارگیری اشتباه ابزارها، استفاده از معادلات اشتباه، رُند کردن اعداد، نداشتن وضع روحی مناسب، عدم تمرکز و ضعیف بودن چشم‌ها، سعی در به نتیجه‌ای خاص رسیدن و تغییر پارامترها و ... ناشی می‌شود.
  • خطاهای سیستمی: این دست خطاها از دستگاه‌ها، ادوات و ابزار‌های اندازه‌گیری ناشی می‌شود. مثلاً ترازویی که وزن جسمی را کمتر و یا بیشتر از مقدار واقعی نشان می‌دهد. با کالیبره کردن و مقایسه با سایر دستگاه‌ها می‌توان مقدار این نوع خطا را به طور قابل ملاحظه‌ای کاهش داد.
    همچنین دستگاه ممکن است دقت و توانایی لازم برای محاسبه یک پارامتر خاص را نداشته باشد. به طور مثال، تفاوت وزن 0.2 گرم با 0.29 گرم بسته به حساسیت آزمایش می‌تواند بسیار مهم باشد.
  • خطاهای اتفاقی: این خطاها ممکن است به طور تصادفی و غیر‌منتظره توسط عوامل خارجی که ما توانایی کنترل آن‌ها را نداریم پدید آیند. به طور مثال افزایش یا کاهش ناگهانی دمای محیط یا تغییر در فشار هوا می‌تواند در برخی فرآیند‌های حساس، تغییرات زیادی روی نتایج آزمایش داشته باشد.

تخمین میزان خطا

برای تعیین حدود خطا، متناسب با نوع خطا روش‌های مختلفی را می‌توان ارائه کرد. در واقع یک روش و دستور عمل خاصی برای این کار وجود ندارد، اما به وسیله برخی تعریف‌های آماری می‌توان میزان تغییرات و حدود خطا را مشخص کرد.

هیچگاه تعیین دقیق و مطلق یک متغیر یا کمیت ممکن نبوده و محدودیت‌های اندازه‌گیری همیشه وجود دارند. می‌توان گفت مقدار واقعی یک کمیت یا پارامتر معلوم نبوده و ما اطلاعی از میزان دقیق و مطلق آن نداریم. با بهبود همه عوامل موثر در آزمایش و عمل اندازه‌گیری، تنها می‌توانیم به آن مقدار واقعی نزدیک‌تر شویم. با این اوصاف، برای محاسبه مقدار یک کمیت، قاعدتاً یک بار اندازه‌گیری کافی نبوده و برای کاهش خطا باید عمل مذکور را چندین بار (حتی با ابزارهای مختلف در صورت امکان) تکرار کرد. اگر در هر بار عمل اندازه‌گیری اختلاف بین داده‌های حاصل ناچیز باشد، نیازی به تکرار بیشتر فرآیند آزمایش نیست؛ ولی اگر اختلاف ‌آن‌ها قابل توجه بوده با تکرار بیشتر و اطمینان از فراهم بودن تمامی شرایط آزمایش، از میزان و حدود تغییرات مطلع می‌شویم.

در اکثر آزمایش‌ها مقدار دقیق (واقعی!) کمیت را به ما به عنوان یک عدد رند می‌دهند و ما سعی داریم تا به آن عدد نزدیک شویم. دقت شود این مقداری که عنوان دقیق را برای آن به کار می‌بریم، در حقیقت برای سادگی کار، یک عدد رند شده است. به طور مثال وزن دقیق یک اتم دقیقاً چقدر است؟ احتمالاً بگویید وزن آن به مجموع وزن پرتون‌ها و نوترون‌هایش بستگی دارد؛ اما این عدد نیز تنها یک تقریب به نسبت دقیق از وزن هسته اتم است. برای ساده‌سازی محاسبات، خیلی از مقادیر را با اتفاقِ نظر به عنوان ثابت‌های جهانی به کار می‌برند.

میانگین و خطای اندازه گیری

در دورس آمار و احتمال دوران دبیرستان خواندید که میانگین مقادیر حاصل شده از یک فرآیند یا آزمایش، در صورت صحیح انجام شدن فرآیند مذکور، محتمل‌ترین مقدار کمیت اندازه‌گیری شده است.

