دنباله اعداد مثلثی – به زبان ساده

دنباله اعداد، مجموعه‌ای از اعداد پشت سر هم است که با قاعده خاصی به یکدیگر متصل شده‌اند. با دانستن رابطه بین این اعداد، می‌توان دنباله کاملی از اعداد را بدست آورد. در یان آموزش قصد داریم تا با دنباله اعداد مثلثی آشنا شویم.

دنباله (تصاعد) زیر یک دنباله اعداد مثلثی است:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

این دنباله از روی الگویی از نقاطی که یک مثلث را تشکیل می‌دهند، به دست می‌آید. با اضافه کردن ردیف دیگری از نقاط و شمارش تمام نقاط در هر مرحله، می‌توان عضو بعدی را پیدا کرد:

ضابطه

می‌توانیم یک «ضابطه» برای این دنباله بنویسیم تا بتوانیم هر عدد مثلثی را به دست بیاوریم.

ابتدا، دوباره نقاط را تشکیل می‌دهیم و مانند زیر به هر الگو یک شماره مانند n اختصاص می‌دهیم:

سپس تعداد نقاط را دو برابر می‌کنیم و شکل آنها را به مستطیل تغییر می‌دهیم:

• مستطیل ها به عرض n و طول n+1 هستند.
• و x_n تعداد نقاط در هر مستطیل را مشخص می‌کند (مقدار عدد مثلثی n)

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین با توجه به این که نقاط را دو برابر کرده ایم، داریم:

$$x5 = {5(5+1) \over 2} = 15$$

$$xn = {n(n+1) \over 2}$$

$$xn = {n(n+1) \over 2}$$ = ضابطه

مثال: پنجمین عدد مثلثی برابر است با:

$$x5 = {5(5+1) \over 2} = 15$$

مثال: شصتمین عدد مثلثی برابر است با:

$$x60 = {60(60+1) \over 2} = 1830$$

بدین ترتیب می‌بینیم که استفاده از این ضابطه آسان‌تر از شمارش تعداد نقاط در هر مرحله است.