توزیع لوگ نرمال (Log-normal Distribution) — به زبان ساده

۳۱۶۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۷ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
توزیع لوگ نرمال (Log-normal Distribution) — به زبان ساده

در تئوری آمار و احتمال، توزیع «لوگ نرمال» (Log-normal) به عنوان یک توزیع پیوسته، برای بیان رفتار بعضی از پدیده‌های احتمالی، به کار می‌رود. اگر متغیر تصادفی XX دارای توزیع لوگ نرمال باشد، آنگاه توزیع Y=ln(X)Y=\ln(X) نرمال است. به همین ترتیب می‌توان گفت، اگر YY توزیع نرمال داشته باشد، آنگاه X=EXP(Y)X=\operatorname{EXP}(Y) دارای توزیع «لاگ نرمال» است.

997696

به دلیل ارتباط بین توزیع نرمال و توزیع لوگ نرمال، بهتر است ابتدا مطلب توزیع نرمال یک و چند متغیره — مفاهیم و کاربردها را بخوانید. همچنین برای اطلاع از انواع توزیع‌های آماری خواندن مطلب توزیع های آماری — مجموعه مقالات جامع وبلاگ فرادرس نیز خالی از لطف نیست.

توزیع لوگ نرمال (Log-normal Distribution)

توزیع «لاگ نرمال» از نوع توزیع‌های پیوسته و دارای تکیه‌گاه مثبت است. در نتیجه اگر متغیر تصادفی XX دارای توزیع لاگ نرمال باشد، مطمئن هستیم که X>0X>0 است. این توزیع را گاهی به نام «توزیع گالتون» (Galton Distribution) نیز می‌شناسند، زیرا «فرانسیس گالتون» (Francis Galton) دانشمند و آمارشناس انگلیسی در تحقیقاتش در قرن 1۹ به این توزیع پرداخته است.

از این توزیع برای بیان پدیده‌های تصادفی که به صورت تجمعی و افزایشی تغییر می‌یابند، استفاده می‌شود. برای مثال می‌توان توزیع احتمالی برای پدیده‌های تصادفی زیر را از نوع لوگ نرمال در نظر گرفت:

  • طول یادداشت‌های مربوط به یک موضوع در انجمن‌های اینترنتی
  • زمان انجام بازی شطرنج
  • مدت زمان مقایسه و تشخیص یک محرک صوتی با یک محرک استاندارد
  • تغییرات مساحت پوسته یک موجود زنده
  • شمارش دنباله‌ RNA استاندارد شده برای هر ناحیه ژنی
  • ...

تابع چگالی و تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی لوگ نرمال

به عنوان تعریف متغیر تصادفی با توزیع لوگ نرمال می‌توان گفت که اگر یک متغیر تصادفی مانند XX‌ دارای توزیع لوگ نرمال با پارامترهای μ\mu و σ2\sigma^2 باشد، آنگاه توزیع ln(X)N(μ,σ2)\ln(X)\sim N(\mu,\sigma^2)، نرمال خواهد بود.

با توجه به رابطه‌ای که بین توزیع نرمال و توزیع لوگ نرمال وجود دارد، می‌توان به روش زیر تابع چگالی متغیر تصادفی XX را به صورت زیر محاسبه کرد. البته توجه داشته باشید که در رابطه‌های زیر منظور از Φ\Phi‌ تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. همچنین ϕ\phi نیز تابع چگالی احتمال نرمال استاندارد را نشان می‌دهد. از طرفی می‌دانیم که تابع چگالی از طریق مشتق‌گیری از تابع توزیع تجمعی حاصل می‌شود. به این ترتیب براساس این توضیحات مراحل محاسبه تابع چگالی توزیع لوگ نرمال را پی‌میگیریم.

fX(x)=ddxPr(Xx)=ddxPr(lnXlnx)=ddxΦ(lnxμσ)=ϕ(lnxμσ)ddx(lnxμσ)=ϕ(lnxμσ)1σx=1x1σ2πexp((lnxμ)22σ2)\large \begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(X\leq x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(\ln X\leq \ln x)\\ \large &={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\ \large &=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\\large &=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\ \large &={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}

همانطور که دیده می‌شود، تابع چگالی حاصل، بسیار شبیه به توزیع نرمال است. نمودار مربوط به توزیع لوگ نرمال در تصویر زیر دیده می‌شود.