اگر تعداد تکرار آزمایش و عمل اندازه‌گیری کم باشد، بیشترین اختلاف بین مقادیر حاصل شده و مقدار میانگین، (منظور میزان انحراف است) میزان خطا به حساب می‌آید. اما اگر تعداد دفعات تکرار آزمایش و عمل اندازه‌گیری زیاد باشد، میزان خطا، تفاضل میانگین مقادیر انحراف، با مقدار میانگین داده‌های حاصل از آزمایش است.

برای محاسبه مقدار میانگین یک کمیت به صورت زیر عمل می‌کنیم؛ اگر پارامتر یا کمیت $$x$$ را به تعداد $$n$$ بار آزمایش و اندازه‌گیری و نتیجه هر بار آزمایش را با اندیس $$i$$ مشخص کنیم، داریم:

$$\overline{x}=\frac{\sum_i^nx_{i}}{n}$$

از مطالب فوق نتیجه می‌گیریم که مقدار میانگین خطای اندازه گیری به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\overline{\triangle x}=\frac{\sum_i^n|x_{i}-\overline{x}|}{n}$$

خطای مطلق

اختلاف مقدار اندازه‌گیری شده کمیت یا پارامتر $$x$$ از مقدار واقعی آن را خطای مطلق گفته و آن را با $$\triangle x$$ نشان می‌دهند.

$$\pm\triangle x=x_{real}-x$$

علامت ± برای $$\triangle x$$، از این جهت است که اگر مقدار اندازه‌گیری شده $$x$$ از مقدار واقعی $$x_{real}$$ کوچکتر باشد، علامت $$\triangle x$$ مثبت و در نتیجه تقریب نقصانی است. اما اگر مقدار اندازه‌گیری شده $$x$$ بزرگ‌تر از مقدار واقعی $$x_{real}$$ باشد، علامت $$\triangle x$$ منفی و تقریب اضافی است. با استفاده از خطای مطلق، می‌توان دو حد بالا و پایین مقدار یک کمیت با مقدار واقعی $$x_{real}$$ را به صورت زیر بنویسیم:

$$x-\triangle x$$

خطای نسبی

برای برآورد کردن دقت یک آزمایش نیاز به محاسبه خطای نسبی است. اگر $$x$$ مقدار اندازه‌گیری شده کمیت با مقدار واقعی $$x_{real}$$ و $$\triangle x$$ مقدار خطای مطلق پارامتر مذکور باشد، مقدار زیر را خطای نسبی تعریف می‌کنند:

$$\frac{\triangle x}{x+\triangle x}$$

اگر روند آزمایش و عمل اندازه‌گیری با دقت انجام شده باشد، میزان خطای مطلق $$\triangle x$$ در مقابل مقدار اندازه‌گیری شده $$x$$ بسیار کوچک بوده و می‌توان از آن در مخرج رابطه فوق، در مقابل $$x$$ صرف نظر کرد. در نتیجه میزان خطای نسبی به صورت زیر در می‌آید:

$$\frac{\triangle x}{x}\approx\frac{\triangle x}{x_{real}}$$

با اعمال تقریب (در شرایط مطلوب و دقت زیاد در انجام فرآیند آزمایش) می‌توان دو مقدار $$x$$ و $$x_{real}$$ را برابر گرفت.

محاسبه خطای اندازه گیری در چهار عمل اصلی

با استفاده از دو بحث خطای مطلق و نسبی که در بالا، ارائه شدند، برای چهار عمل اصلی ریاضی، می‌توانیم خطاهای زیر را عنوان می‌کنیم.

خطای جمع

اگر برای دو پارامتر $$a$$ و $$b$$ داشته باشیم، $$x=a+b$$، مقدار خطای مطلق $$\triangle x$$ و مقدار خطای نسبی پارامتر $$x$$ به صورت زیر است:

$$\triangle x=\triangle a+\triangle b$$

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{\triangle a+\triangle b}{a+b}$$

خطای تفریق

اگر برای دو پارامتر $$a$$ و $$b$$ داشته باشیم، $$x=a-b$$، خطای مطلق $$\triangle x$$ و مقدار خطای نسبی پارامتر $$x$$ به صورت زیر است:

$$\triangle x=\triangle a+\triangle b$$

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{\triangle a+\triangle b}{a-b}$$

خطای حاصل ضرب

اگر برای دو پارامتر $$a$$ و $$b$$ داشته باشیم، $$x=a.b$$، خطای مطلق $$\triangle x$$ و مقدار خطای نسبی پارامتر $$x$$ به صورت زیر است:

$$\triangle x=b\triangle a+a\triangle b$$

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{\triangle a}{a}+\frac{\triangle b}{b}$$

