عکس العمل های تکیه گاهی در تیرها – به زبان ساده

معمولاً اولین مرحله برای تحلیل یک تیر، مشخص کردن عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی است. پس از این مرحله، نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی نیز قابل محاسبه خواهند بود. اگر پیکربندی تیر و تکیه‌گاه‌های آن از نظر استاتیکی معین باشد (برابر بودن تعداد مجهولات و معادلات تعادل)، عکس‌العمل‌های موجود در مسئله با استفاده از نمودارهای جسم آزاد و معادلات تعادل به دست خواهند آمد. در صورت نامعین بودن سازه از تظر استاتیکی باید با به دست آوردن معادلات اضافی، مجهولات مسئله را تعیین کرد. در بخش قبلی، به معرفی برخی از متداول‌ترین انواع تکیه‌گاه‌ها و علائم قراردی مربوط به آن‌ها پرداختیم. در این بخش، شما را با نحوه تعیین عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی در تیرهای ساده، تیرهای یکسر گیردار و تیرهای ساده با انتهای آزاد آشنا خواهیم کرد.

تیر ساده

شکل زیر، تیر ساده‌ای با یک تکیه‌گاه لولایی و یک تکیه‌گاه غلتکی را نمایش می‌دهد. سازه AB تحت نیروی مورب P₁، نیروی عمودی P₂ و بار یکنواختی با شدت q قرار گرفته است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به پیکربندی تیر AB می‌توان دریافت که سه عکس‌العمل تکیه‌گاهی مجهول در این مسئله وجود دارد (نیروی افقی H_A در تکیه‌گاه لولایی، نیروی عمودی R_A در تکیه‌گاه لولایی و نیروی عمودی R_B در تکیه‌گاه غلتکی). برای سازه‌های ساده‌ای مانند تیر AB، هر سه معادله تعادل با استفاده از قواعد استاتیکی به دست می‌آیند.

به دلیل برابر بودن تعداد معادلات و مجهولات مسئله (سه مجهول و سه معادله تعادل)، سازه مورد بررسی از نظر استاتیکی معین خواهد بود. معادله تعادل نیروهای موجود در تیر AB در راستای افقی به صورت زیر نوشته می‌شود:

به این ترتیب داریم:

این معادله به اندازه‌ای واضح و مشخص است که معمولاً با استفاده از مشاهده پیکربندی تیر به دست می‌آید. به منظور تعیین عکس‌العمل‌های عمودی R_A و R_B، به ترتیب معادلات تعادل گشتاور حول نقاط B و A را می‌نویسیم. اگر علامت گشتاور ساعت‌گرد را مثبت در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

با حل معادلات بالا بر حسب R_A و R_B به معادلات زیر می‌رسیم:

تیر یکسر گیردار

برای حالت بعدی، تیر یکسر گیردار زیر را در نظر بگیرید. همان‌گونه که مشاهده می‌کنید؛ یک نیروی مورب P₃ و یک بار متغیر بر روی این سازه اعمال می‌شود. بار متغیر اعمال شده بر روی تیر، به وسیله یک نمودار شدت بار ذوزنقه‌ای نمایش داده شده است که محدوده آن از q₁ تا q₂ تغییر می‌کند.

بر اساس پیکربندی تیر، یک نیروی عکس‌العمل افقی (H_A)، یک نیروی عکس‌العمل عمودی (R_A) و یک کوپل (M_A) در سازه وجود خواهد داشت. با توجه به تعادل نیروها در راستای افقی، یکی از معادلات تعادل به دست می‌آید:

فیلم آموزش مقاومت مصالح 1 و 2 – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

تعادل نیروها در راستای عمودی نیز تعیین رابطه بعدی را امکان‌پذیر می‌کند:

توجه داشته باشید که برآیند نیروی گسترده با مساحت نمودار بارگذاری (ذوزنقه) برابر است. در معادله بالا از این نکته برای محاسبه نیروی عکس‌العمل R_A استفاده کردیم (عبارت سمت راست). گشتاور عکس‌العمل M_A در تکیه‌گاه گیردار با استفاده از معادله تعادل گشتاورها به دست می‌آید.

در این مثال، به منظور حذف H_A و R_A از معادله مورد نظر، گشتاورهای حول نقطه A را با هم جمع خواهیم کرد. به علاوه، برای تعیین گشتاور بار گسترده نیز ذوزنقه تشکیل شده را به دو مثلث مجزا تقسیم می‌کنیم (خط‌چین شکل زیر). برآیند هر یک از این مثلث‌ها، نیرویی هم‌اندازه با مساحت مثلث مورد نظر خواهد بود. علاوه بر این، خط اثر هر نیروی برآیند از مرکز هندسی مثلث مربوطه عبور خواهد کرد.

به این ترتیب، گشتاورهای بار گسترده حول نقطه A از رابط زیر به دست می‌آید:

q₁b/2: نیروی برآیند مثلث بار پایینی (مساحت مثلث پایینی)؛ L-2b/3: بازوی گشتاور نیروی برآیند مثلث پایینی؛ q₂b/2: نیروی برآیند مثلث بار بالایی (مساحت مثلث بالایی)؛ L-b/3: بازوی گشتاور نیروی برآیند مثلث بالایی

با توجه به روابط مربوط به گشتاورهای بار گسترده، معادله تعادل گشتاور به صورت زیر خواهد بود (گشتاور پادساعت‌گرد مثبت در نظر گرفته شده است):

بنابراین:

به دلیل مثبت بودن نتیجه معادله بالا، جهت اعمال گشتاور عکس‌العمل M_A با جهت فرضی ما (پادساعت‌گرد) هم‌راستا خواهد بود.

تیر ساده با انتهای آزاد

شکل زیر، یک تیر ساده با انتهای آزاد را نمایش می‌دهد. این تیر در معرض یک نیروی عمودی (P₄) و یک کوپل گشتاور (M₁) قرار گرفته است.

فیلم آموزش مقاومت مصالح – ویژه رشته عمران در فرادرس

کلیک کنید

به دلیل عدم اعمال نیروهای افقی بر روی تیر، عکس‌العمل موجود در تکیه‌گاه لولایی فاقد مؤلفه‌های افقی بوده و رسم این مؤلفه‌ها در نمودار جسم آزاد ضروری نخواهد بود.

اکنون می‌توانیم با استفاده از معادله تعادل گشتاورهای حول نقطه A و B، عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی را محاسبه کنیم (علامت گشتاورها را در جهت پادساعت‌گرد مثبت در نظر می‌گیریم):

به این ترتیب، رابطه مربوط به عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی برابرند با:

در بخش بعدی، به معرفی برخی از انواع بار خواهیم پرداخت.

^^