PDF log normal distributions

همانطور که در تصویر دیده می‌شود، تکیه‌گاه (مجموعه مقادیر متغیر تصادفی) در این توزیع مثبت است. همچنین وجود چولگی زیاد این توزیع بخصوص برای مقدارهای بزرگ σ\sigma کاملا واضح است.

از طرفی تابع توزیع احتمال تجمعی برای متغیر تصادفی لوگ نرمال به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

FX(x)=Φ((lnx)μσ)\large F_{X}(x)=\Phi ({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }})

نمودار تابع توزیع تجمعی این متغیر تصادفی نیز در شکل زیر دیده می‌شود.

CDF-log_normal_distributions

خصوصیات متغیر تصادفی لوگ نرمال

همانطور که در تعریف پارامترهای توزیع لوگ نرمال مشخص شد، شیوه بیان برای توزیع متغیر تصادفی XX به صورت XLognormal(μ,σ2)X\sim Lognormal(\mu ,\sigma^2) است. ولی باید دقت کرد که این پارامترها به عنوان میانگین و واریانس توزیع لوگ نرمال محسوب نمی‌شوند. برای محاسبه امید ریاضی و واریانس متغیر تصادفی با توزیع لوگ نرمال باید از میانگین و واریانس توزیع نرمال استفاده کرد. به این ترتیب برای محاسبه امید ریاضی متغیر تصادفی لوگ نرمال خواهیم داشت:

E(X)=EXP(μ+σ22)\large E(X)=\operatorname{EXP}(\mu+\frac{\sigma^2}{2})

در تصویر زیر رابطه بین تابع چگالی احتمال و امید ریاضی متغیر تصادفی لوگ نرمال و نرمال را مشاهده می‌کنید. مشخص است که این رابطه به واسطه یک تابع نمایی (x=eyx=e^y) ایجاد شده است.

Lognormal_Distribution

همچنین واریانس چنین متغیر تصادفی به شکل زیر قابل محاسبه خواهد بود.

 Var(X)=[exp(σ2)1]EXP(2μ+σ2)\large \operatorname{Var}(X)= [\exp(\sigma ^{2})-1]\operatorname{EXP}(2\mu +\sigma ^{2})

البته برای محاسبه میانه و نما به صورت زیر عمل می‌کنیم.

Median(X)=EXP(μ)\large \operatorname{Median}(X)=\operatorname{EXP}(\mu)

Mode(X)=EXP(μσ2)\large \operatorname{Mode}(X)=\operatorname{EXP}(\mu-\sigma^2)

در تصویر زیر نیز نمودار مربوط به توزیع لوگ نرمال به همران میانگین، میانه و نمای این توزیع قابل مشاهده است.

Comparison_mean_median_mode

ارتباط با توزیع‌های دیگر

در این قسمت به بررسی ارتباطی که توزیع لوگ نرمال با توزیع‌های دیگر دارد می‌پردازیم. البته مشخص است که به علت وابستگی زیاد بین توزیع نرمال و لوگ نرمال، بسیاری از خصوصیات و ارتباط آن‌ها با دیگر توزیع‌ها، مشابه باشد.

براساس تعریفی که برای متغیر تصادفی لوگ نرمال ارائه شد، ارتباط این توزیع با توزیع‌های دیگر در فهرست زیر مشاهده می‌شود.