همچنین برای $$x=a.b.c. ..$$ داریم:

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{\triangle a}{a}+\frac{\triangle b}{b}+\frac{\triangle c}{c}+ ...$$

خطای تقسیم (خارج قسمت)

اگر برای دو پارامتر $$a$$ و $$b$$ داشته باشیم، $$x=\frac{a}{b}$$، خطای مطلق $$\triangle x$$ و مقدار خطای نسبی پارامتر $$x$$ به صورت زیر است:

$$\triangle x=\frac{b\triangle a-a\triangle b}{a.b}$$

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{\triangle a}{a}-\frac{\triangle b}{b}$$

اگر علامت $$\triangle a$$ و $$\triangle b$$ را ندانیم، برای محاسبه بیشترین میزان خطا باید خطاهای نسبی $$\frac{\triangle a}{a}$$ و $$\frac{\triangle b}{b}$$ را با یکدیگر جمع کرد.

تعریفی دیگر از خطای اندازه گیری نسبی

اگر میزان خطای مطلق $$\triangle x$$ به قدری کوچک باشد که بتوان آن را دیفرانسیل $$x$$ یعنی ($$\triangle x\approx dx$$) به حساب آورد، اندازه خطای نسبی $$x$$ برابر با دیفرانسیل لگاریتم طبیعی $$x$$ می‌شود.

$$dLn(x)=\frac{\triangle x}{x}$$

پس برای محاسبه مقدار خطای نسبی یک کمیت، ابتدای از طرفین آن لگاریتم طبیعی ($$Ln$$) گرفته و سپس دیفرانسیل می‌گیریم. در نهایت نیز مقدار دیفرانسیل هر کمیت ($$da$$) را با مقدار خطای مطلق آن ($$\triangle a$$) جایگزین می‌کنیم.

مثال

برای محاسبه خطای نسبی پارامتر $$x$$ که مقدار آن در زیر آمده است، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$x=\frac{a^{2}-b}{(2a-b)(b-3a)}$$
(1)

مطابق با مطالب گفته شده، ابتدا از طرفین عبارت فوق، لگاریتم طبیعی ($$Ln$$) می‌گیریم. در نتیجه:

$$Ln(x)=Ln(a^{2}-b)-Ln(2a-b)-Ln(b-3a)$$
(2)

توجه داشته باشید که در محاسبه عبارت فوق، از قوانین لگاریتمی $$Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)$$ و $$Ln(\frac{x}{y})=Ln(x)-Ln(y)$$ استفاده کردیم. حال از طرفین عبارت (۲) دیفرانسیل می‌گیریم. به یاد داریم که مشتق (دیفرانسیل) لگاریتم طبیعی به صورت ($$Ln(x)^{'}=dLn(x)=\frac{dx}{x}$$) است. در نتیجه:

$$\frac{dx}{x}=\frac{d(a^{2}-b)}{(a^{2}-b)}-\frac{d(2a-b)}{(2a-b)}-\frac{d(b-3a)}{(b-3a)}$$
(3)

که نتیجه می‌شود:

$$\frac{dx}{x}=\frac{2ada}{a^{2}-b}-\frac{db}{a^{2}-b}-\frac{2da}{2a-b}-\frac{db}{2a-b}-\frac{db}{b-3a}+\frac{3da}{b-3a}$$
(4)

برای محاسبه حداکثر خطا، علامت‌های منفی را مثبت می‌کنیم. همچنین با قرار دادن $$\triangle a$$ ،$$\triangle b$$ و $$\triangle x$$ به جای $$da$$، $$db$$ و $$dx$$ داریم:

$$\frac{\triangle x}{x}=\frac{2a\triangle a}{a^{2}-b}+\frac{\triangle b}{a^{2}-b}+\frac{2\triangle a}{2a-b}+\frac{\triangle b}{2a-b}+\frac{\triangle b}{b-3a}+\frac{3\triangle a}{b-3a}$$
(5)

اگر مطلب بالا برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر از سایت و مجله فرادرس نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• آموزش آمار و احتمال مهندسی
• مجموعه آموزش‌های آمار و احتمالات
• آموزش محاسبات علمی و آماری با R – مقدماتی
• گزارش کار آزمایشگاه — اصول نگارش
• اعداد توان دار — به زبان ساده

^^