  • اگر XN(μ.σ2)X\sim N(\mu.\sigma^2) باشد آنگاه exp(X)Lognormal(μ,σ2)\exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}) یعنی تابع نمایی با پایه طبیعی متغیر تصادفی XX دارای توزیع نرمال با همان پارامترهای توزیع لوگ نرمال است.
  • اگر XLognormal(μ,σ2) X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}) آنگاه توزیع لگاریتم طبیعی XX به صورت نرمال با همان پارامترهای توزیع لوگ نرمال است، یعنی ln(X)N(μ,σ2) \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})
  • اگر XiX_iها n متغیر تصادفی مستقل با توزیع لوگ نرمال با پارامترهای μi\mu_i و σi2\sigma^2_i باشند، آنگاه توزیع حاصلضرب آن‌ها یعنی Y=i=1nXiY=\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i} به صورت لوگ نرمال با پارامترهای i=1nμi\sum _{i=1}^{n}\mu _{i} و i=1nσi2 \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2} است. به این ترتیب خواهیم داشت: YLognormal(i=1nμi, i=1nσi2)Y\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\ \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}{\Big )}.
  • براساس پاراگراف قبلی می‌توان نشان داد که متغیر تصادفی حاصل از aa بار ضرب متغیر تصادفی XX در خودش، متغیر تصادفی لوگ نرمال با پارامترهای aμa\mu و a2σ2a^2\sigma^2 ایجاد خواهد کرد.
  • برای متغیر تصادفی XX با توزیع لوگ نرمال، داریم aXLognormal(μ+lna, σ2)aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2}). به این معنی که ضرب کردن متغیر تصادفی لوگ نرمال در مقدار ثابت aa، باعث افزایش مقدار ln(A)ln(A) به پارامتر اول توزیع لاگ نرمال می‌شود.

به منظور شبیه‌سازی داده‌های با توزیع لوگ نرمال، بهتر است به تعداد مورد نیاز عدد تصادفی از توزیع نرمال با پارامترهای μ\mu و σ2\sigma^2 تولید کرده (XX) و با توجه به رابطه زیر آن‌ها را به توزیع لوگ نرمال (YY) تبدیل کرد.

Y=exp(X)\large Y=\exp(X)

اگر به فراگیری مباحث مشابه مطلب بالا علاقه‌مند هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
۶ دیدگاه برای «توزیع لوگ نرمال (Log-normal Distribution) — به زبان ساده»

سلام
از روی یک منحنی مربوط به یک پدیده فیزیکی چگونه میتوان تابع توزیعش را پیدا نمود که بتوان از روی آن تابع توزیه مقادیر آینده را تخمین زد؟

سلام من میخوام درمورد توزیع لوگ نرمال چندمتغیره وویژگی ها آن بنویسم.اگه میشه به من کمک کنید

سلام و سپاس از مطالب خوب شما
ببخشید من دنبال توزیعی با چولگی منفی هستم، اگر اطلاعی دارید راهنمایی فرمایین.
با تشکر

سلام و درود بر شما همراه مجله فرادرس،

اگر توزیعی مثل توزیع کای ۲ را برای متغیر تصادفی X در نظر بگیرد که چوله به راست است، آنگاه X- چوله به چپ خواهد بود. به این ترتیب از هر توزیع چوله به راست (مثل توزیع لگ نرمال و …) می‌توان یک توزیع چوله به چپ ساخت.
برای مثال منحنی توزیع سن بازنشستگی چوله به چپ است. همچنین توزیع مرگ و میر نیز دارای توزیعی است که دارای چولگی منفی است.

موفق، تندرست و پیروز باشید.

اقای دکتر سلام. من یه سری داده از مصرف انرژی ساعتی دارم که میانگین ان در بعضی از ساعت های شبانه روز صفر است. هدف من تولید اعداد تصادفی برای مصرف ساعتی است. اما از توزیع نرمال نمی تونم استفاده کنم چون مصرف که منفی نمیشه. بنابراین از توزیع لوگ نرمال میخوام استفاده کنم. اما اگر میانگین صفر باشد در تبدیل انحراف معیار زیر کسر صفر می شود و این امکانپذیر نیست. چکار باید بکنم آقای دکتر؟

سلام و درود
همانطور که در مطلب منتشر شده در مورد توزیع لوگ نرمال خواندید، برآورد واریانس این توزیع برحسب توزیع نرمال صورت می‌گیرد. بنابر این به میانگین ارتباط نخواهد داشت. فرمول‌های مربوط به بخش واریانس را مجدد مشاهده کنید تا به اشکال خود پی ببرید. اگر میانگین صفر باشد، واریانس توزیع لوگ نرمال به صورت Var(X)=[exp(σ2)1]EXP(σ2) \large \operatorname{Var}(X)= [\exp(\sigma ^{2})-1]\operatorname{EXP}(\sigma ^{2}) برآورد خواهد شد.

از اینکه همواره همراه مجله فرادرس هستید، سپاسگزاریم.

تندرست و پیروز باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *